，如图所示，
AB BM
，
ABM 1200 ， 过 点 M 作 MN x 轴 ， 垂 足 为 N ， 在 RtBMN 中 ， BN a ，
MN 3a ，故点 M 的坐标为 M (2a, 3a) ，代入双曲线方程得 a2 b2 a2 c2 ，即
c2 2a2 ，所以 e 2 ，故选 D．
2 / 17
考点：圆的方程．
5、（2015 年 2 卷 11 题）．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰 三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（ ）
A． 5 B． 2 C． 3 D． 2
【解析】设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0)
方程为 (x 3)2 y2 25 .
2
4
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程
3、（2015 年 1 卷 20 题）在直角坐标系 xoy 中，曲线 C：y= x2 与直线 y kx a （ a ＞0） 4
交与 M,N 两点， （Ⅰ）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
将 y kx a 代入 C 得方程整理得 x2 4kx 4a 0.
∴ x1 x2 4k, x1x2 4a .
∴ k1
k2
y1 b x1
y2 b = 2kx1x2 x2
(a b)(x1 x1x2
x2 )
=
k(a b) . a
当 b a 时，有 k1 k2 =0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，
故∠OPM=∠OPN，所以 P(0, a) 符合题意.
考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力
4、（2015 年 2 卷 7 题）过三点 A(1,3) ，B(4, 2) ，C(1, 7) 的圆交 y 轴于 M，N 两点，则| MN | （）
A．2 6
B．8
C．4 6
D．10
2、（2015 年 1 卷 14 题）一个圆经过椭圆 x2 y2 1的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴 16 4
上，则该圆的标准方程为
.
【答案】 (x 3)2 y2 25
2
4
【解析】设圆心为（ a ，0），则半径为 4 a ，则 (4 a)2 a2 22 ，解得 a 3 ，故圆的 2
xM
x1 x2 2
k
kb 2
【答案】（Ⅰ） a x y a 0 或 a x y a 0 （Ⅱ）存在
【解析】 试题分析：（Ⅰ）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用设而
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不求思想即将 y kx a 代入曲线 C 的方程整理成关于 x 的一元二次方程，设出 M,N 的坐标 和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用 a 表示出来，利用直线 PM， PN 的斜率为 0,即可求出 a, b 关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.
3 若能，求此时 l 的斜率，若不能，说明理由．
【解析】（Ⅰ）设直线 l : y kx b (k 0,b 0) ， A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ， M (xM , yM ) ．
将 y kx b 代 入 9x2 y2 m2 得 (k 2 9)x2 2kbx b2 m2 0 ， 故
【解析】由已知得 kAB
32 1 4
1 3，kCB27来自4 13 ，所以 kABkCB
1 ，所以
AB
CB ，
即 ABC 为 直 角 三 角 形 ， 其 外 接 圆 圆 心 为 (1, 2) ， 半 径 为 5 ， 所 以 外 接 圆 方 程 为
(x 1)2 ( y 2)2 25 ，令 x 0 ，得 y 2 6 2 ，所以 MN 4 6 ，故选 C．
故 y x2 在 x =- 2 2a 处的到数值为- a ，C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为 4
y a a (x 2 a ) ，即 a x y a 0 .
故所求切线方程为 a x y a 0 或 a x y a 0 .
（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设 P（0，b）为复合题意得点， M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1, k2 .
3
3
【答案】A
（D）（ 2 3 ， 2 3 ） 33
【解析】由题知
F1(
3,0), F2(
3, 0)
，
x02 2
y02
1
，
所
以
MF1 • MF2
=
(
3 x0, y0) • (
3 x0, y0)
= x02 y02 3 3y02 1 0 ，解得
3 3
y0
3 ，故选 3
A. 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
试题解析：（Ⅰ）由题设可得 M (2 a, a) ， N (2 2, a) ，或 M (2 2, a) ， N (2 a , a) .
∵ y 1 x ，故 y x2 在 x = 2 2a 处的到数值为 a ，C 在 (2 2a, a) 处的切线方程为
2
4
y a a (x 2 a ) ，即 a x y a 0 .
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
6、（2015 年 2 卷 20 题）（本题满分 12 分）已知椭圆 C : 9x2 y2 m2 (m 0) ,直线 l 不过
原点 O 且不平行于坐标轴， l 与 C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ． （Ⅰ）证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若 l 过点 ( m , m) ，延长线段 OM 与 C 交于点 P ，四边形 OAPB 能否为平行四边形？
2015-2017 解析几何全国卷高考真题
1、（2015
年
1
卷
5
题）已知
M（
x0 ,
y0
）是双曲线
C：
x2 2
y2
1上的一点， F1,
F2
是
C
上
的两个焦点，若 MF1 • MF2 0 ，则 y0 的取值范围是（ ）
（A）（- 3 ， 3 ） 33
（B）（- 3 ， 3 ） 66
（C）（ 2 2 ， 2 2 ）