《概率论与数理统计》复习资料
第一章 随机事件与概率
1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃
（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃ （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃
3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP
（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n
k k n
k k A P A P 1
1
)()( （n 可以取∞）
（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=
（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃
（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能
5．几何概率 6．条件概率
（1） 定义：若0)(>B P ，则)
()
()|(B P AB P B A P =
（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==n
i i i B A P B P A P 1)|()()(
（4） Bayes 公式： ∑==
n
i i
i
k k k B A P B P B A P B P A B P 1
)
|()()
|()()|(
7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）
第二章 随机变量与概率分布
1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑i
i p =1
（3）对任意R D ⊂，∑∈=
∈D
x i i
i p
D X P :)(
2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰
+∞
∞
dx x f x f ；
（2）⎰=≤≤b a
dx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P
4．分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质
（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=
x x i i
i p
x F :)(；
（6）对连续随机变量，⎰∞
-=x
dt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F = 5．正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)(
)(σ
μ
-Φ=x x F ；
（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>
6．随机变量的函数 )(X g Y =
（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；
（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。

第三章 随机向量
1．二维离散随机向量，联合分布列ij j i p y Y x X P ===),(，边缘分布列⋅==i i p x X P )(，j
j p y Y P ⋅==)(有
（1）0≥ij p ；（2）∑=ij
ij p 1；（3）∑=⋅j
ij i p p ，∑=⋅i
ij j p p
2．二维连续随机向量，联合密度),(y x f ，边缘密度)( ),(y f x f Y X ，有 （1）0),(≥y x f ；（2）⎰
⎰+∞∞-+∞∞
-=1),(y x f ；（3）⎰⎰=∈G
dxdy y x f G Y X P ),()),((；
（4）⎰+∞∞
-=dy y x f x f X ),()(，⎰
+∞∞
-=dx y x f y f Y ),()(
3．二维均匀分布⎪⎩
⎪
⎨⎧∈=其它 0, ),( ,)(1
),(G y x G m y x f ，其中)(G m 为G 的面积
4．二维正态分布),,,,(~) ,(2
2
2121ρσσμμN Y X ，其密度函数（牢记五个参数的含义）⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=
2
2222121212
1222
1)())((2)()1(21ex p 121),(σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f 且
),(~ ),,(~2
22211σμσμN Y N X ；
5．二维随机向量的分布函数 ),(),(y Y x X P y x F ≤≤=有 （1）关于y x ,单调非降；（2）关于y x ,右连续； （3）0),(),(),(=-∞-∞=-∞=-∞F y F x F ；
（4）1),(=+∞+∞F ，)(),(x F x F X =+∞，)(),(y F y F Y =+∞；
（5）),(),(),(),() ,(111221222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<；
（6）对二维连续随机向量，y x y x F y x f ∂∂∂=),(),(2
6．随机变量的独立性 Y X ,独立)()(),(y F x F y x F Y X =⇔ （1） 离散时 Y X ,独立j i ij p p p ⋅⋅=⇔
（2） 连续时 Y X ,独立)()(),(y f x f y x f Y X =⇔
（3） 二维正态分布Y X ,独立0=⇔ρ，且),(~22
2121σσμμ+++N Y X 7．随机变量的函数分布
（1） 和的分布 Y X Z +=的密度⎰⎰+∞
∞-+∞
∞--=-=dx x z x f dy y y z f z f Z ),(),()(
（2） 最大最小分布
第四章 随机变量的数字特征
1．期望
(1) 离散时 ∑=i
i i p x X E )(，∑=i
i i p x g X g E )())(( ；
(2) 连续时⎰+∞∞
-=dx x xf X E )()(，⎰+∞
∞
-=dx x f x g X g E )()())((；
(3) 二维时∑=j
i ij j i p y x g Y X g E ,),()),((，dy dx y x f y x g Y X g E ⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-=),(),()),((
(4)C C E =)(；（5）)()(X CE CX E =； （6）)()()(Y E X E Y X E +=+； （7）Y X ,独立时，)()()(Y E X E XY E = 2．方差
（1）方差222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=，标准差)()(X D X =σ； （2）)()( ,0)(X D C X D C D =+=； （3）)()(2X D C CX D =；
（4）Y X ,独立时，)()()(Y D X D Y X D +=+ 3．协方差
（1）)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=； （2）),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov ==； （3）),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+；
（4）0),(=Y X Cov 时，称Y X ,不相关，独立⇒不相关，反之不成立，但正态时等价； （5）),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ++=+ 4．相关系数 )
()()
,(Y X Y X Cov XY σσρ=
；有1||≤XY ρ，1)( ,,1||=+=∃⇔=b aX Y P b a XY ρ
5．k 阶原点矩)(k k X E =ν，k 阶中心矩k k X E X E ))((-=μ。