渐开线
k 发生线
N
k0
r
b
rk
θk
O 基圆
K 1)发生线沿基圆滚过的长度，等于 AA 基圆上被滚过的一段弧长，即 B θθ B NK=NK0 B o 2)发生线是渐开线在K点的法线，即过渐 o 开线上的任何一点的法线始终与基圆相切 o
2 1 k k 1 2 1 2 3
3
齿轮机构
3.渐开线的压力角
rk k
单齿啮合区
O1
重合度 的计算公式
ε
α=
B1B2/pb
N2
ra1
B1
α’ rb1 αa1
C B2 ra2
N1
＝(CB1+C B2) /π mcosα
rb2
由几何关系可导出重合度的计算 公式
ε
α
αa2 α’
=[z1(tgαa1
-tgα’)
+ z2(tgαa2
2 ’)]/2π -tgα
O
由计算公式可知：z
ω2
O2
要使两齿轮作定传 动比传动，则两轮 的齿廓无论在任何 位置接触，过接触 点所作公法线必须 与两轮的连心线交 于一个定点。
一对渐开线齿廓啮合传动的瞬时传动 比为常数 。
工程意义：i12 为常数可减少因速度变化所产生的 附加动载荷、振动和噪音，延长齿轮的使用寿命 ，提高机器的工作精度。
2.渐开线齿轮传动的啮合线及 啮合角
1.渐开线齿廓能保证定传动比传动 两齿廓在任意点K啮合时，过K作两齿廓 的法线N1N2，是基圆的切线，为定直线。 两轮中心连线也为定直线，故交点C必 为定点。在位置K’时同样有此结论。 i12=ω 1/ω 2=O2C/ O1C = rb2 /rb1
ω1 rb1 N1 K K’ N2 rb2 C C2 C1
r’1 = r1 节圆与分度圆重合 r’2 = r2
定义：N1N2 线与VP 之间的夹角，称为啮合角α’， O1 即节圆压力角。
O1 ra1 r r1 ω1 b1
N1 N2
ra1
α’=α
ra1 ω1 r’ r1 rb1 1
N1
α’>α
C rb2 r2
c
N2
C r'2
rb2 r2 rf2
提问：a’<a 可能吗？
该线是接触点的法线 nn 实际啮合线 － B1B2
相反。
n
ω2 O2
rb2
理论啮合线段－ N1N2
一对轮齿理论上可能的最长的啮合线。
因基圆内无渐开线
N1、N 2 －啮合极限点 阴影线部分－齿廓的实际工作段。
啮合角( α ')：
啮合线与节圆内公切线所夹的 锐角。 它在数值上等于节圆上的压 力角。
ω1
α’
N1
αa＝arccos(rb/ra)＝arccos(db/da) ＝arccos[mzcosα/(mz+2ha* m)]
＝arccos[zcosα/(z+2ha*)] ② ha
* ↑ →α
B1 rb2
ra2
ra2
a↑ →ε α↑
α↑
ra1
③ z↑ → da↑→B1B2↑ →ε ④α’↑ B1B2 ↓ →ε →
齿轮机构
作 平面啮合的一对齿廓，它们的瞬时接 触点的 公法线，必与两齿轮的连心线交于 相应的节点C，该节点将齿轮连心线分成两 个线段，与该对齿轮的角速比成反比。
共轭齿廓 ：满足齿廓啮合基本定律的 一对齿廓称为共轭齿廓 。 定传动比共轭齿廓曲线有：渐 开线、摆线、圆弧。
二、渐开线齿廓
1.渐开线的形成 2.渐开线的性质
a
a’ > a
rf2
rf2
ω2
O2 O2
ω2
标准安装时：α’＝α， rb1＋rb2 = (r1 +r2)cosα = a cosα 强调 非标准安装时：由于a’>a ,两分度圆将分离，此时α’ >α。
五、齿轮和齿条传动
1.齿条的形成及其特性
z→∞的特例。齿廓曲线（渐开线）→直线 1.齿条特点：齿廓是直线，各点法线和速度方向线平行 1) 齿条齿廓线上各点的压力角均为标准值（ =20o)， 并且等于齿条齿廓的倾斜角。 α为常数。 2)齿条的两侧齿廓是由对称的斜直线组成的，因此在平行于 齿顶线的各条直线上具有相同的齿距和模数。p=π m pn=pcosα •对标准齿条来说，只有其分度线（中线）上的齿厚等 于齿槽宽。即 s=e
于是有： d=mz， r = mz/2
m=4 z=16

模数的单位：mm ，它是决定齿轮 尺寸的一个基本 参数。齿数相同 的齿轮，模数大 ，尺寸也大。
m=2 z=16 m=1 z=16
分度圆压力角
规定标准值：α＝20°
