一、选择题1. （2019湖南省岳阳市，8，3分）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c <D ．c ＜1 【答案】B【思路分析】根据不动点定义，得出x 1，x 2满足的一元二次方程，利用根与系数的关系及根的判别式列出不等式求解即可.【解题过程】当y =x 时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1、x 2是该方程的两个实数根，所以：12121x x x x c+=-⎧⎨⋅=⎩ ∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0 即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0 ∴c －(－1) ＋1＜0 ∴c ＜－2又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14∴c 的取值范围为c ＜－2【知识点】二次函数与一元二次方程，根与系数的关系2. （2019山东省济宁市，10，3分）−a 3的差倒数，…，依此类推，那么a 1＋ a 2＋…＋ a 100的值是（ ）A ．－7.5B ．7.5C ．5.5D ．－5.5 【答案】A【思路分析】【解题过程】－7.5．【知识点】探索规律二、填空题1. （2019山东德州，16，4分）已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[4.8]4=，[0.8]1-=-．现定义：{}[]x x x =-，例：{1.5} 1.5[1.5]0.5=-=，则{3.9}{1.8}{1}+--= ． 【答案】0.7【解析】解；{3.9}{1.8}{1} 3.93 1.82110.7+--=--+-+=，故答案为0.7． 【知识点】新定义 三、解答题1. （2019重庆A 卷，22，10）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．定义：对于自然数n ，在计算n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n 为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由； （2）求出不大于100的“纯数”的个数．【思路分析】（1）按“纯数”的定义，看2019＋2020＋2021及2020＋2021＋2022在计算时，是否各数位都不产生进位，即可做出判断；（2）寻找“纯数”的构成规律：连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．然后按一位、两位数及三位数（100）分三种情况讨论，即可锁定答案． 【解题过程】（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位， ∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论如下：①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、21、22、30、31、32共9个； ③当这个数为100时，易知100是“纯数”．综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．【知识点】阅读理解题；新定义问题；分类思想；纯数．2. （2019重庆市B 卷，22，10）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、 奇数、合数、质数等. 现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”. 定义：对于自然数n ，在通过列竖式进行()()21++++n n n 的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n 为“纯数”.例如：32是“纯数”，因为343332++在列竖式计算时各位都不产生进位现象； 23不是“纯数”，因为252423++在列竖式计算时个位产生了进位. ⑴ 请直接写出1949到2019之间的“纯数”；⑵ 求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由。

【思路分析】解决此题首先要准确理解新的定义，然后根据新定义中“不产生进位”合理分析出各个数位上的值，列举即可．此题主要考察新定义的理解与分析，新定义中的“不产生进位”是分析的关键，即和不能大于10，在列举时要注意“不重不漏”． 【解题过程】解：（1）1949到2019之间的“纯数”为2000、2001、2002、2010、2011、2012 . （2）由题意：不大于100的“纯数”包含：一位数、两位数和三位数100若n 为一位数，则有n +（n +1）+（n +2）＜10，解得：n ＜3，所以：小于10的“纯数数”有0、1、2，共3个．两位数须满足：十位数可以是1、2、3，个位数可以是0、1、2，列举共有9个分别是10、11、12、20、21、22、30、31、32；三位数为100，共1个所以：不大于100的“纯数”共有13个 【知识点】规律型：数字的变化类．不等式、分类讨论.3. （2019浙江省衢州市，23，10分）定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满是x =3a c +，y =3b d +，那么称点T 是点A ，B 的融合点。

例如：A （-1，8），B （4，一2），当点T （x .y ）满是x =143-+=1，y =8(2)3+-=2时.则点T （1，2）是点A ，B 的融合点。

（1）已知点A （-1，5），B （7，7）.C （2，4）。

请说明其中一个点是另外两个点的融合点。

（2）如图，点D （3，0）.点E （t ，2t +3）是直线l 上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点。

①试确定y 与x 的关系式。

②若直线ET 交x 轴于点H ，当△DTH 为直角三角形时，求点E 的坐标。

【思路分析】（1）根据融合点的概念通过计算进行判断； （2）①根据融合点的概念建立方程求解；②分∠THD =90°，∠TDH =90°，∠HTD =90°三种情况，结合图形讨论确定点E 的坐标。

