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《概率论与数理统计》试题(1)一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。

正确打“√”,错误打“×”)⑴ 对任意事件A 和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布,则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ( )⑸ 样本方差2n S=n121)(X Xni i-∑=是母体方差DX 的无偏估计 ( )二 、(20分)设A 、B 、C 是Ω中的随机事件,将下列事件用A 、B 、C 表示出来 (1)仅A 发生,B 、C 都不发生;(2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。

三、(15分) 把长为a 的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 四、(10分) 已知离散型随机变量X 的分布列为210131111115651530XP-- 求2Y X =的分布列.五、(10分)设随机变量X 具有密度函数||1()2x f x e -=,∞< x <∞, 求X 的数学期望和方差.六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、(15分)设12,,,n X X X 是来自几何分布1()(1),1,2,,01k P X k p p k p -==-=<<,的样本,试求未知参数p 的极大似然估计.《概率论与数理统计》试题(1)评分标准一 ⑴ ×;⑵ ×;⑶ √;⑷ √;⑸ ×。

二 解 (1)ABC(2)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC ;(3)A B C 或ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ;(4)ABC ABC ABC ;(5)AB AC BC 或ABC ABC ABC ABC每小题4分;三 解 设A =‘三段可构成三角形’,又三段的长分别为,,x y a x y --,则0,0,0x a y a x y a <<<<<+<,不等式构成平面域S .------------------------------------5分A 发生0,0,222a a ax y x y a ⇔<<<<<+<不等式确定S 的子域A ,----------------------------------------10分所以1()4A P A ==的面积S 的面积 -----------------------------------------15分四 解 Y 的分布列为014917111530530YP. Y 的取值正确得2分,分布列对一组得2分;五 解 ||102x EX x e dx +∞--∞=⋅=⎰,(因为被积函数为奇函数)--------------------------4分 22||2012x x DX EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===⎰⎰2002x x x exe dx +∞+∞--=-+⎰2[] 2.x x xee dx +∞+∞--=-+=⎰----------------------------------------10分六 解 X ~b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ---------------------------10分 (2.5)( 1.5)=Φ-Φ-=0.994+0.933--10.927=.--------------------------------------------------15分 七 解 1111(,,;)(1)(1)ni i i nx nx nn i L x x p p p p p =--=∑=-=-∏----------5分1ln ln ()ln(1),nii L n p Xn p ==+--∑1ln 0,1ni i X nd L n dp p p=-=--∑--------------------------------10分解似然方程11nii n X n pp=-+=-∑,得p 的极大似然估计1p X=。