某些场合采用α＝14.5°、15°、22.5°、25°。如航空齿轮 由d=mz知：m和z一定时，分度圆是一个大小唯一确定的圆。 由db＝dcosα可知，基圆也是一个大小唯一确定的圆。 α＝arccos(rb/r)
一般机械制造业 1.4
物理意义
B1B2=ε αP b = 1.45 Pb 第一对齿在B2点进入啮合 第一对齿从B2运动到B3点时； 第二对齿在B2点恰好进入啮合。 第一对齿从B3运动到B1点时； 第二对齿从B2运动到B4点时。 第一对齿在B1点脱离啮合后； 只有第二对齿处于啮合状态。 1 1 B3 2
d mz
* a
ha h m
* a
* a
da d 2ha ( z 2h )m * * hf (ha C )m
d f d 2hf ( z 2h 2c*)m
db d cos
p m se 2 2
§5-4 渐开线直齿圆柱齿轮机构的啮合传动
一、渐开线齿廓的啮合特性
rb rf r
pb
法向齿距 （周节）－ pn = pb
ra
分度圆－－人为规定的计算基准圆 此圆上具有标准的摸数和压力角 表示符号： d、r、s、e，p= s+e 齿顶高ha 齿根高 hf 齿全高 h= ha+hf O 齿宽－ B
二、基本参数
1.齿数z 齿轮圆周上的轮齿总数
2. 模数m:
m=p/ 已标准化（表5-2）
K B1 N
齿廓在接触点K所受的正压力方向与该齿 轮绕轴心O转动的线速度方向所夹的锐角 称为渐开线在该点处的压力角，用 ak 表示。 其数值等于ON与OK的夹角。
αk
K1
rk
ON rb cos k OK rk
α1
αk ω
Or 1
k0 r b
齿轮机构
4.渐开线函数
K rk N
αk
k NOK0 K
3. 压力角
国标规定： 分度圆上的压力角为20º 。 未加特殊说明的压力角均系分度圆上的压力角。
ha ha=ha*m 标准值 * 5.顶隙系数（径向间隙系数 C 标准值 ）
4.齿顶高系数
hf=(ha* +c*)m
*
ha*＝1
c*=0.25
摸数
为了计算、制造和检验的方便
d=zp/π,出现无理数,不方便 模数－ m 分度圆周长：πd=zp, p m 人为规定： 只能取某些简单值， 称为模数m 。
注意： 此时，齿轮各部分的几何尺寸不变，但
节圆及啮合角均加大，齿侧将产生间隙，所以中 心距不能分离得太大，否则将影响齿轮传动的平 稳性。
二、正确啮合条件 渐开线齿廓能满足齿廓啮合基本定律，那么，是否任意两个渐开线齿轮都能组成一对齿轮传动呢？
一对齿轮传动时，所有啮合点都在啮合线N1N2上。 pb1 O1 pb1 pb1
一对轮齿的啮合过程
轮齿在从动轮顶圆与N1N2 线交点B2处进 入啮合，主动轮齿根推动从动轮齿顶。 rb1 随着传动的进行，啮合点沿N1N2 线移动。 在主动轮顶圆与N1N2 线交点处B1脱离啮 合。主动轮：啮合点从齿根走向齿顶，而在从动轮，正好
C B1 ra2 O1 ω1 ra1
B2
n
N11 N
啮合线：一对轮齿啮合点的轨迹。 N22 N
α↓
B2
B1 B1 ra2
α’ > α’
α’
⑤α↓ →αa↑ →ε
B2
α↑
B1B2 < B1B2 O
2.中心距a及啮合角α’ 外啮合传动 对标准齿轮，确定中心距a时，应满足两个要求：
1)理论上齿侧间隙为零。
为了便于润滑、制造和装配误差，以及受力受热变形膨胀所引 起的挤压现象，实际上侧隙不为零，由公差保证
§5- 3标准直齿圆柱齿轮各部分名称 和尺寸
一、外齿轮 齿轮基本尺寸的名称和符号 基圆－ db、rb p 齿顶圆－ da、ra e 齿根圆－ df、rf s ha 齿厚－ sk 任意圆上的弧长 hf h 齿槽宽－ ek 弧长 齿距 （周节）－ pk= sk +ek
同侧齿廓弧长
B pk sk
ek pn
二、正确啮合条件
为保证齿轮轮齿正常交替啮合， 轮齿的分布必须使主、从动齿轮 相邻同侧齿廓在啮合线上所卡的 N 线段（法节）相同。
pb1
rb1 r1 B1
O1 ω1
N1
B2 P r2
2
pb1 pb 2
p1 cos 1 p2 cos 2 1 2 1 m1 cos 1 m2 cos 2 2
NK 0 NK k k k rb rb
αk ω
θk O rb
k0
k ：展角，它是压力角 k的函数， 称为渐开线函数。
k inv k tan k k
5.渐开线极坐标方程式
rk
rb
cos k
k inv k tan k k