【解题过程】（1）∵173-+=2，573+=4， ∴点C （2，4）是点A .B 的融合点。

..…3分 （2）①由融合点定义知x =33t+，得t =3x -3....4分 又∵y =0(23)3t ++，得t =332y -...….5分 ∴3x -3=332y -，化简得y =2x -1.……6分②要使△DTH为直角三角形，可分三种情况讨论：（Ⅰ）当∠THD=90°时，如图1所示，设T（m，2m-1），则点E为（m，2m+3）. 由点T是点D，E的融合点，可得m=33m+或2m-1=(23)03m++解得m=32，∴点E1（32，6）.…7分（Ⅱ）当∠TDH=90°时，如图2所示，则点T为（3，5）.由点T是点D，E的融合点，可得点E2（6，15）。

.……8分（Ⅲ）当∠HTD=90°时，该情况不存在。

……9分（注：此类情况不写不扣分）综上所述，符合题意的点为E1（32，6），E2（6，15）. ……10分【知识点】新定义一次函数分类讨论4. (2019浙江宁波,25,12分)定义:有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形,这两个角的夹边称为邻余线.(1)如图1,在△ABC中,AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,E,F分别是BD,AD上的点.求证:四边形ABEF是邻余四边形;(2)如图2,在5×4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,使AB是邻余线,E,F 在格点上;(3)如图3,在(1)的条件下,取EF中点M,连接DM并延长交AB于点Q,延长EF交AC于点N.若N为AC的中点,DE＝2BE,求邻余线AB的长.第25题图【思路分析】(1)由等腰三角形三线合一可得AD⊥BD,∴∠FAB与∠EBA互余,进而得到邻余四边形;(2)采用类似(1)问的方法,将∠A和∠B放在同一个直角三角形中,即可得到图形;(3)直角三角形斜边中线等于斜边一半,可得ME＝MD,∠MDE＝∠MED,证得△DBQ∽△ECN,进而由图形中线段的等量关系,结合相似比例式,可得邻余线AB的长度.【解题过程】(1)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴AD⊥BC,∴∠ADB＝90°,∴∠DAB+∠DBA＝90°,∴∠FAB与∠EBA互余.∴四边形ABEF是邻余四边形;(2)如图所示,四边形ABEF即为所求.(答案不唯一)第25题答图(3)∵AB＝AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD＝CD,∵DE＝2BE,∴BD＝CD＝3BE,∴CE＝CD+DE＝5BE.∵∠EDF＝90°,M为EF的中点,∴DM＝ME.∴∠MDE＝∠MED.∵AB＝AC,∴∠B＝∠C,∴△DBQ∽△ECN,∴35QB BDNC CE==,∵QB＝3,∴NC＝5,∵AN＝CN,∴AC＝2CN＝10,∴AB＝AC＝10.【知识点】等腰三角形三线合一,直角三角形两锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,等边对等角,相似三角形5. （2019浙江省金华市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC 分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P 为抛物线y＝－（x－2）2＋m＋2的顶点．（1）当m ＝0时，求该抛物线下放（包括边界）的好点个数． （2）当m ＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m 的取值范围．（第23题图）【思路分析】本题一道阅读理解题，解题的关键是认真审题，弄清题意，弄清好点的定义，正确画出图形．（1）根据m 的取值，求满足条件的好点个数．（2）根据m 的取值，求满足条件的好点坐标．（3）根据点P 在正方形中的位置，确定m 的取值范围，根据好点的个数确定抛物线的位置（抛物线与线段EF 有交点），进而讨论的m 取值范围． 【解题过程】解：（1）当m ＝0时，二次函数的表达式为y ＝－x 2＋2，画出函数图象（图1）， ∵当x ＝0时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝1； ∴抛物线经过点（0，2）和（1，1）．∴好点有：（0，0），（0，1），（0，2）．（1，0）和（1，1）共5个．（2）当m ＝3时，二次函数的表达式为y ＝－（x －3）2＋5，画出函数图象（图2）， ∵当x ＝1时，y ＝1；当x ＝4时，y ＝4；∴抛物线上存在好点，坐标分别是（1，1）和（4，4）． （3）∵抛物线顶点P 的坐标为（m ，m ＋2）， ∴点P 在直线y ＝x ＋2上．由于点P 在正方形内 ，则0＜m ＜2． 如图3，点E （2，1），F （2，2）．∴当顶点P 在正方形OABC 内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF 有交点（点F 除外）． 当抛物线经过点E （2，1）时，－（ 2－m ）2＋m ＋2＝1， 解得m 1，m 2当抛物线经过点F （2，2）时，－（ 2－m ）2＋m ＋2＝2， 解得m 1＝1，m 2＝4（舍去）．m ＜1时，点P 在正方形OABC 内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点． 【知识点】阅读理解题；二次函数的图象与性质；一次函数表达式；一元二次方程的解法；正方形的性质；图1图36.（2019四川达州， 24，11分） 箭头四角形 模型规律如图1，延长CO 交AB 于点D ，则∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B. 