--------------------------------------------------------------------15分《概率论与数理统计》期末试题(2)与解答一、填空题(每小题3分,共15分)1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________.4. 设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>eX P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________.5. 设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它,0,10,)1()(x x x f θθ 1->θ.n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________.解:1.3.0)(=+B A B A P即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以 1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故161)3(-==e X P . 3.设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U,所以(0X F =,即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它另解 在(0,2)上函数2y x =严格单调,反函数为()h y =所以04,()0,.Y X y f y f <<==⎩其它4.2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ={min(,)1}1{min(,)1}P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)P X P Y =->>41e -=-.5.似然函数为 111(,,;)(1)(1)(,,)nn n i n i L x x x x x θθθθθ==+=+∏1ln ln(1)ln nii L n xθθ==++∑1ln ln 01ni i d L nx d θθ==++∑解似然方程得θ的极大似然估计为 1111ln ni i x n θ==-∑.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设,,A B C 为三个事件,且,A B 相互独立,则以下结论中不正确的是 (A )若()1P C =,则AC 与BC 也独立. (B )若()1P C =,则AC 与B 也独立.(C )若()0P C =,则A C 与B 也独立.(D )若C B ⊂,则A 与C 也独立. ( ) 2.设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ,则(||2)P X >的值为 (A )2[1(2)]-Φ. (B )2(2)1Φ-.(C )2(2)-Φ. (D )12(2)-Φ. ( ) 3.设随机变量X 和Y 不相关,则下列结论中正确的是(A )X 与Y 独立. (B )()D X Y DX DY -=+.(C )()D X Y DX DY -=-. (D )()D XY DXDY =. ( ) 4.设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立,则,αβ的值为(A )21,99αβ==. (A)12,99αβ==.(C ) 11,66αβ== (D )51,1818αβ==. ( )5.设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本,则下列结论中正确的是(A )1X 是μ的无偏估计量. (B )1X 是μ的极大似然估计量. (C )1X 是μ的相合(一致)估计量. (D )1X 不是μ的估计量. ( )解:1.因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A ),(B ),(C )都是正确的,只能选(D ).事实上由图 可见A 与C 不独立.2.~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选(A ). 3.由不相关的等价条件知应选(B ). 4.若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+ ∴29α=, 19β= 故应选(A ).5.1EX μ=,所以1X 是μ的无偏估计,应选(A ).三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解:设A =‘任取一产品,经检验认为是合格品’ B =‘任取一产品确是合格品’则(1) ()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+ 0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯= (2) ()0.90.95(|)0.9977()0.857P AB P B A P A ⨯===.四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设X 为途中遇到红灯的次数,求X 的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解:X 的概率分布为 3323()()()0,1,2,3.55kkkP X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 263,55EX =⨯= 231835525DX =⨯⨯=.五、(10分)设二维随机变量(,)X Y 在区域{(,)|0,0,1}D x y x y x y =≥≥+≤ 上服从均匀分布. 求(1)(,)X Y 关于X 的边缘概率密度;(2)Z X Y =+的分布函数与概率密 (1)(,)X Y 的概率密度为 2,(,)(,)0,.x y Df x y ∈⎧=⎨⎩其它22,01()(,)0,X x x f x f x y dy +∞-∞-≤≤⎧==⎨⎩⎰其它 (2)利用公式()(,)Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰其中2,01,01(,)0,x z x x f x z x ≤≤≤-≤-⎧-=⎨⎩其它2,01, 1.0,x x z ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它.当 0z <或1z >时()0Z f z =01z ≤≤时 00()222z zZ f z dx x z ===⎰故Z 的概率密度为2,01,()0,Z z z f z ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它.Z 的分布函数为200,00,0,()()2,01,01,1, 1.1,1z zZ Z z z f z f y dy ydy z z z z z -∞<⎧<⎧⎪⎪⎪==≤≤=≤≤⎨⎨⎪⎪>⎩>⎪⎩⎰⎰或利用分布函数法10,0,()()()2,01,1, 1.Z D z F z P Z z P X Y z dxdy z z ⎧<⎪⎪=≤=+≤=≤≤⎨⎪⎪>⎩⎰⎰20,0,,01,1, 1.z z z z <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩2,01,()()0,Z Z z z f z F z ≤≤⎧'==⎨⎩其它.