因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC=∠A+∠C+∠B ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”. 模型应用（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=________.②如图3，∠ABE 、 ∠ACE 的2等分线（即角平分线）BF 、CF 交于点F ，已知∠BEC=120°∠BAC=50°，则∠BFC=__________.③如图4，BO 1、CO 2分别为∠ABO 、∠ACO 的2019等分线（i=1，2，3，…，2017，2018），它们的交点从上到下依次为O 1，O 2，O 3，…，O 2018. 已知∠BOC=m °，∠BAC=n °，则∠BO 1000C=______度（1）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC=CD ，∠BCD=2∠BAD. O 是四边形ABCD 内的一点，且 OA=OB=OD. 求证：四边形OBCD 是菱形.【思路分析】（1）①根据箭头四角形的规律即可； ②由∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+21∠ABC+21∠ACB ，再把∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB 两边都乘以21，得到21∠ABC+21∠ACB=35°即可求得∠BFC 的值（2）可以先延长AO ，再连接OC ，利用OA=OB=OD ，先证得∠BOD=2∠BAD ，而∠BCD=2∠BAD 可得∠BOD=∠BCD ，再证△BOC ≌△DOC ，可得∠OBC=∠ODC ，从而得到四边形OBCD 为平行四边形，OB=OD ，有一组邻边相等的平行四边形为菱形，即可证得四边形OBCD 为菱形 【解题过程】（1）①∵∠A+∠B+∠C=α∠， ∠D+∠E+∠F=α∠ ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α∠②∵∠BEC=∠A+∠ABC+∠ACB ∠BFC=∠A+21∠ABC+21∠ACB ∠BEC=120°∠BAC=50° ∴21∠BEC=21∠A+21∠ABC+21∠ACB ∴60°=25°+21∠ABC+21∠ACB ∴21∠ABC+21∠ACB=35° ∴∠BFC=∠A+21∠ABC+21∠ACB ＝50°＋35° ＝85°∴∠BFC ＝85° ③n m 2019101920191000+ （2）证明：(l)如图，延长AO 到E ，∵OA ＝OB ．∴∠ABO ＝∴BAO.又∵∠BOE ＝∴ABO ＋∴BAO.∴∠BOE ＝2∠BAO ，同理∠DOE ＝2∠DAO.∴∠BOE ＋∴DOE ＝2∴BAO ＋2∠DAO ＝2(∠BAO ＋∠DAO)，即∠BOD ＝ 2∠BAD. ∵∠BCD= 2∠BAD ，∴∠BOD ＝∠BCD.(2)如图，连接OC ，∴OB ＝ OD ， CB ＝CD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC,∴∠OBC ＝∴ODC ． 又∵∠BOD ＝∠BCD,∴四边形OBCD 足平行四边形．∵OB= OD ，∴四边形OBCD 是菱形． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定，平行四边形、菱形的判定7. ．(2019山东枣庄,21,8分)对于实数a 、b ，定义关于的一种运算：a ⊗b ＝2a+b.例如3⊗4＝2×3+4＝10. (1)求4⊗(－3)的值；(2)若x ⊗(－y)＝2，(2y)⊗x ＝－1，求x+y 的值.【思路分析】(1)根据题目给出的运算法则，进行运算即可;(2)根据法则可得关于x 和y 的二元一次方程组,解之可得x 和y 的值,进而求得x+y 的值.【解题过程】(1)根据题意得：4⊗(－3)＝2×4+(－3)＝5;(2)∵x ⊗(－y)＝2，(2y)⊗x ＝－1,∴2x+(－y)＝2,2×2y+x ＝－1,解这个二元一次方程组,得,x ＝79,y ＝49-,∴x+y ＝13【知识点】新定义运算,二元一次方程组8. （2019山东省济宁市，题号21，分值8） 阅读下面材料：如果函数y ＝f (x )满足：对于自变量x 的取值范围内的任意x 1，x 2， （1）若x 1＜x 2，都有f (x 1) ＜ f (x 2)，则称f (x )是增函数； （2）若x 1＜x 2，都有f (x 1) ＞ f (x 2)，则称f (x )是减函数．例题：证明函数f (x )＝6x(x ＞0)是减函数． 证明：设0＜x 1＜x 2，f (x 1) － f (x 2)＝1266x x -＝()21211212666.x x x x x x x x --= ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0．∴()21126x x x x -＞0，即f (x 1) — f (x 2)＞0．∴f (x 1) ＞ f (x 2)，∴函数f (x )＝6x(x ＞0)是减函数．根据以上材料，解答下面的问题：已知函数()21f x x x=+（x ＜0），()()()()()()22117110,22412f f -=+-=-=+-=--- （1）计算：f (－3)＝________， f (－4)＝________； （2）猜想：函数()21f x x x=+（x ＜0）是________函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想．【思路分析】模仿例题代入计算；根据分式的加减法法则将分式通分，之后进行因式分解，根据x 1、x 2的取值范围，判断出结果的正负性，从而得到函数的增减性． 【解题过程】 （1）()()()()()()2212616333,4491634f f -=+-=--=+-=--- （2）增；（3）证明：设x 1＜x 2＜0，f (x 1) － f (x 2)＝22211212122222221212121111x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()()2121212121222212121x x x x x x x x x x x xx x+--+-=--=．∵x 1＜x 2＜0，∴x 2—x 1＞0，x 12x 22＞0，x 2＋x 1－1＜0， ∴()()212122121x x x x x x -+-＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0．∴f (x 1) ＜ f (x 2)， ∴函数()21f x x x =+是增函数． 【知识点】分式的通分；因式分解；函数的增减性判断9.（2019甘肃天水，25，10分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2＝AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．【思路分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【解题过程】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2＝AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2＝AB2+CD2．（3）连接CG、BE，∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，{AG=AC∠GAB=∠CAE AB=AE，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，CG＝4√2，BE＝5√2，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，∴GE=√73．【知识点】正方形的性质；全等三角形的判定和性质；垂直的定义；勾股定理；新定义10.（2019贵州黔东南，25，12分）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实，数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}=1+2+93=4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min（3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝，②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝；（2）若min（3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，则x的取值范围为；（3）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；（4）如果M {2，1+x ，2x }＝min {2，1+x ，2x }，求x 的值．【思路分析】（1）①根据平均数的定义计算即可．②求出三个数中的最小的数即可． （2）根据不等式解决问题即可． （3）构建方程即可解决问题． （4）把问题转化为不等式组解决即可．【解题过程】解：（1）①M {（﹣2）2，22，﹣22}=43， ②min {sin30°，cos60°，tan45°}=12； 故答案为：43，12．（2）∵min （3﹣2x ，1+3x ，﹣5}＝﹣5， ∴{3−2x ≥−51+3x ≥−5， 解得﹣2≤x ≤4， 故答案为﹣2≤x ≤4． （3）∵M {﹣2x ，x 2，3}＝2， ∴−2x+x 2+33=2，解得x ＝﹣1或3．（4）∵M {2，1+x ，2x }＝min {2，1+x ，2x }， 又∵2+1+x+2x3=x +1，∴{x +1≤2x +1≤2x ， 解得1≤x ≤1， ∴x ＝1．【知识点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；算术平均数11. （2019江苏南京，27，11分）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），用以下方式定义两点间距离：d （A ，B ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|．【数学理解】（1）①已知点A （﹣2，1），则d （O ，A ）＝ ．②函数y ＝﹣2x +4（0≤x ≤2）的图象如图①所示，B 是图象上一点，d （O ，B ）＝3，则点B 的坐标是 ．（2）函数y =4x （x ＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3． （3）函数y ＝x 2﹣5x +7（x ≥0）的图象如图③所示，D 是图象上一点，求d （O ，D ）的最小值及对应的点D 的坐标． 【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M 为起点，先沿MN 方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）【思路分析】（1）①根据定义可求出d （O ，A ）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；②由两点间距离：d （A ，B ）＝|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|及点B 是函数y ＝﹣2x +4的图象上的一点，可得出方程组，解方程组即可求出点B 的坐标； （2）由条件知x ＞0，根据题意得x +4x=3，整理得x 2﹣3x +4＝0，由△＜0可证得该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3．