六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标X 和纵坐标Y 相互独立,且均服从2(0,2)N 分布. 求(1)命中环形区域22{(,)|12}D x y x y =≤+≤的概率;(2)命中点到目标中心距离Z =.1){,)}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰2222288111248x y r De dxdy erdrd πθππ+--==⋅⎰⎰⎰⎰2221122888211()8r r red ee e ----=--=-=-⎰;(2)22818x y EZ E edxdy π+-+∞-∞-∞==⎰⎰22228801184r r rerdrd e r dr πθπ--+∞+∞==⎰⎰⎰222888r r r reedr dr +∞---+∞+∞-∞=-+==⎰七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm )2~(,)X N μσ,今抽取容量为16的样本,测得样本均值10x =,样本方差20.16s =. (1)求μ的置信度为0.95的置信区间;(2)检验假设20:0.1H σ≤(显著性水平为0.05).(附注)0.050.050.025(16) 1.746,(15) 1.753,(15) 2.132,t t t ===2220.050.050.025(16)26.296,(15)24.996,(15)27.488.χχχ===解:(1)μ的置信度为1α-下的置信区间为/2/2(((X t n X t n αα--+- 0.02510,0.4,16,0.05,(15) 2.132X s n t α===== 所以μ的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132)(2)20:0.1H σ≤的拒绝域为22(1)n αχχ≥-.221515 1.6240.1S χ==⨯=,20.05(15)24.996χ= 因为 220.052424.996(15)χχ=<=,所以接受0H .《概率论与数理统计》期末试题(3)与解答一、填空题(每小题3分,共15分)(1) 设事件A 与B 相互独立,事件B 与C 互不相容,事件A 与C 互不相容,且()()0.5P A P B ==,()0.2P C =,则事件A 、B 、C 中仅C 发生或仅C 不发生的概率为___________.(2) 甲盒中有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取2个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为___________. (3) 设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,现对X 进行四次独立重复观察,用Y 表示观察值不大于0.5的次数,则2EY =___________. (4) 设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布列为(,)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.40.2X Y Pa b若0.8EXY =,则Cov(,)X Y =____________.(5) 设1217,,,X X X 是总体(,4)N μ的样本,2S 是样本方差,若2()0.01P S a >=,则a =____________.(注:20.01(17)33.4χ=, 20.005(17)35.7χ=, 20.01(16)32.0χ=, 20.005(16)34.2χ=)解:(1)()()()P ABC ABC P ABC P ABC +=+因为 A 与C 不相容,B 与C 不相容,所以,A C B C ⊃⊃,故ABC C = 同理 ABC AB =.()()()0.20.50.50.45P ABC ABC P C P AB +=+=+⨯=. (2)设A =‘四个球是同一颜色的’,1B =‘四个球都是白球’,2B =‘四个球都是黑球’ 则 12A B B =+. 所求概率为 22212()()(|)()()()P AB P B P B A P A P B P B ==+ 22223322122222555533(),()100100C C C C P B P B C C C C =⋅==⋅=所以 21(|)2P B A =.(3)~(4,),Y B p其中 10.52201(0.5)24p P X xdx x=≤===⎰, 113341,44444EY DY =⨯==⨯⨯=, 2215()144EY DY EY =+=+=.(4)(,)X Y 的分布为这是因为 0.4a b +=,由0.8EXY = 得 0.220.8b += 0.1,0.3a b ∴==0.620.4 1.4EX =+⨯=,0.5EY =故 cov(,)0.80.70.1X Y EXY EXEY =-=-=.(5)2216(){4}0.014S P S a P a >=>= 即 20.01(16)4a χ=,亦即 432a = 8a ∴=.二、单项选择题(每小题3分,共15分)(1)设A 、B 、C 为三个事件,()0P AB >且(|)1P C AB =,则有 (A )()()() 1.P C P A P B ≤+- (B )()().P C P A B ≤(C )()()() 1.P C P A P B ≥+- (D )()().P C P A B ≥ ( )(2)设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞且~(0,1)Y aX b N =+,则在下列各组数中应取(A )1/2, 1.a b == (B )2,a b ==(C )1/2,1a b ==-. (D )2,a b == ( )(3)设随机变量X 与Y 相互独立,其概率分布分别为 010.40.6X P010.40.6Y P则有(A )()0.P X Y == (B )()0.5.P X Y ==(C )()0.52.P X Y == (D )() 1.P X Y == ( ) (4)对任意随机变量X ,若EX 存在,则[()]E E EX 等于(A )0. (B ).X (C ).EX (D )3().EX ( ) (5)设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本,x 表示样本均值,则μ的置信度为1α-的置信区间为(A )/2/2(x u x u αα-+ (B )1/2/2(x u x u αα--+(C)(x u x u αα-+ (D)/2/2(x u x u αα-+ ( ) 解 (1)由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =,故()()P C P AB ≥()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+-应选C. (2)22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N -故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.(3)()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.(4)[()]E E EX EX = 应选C.(5)因为方差已知,所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D.三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都 是一等品,求丢失的也是一等品的概率。

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