（3）根据条件可得|x |+|x 2﹣5x +7|，去绝对值后由二次函数的性质可求出最小值；（4）以M 为原点，MN 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，将函数y ＝﹣x 的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E ，过点E 作EH ⊥MN ，垂足为H ，修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处，可由d （O ，P ）≥d （O ，E ）证明结论即可． 【解题过程】解：（1）①由题意得：d （O ，A ）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3； ②设B （x ，y ），由定义两点间的距离可得：|0﹣x |+|0﹣y |＝3， ∵0≤x ≤2， ∴x +y ＝3， ∴{x +y =3y =−2x +4， 解得：{x =1y =2，∴B（1，2），故答案为：3，（1，2）；（2）假设函数y=4x(x＞0)的图象上存在点C（x，y）使d（O，C）＝3，根据题意，得|x−0|+|4x−0|=3，∵x＞0，∴4x＞0，|x−0|+|4x−0|=x+4x，∴x+4x=3，∴x2+4＝3x，∴x2﹣3x+4＝0，∴△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，∴方程x2﹣3x+4＝0没有实数根，∴该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）设D（x，y），根据题意得，d（O，D）＝|x﹣0|+|x2﹣5x+7﹣0|＝|x|+|x2﹣5x+7|，∵x2−5x+7=(x−52)2+34＞0，又x≥0，∴d（O，D）＝|x|+|x2﹣5x+7|＝x+x2﹣5x+7＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，∴当x＝2时，d（O，D）有最小值3，此时点D的坐标是（2，1）．（4）如图，以M为原点，MN所在的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，将函数y＝﹣x的图象沿y轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，设交点为E，过点E作EH⊥MN，垂足为H，修建方案是：先沿MN方向修建到H处，再沿HE方向修建到E处．理由：设过点E的直线l1与x轴相交于点F．在景观湖边界所在曲线上任取一点P，过点P作直线l2∥l1，l 2与x 轴相交于点G ．∵∠EFH ＝45°，∴EH ＝HF ，d （O ，E ）＝OH +EH ＝OF ， 同理d （O ，P ）＝OG ， ∵OG ≥OF ，∴d （O ，P ）≥d （O ，E ）， ∴上述方案修建的道路最短．【知识点】新定义；二次函数图象及其性质；解方程（组）12. （2019江苏扬州，26，10分）如图，平面内的两条直线1l 、2l ，点A ，B 在直线1l 上，点C 、D 在直线2l 上，过A 、B 两点分别作直线2l 的垂线，垂足分別为1A ，1B ，我们把线段11A B 叫做线段AB 在直线2l 上的正投影，其长度可记作(,)AB AD T 或2(,)AB l T ，特别地线段AC 在直线2l 上的正投影就是线段1A C ． 请依据上述定义解决如下问题：（1）如图1，在锐角ABC ∆中，5AB =，(,)3AC AB T =，则(,)BC AB T = ；（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，(,)4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，求ABC ∆的面积；（3）如图3，在钝角ABC ∆中，60A ∠=︒，点D 在AB 边上，90ACD ∠=︒，(,)2AD AC T =，(,)6BC AB T =，求(,)BC CD T ，【思路分析】（1）如图1中，作CH AB ⊥．根据正投影的定义求出BH 即可．（2）如图2中，作CH AB ⊥于H ．由正投影的定义可知4AH =，9BH =，利用相似三角形的性质求解CH 即可解决问题．（3）如图3中，作CH AD ⊥于H ，BK CD ⊥于K ．根据正投影的定义，求出CD ，DK 即可解决问题．【解题过程】解：（1）如图1中，作CH AB ⊥．(,)3AC AB T =，3AH ∴=，5AB =，532BH ∴=-=，(,)2BC AB T BH ∴==，故答案为2．（2）如图2中，作CH AB ⊥于H ．(,)4AC AB T =，(,)9BC AB T ==，4AH ∴=，9BH =，90ACB CHA CHB ∠=∠=∠=︒，90A ACH ∴∠+∠=︒，90ACH BCH ∠+∠=︒，A BCH ∴∠=∠，ACH CBH ∴∆∆∽，∴CH AHBH CH=，∴49CH CH =，6CH ∴=， 111363922ABC S AB CH ∆∴==⨯⨯=． （3）如图3中，作CH AD ⊥于H ，BK CD ⊥于K ．90ACD ∠=︒，(,)2AD AC T =，2AC ∴=，60A ∠=︒，30ADC BDK ∴∠=∠=︒，CD ∴=，24AD AC ==，112AH AC ==，3DH AD AH =-=，(,)6BC AB T =，CH AB ⊥，6BH ∴=，3DB BH DH ∴=-=，在Rt BDK ∆中，90K ∠=︒，3BD =，30BDK ∠=︒，cos30DK BD ∴=︒=，CK CD DK ∴=+=，(,)BC CD T CK ∴==． 【知识点】正投影的定义；解直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定和性质。