2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）【2013年北京，理1，5分】已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B =（ ） （A ）{0} （B ）{}10-，（C ）{}01， （D ）{}101-，， 【答案】B【解析】1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-＝，故选B ．（2）【2013年北京，理2，5分】在复平面内，复数()22i -对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】D【解析】2()2i 34i --＝，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D ．（3）【2013年北京，理3，5分】“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵ϕπ=，∴sin 2sin2()y x x π=+=-，∴曲线过坐标原点，故充分性成立；∵(sin 2)y x ϕ=+过原点，∴sin 0ϕ=，∴k ϕπ=，k ∈Z ．故必要性不成立，故选A ．（4）【2013年北京，理4，5分】执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）1321（D ）610987【答案】C【解析】依次执行的循环为1S =，i 0=；23S =，i 1=；1321S =，i 2=，故选C ．（5）【2013年北京，理5，5分】函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ）（A ）1e x + （B ）1e x - （C ）1e x -+ （D ）1e x -- 【答案】D【解析】依题意，()f x 向右平移1个单位之后得到的函数应为x y e -=，于是()f x 相当于x y e -=向左平移1个单位的结果，∴()1x f x e --=，故选D ．（6）【2013年北京，理6，5分】若双曲线22221x y a b-= ）（A ）2y x =± （B ）y = （C ）12y x =± （D ）y =【答案】Bc =，∴b ．∴渐近线方程为by x a=±=，故选B ．（7）【2013年北京，理7，5分】直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）（A ）43 （B ）2 （C ）83（D 【答案】C【解析】由题意可知，l 的方程为1y =．如图，B 点坐标为()2,1，∴所求面积2322842424123x x S dx ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰，故选C ． （8）【2013年北京，理8，5分】设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ）（A ）43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， （B ）13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， （C ）23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， （D ）53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含112y x =-上的点，只需要可行域的边界点()m m -，在112y x =-下方，也就是112m m <--，即23m <-，故选C ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2013年北京，理9，5分】在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．【答案】1【解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为)，直线2sin ρθ=对应直角坐标系中的方程为2y =，所以点到直线的距离为1．（10）【2013年北京，理10，5分】若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ． 【答案】2；122n +-【解析】由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212n n n S +(-)==--．（11）【2013年北京，理11，5分】如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =________；AB =______． 【答案】95，4【解析】设9PD k =，则0()16DB k k =>．由切割线定理可得，2·PA PD PB =，即23925k k =⋅，可得15k =．∴95PD =，5PB =．在Rt APB ∆中，AB=4AB =．（12）【2013年北京，理12，5分】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 【答案】96【解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有1343496C A ⨯= (种)． （13）【2013年北京，理13，5分】向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ=_______．【答案】4 【解析】可设=-+a i j ，i ，j 为单位向量且⊥i j ，则62=+b i j ，3=--c i j ．由()()62λμμλλμ=+=-++c a b i j ， ∴6123μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得212λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=．（14）【2013年北京，理14，5分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为________．【解析】过E 点作1EE 垂直底面1111A B C D ，交11B C 于点1E ，连接11D E ，过P 点作PH 垂直于底面1111A B C D ，交11D E 于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是1C H ，故当1C H 垂直于11D E 时， P 点到直线1CC 距离最小，此时，在111Rt D C E ∆中，111C H D E ⊥，1111111··D E C H C D C E =，∴1C H ==． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）【2013年北京，理15，13分】在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠．（1）求cos A 的值； （2）求c 的值．解：（1）因为3a =，b =2B A ∠=∠，所以在ABC ∆中，由正弦定理得3sin A =．所以2sin cos sin A A A．故cos A ． （2）由（1）知，cos Asin A ．又因为2B A∠=∠，所以2cos 2cos 131B A =-=．n 3s i B ．在ABC ∆中， sin sin sin cos cos sin ()C A B A B A B =+=+=sin 5sin a Cc A==． （16）【2013年北京，理16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天． （1）求此人到达当日空气重度污染的概率； （2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期 望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”1,2)13(i =⋯，，．根据题意，()113i P A =，且()i j A A i j =∅≠．（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则58B A A =．()()()58582()13P B P A A P A P A ==+=．（2）由题意可知，X 所有可能取值为0,1,2，且0115()()()123P X P X P X ==-=-==；()()()()36711367114()()113P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=；()()()()1212131212134()()132P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=．所以X 的分布列为：故X 的期望5401213131313EX =⨯+⨯+⨯=．（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大． （17）【2013年北京，理17，14分】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =． （1）求证：1AA ⊥平面ABC ；1A 空气质量指数日期C 1B 1A 1A（2）求证二面角111A BC B --的余弦值．（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值． 解：（1）因为11AA C C 为正方形，所以1AA AC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AA C C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ，所以1AA ⊥平面ABC ．（2）由（1）知1AA AC ⊥，1AA AB ⊥．由题知3AB =，5BC =，4AC =，所以AB AC ⊥．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,3,0B ，()10,0,4A ，()10,3,4B ， ()14,0,4C ．设平面11A BC 的法向量为()x y z =n ，，，则1110A B AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即34040y z x -=⎧⎨=⎩．令3z =，则0x =，4y =，所以()0,4,3=n ．同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0=m ．所以cos 〈n ，m 〉=16cos ,||||25⋅=n m n mn m ．由题知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为1625．（3）设()D x y z ，，是直线1BC 上一点，且1BD BC λ=，所以343,4()()x y z λ-=-，，，．解得4x λ=，33y λ=-，4z λ=．所以4()334AD λλλ=-，，．由10AD A B ⋅=，即9250λ-=，解得925λ=．因为[]9250,1∈，所以在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥．此时，1925BD BC λ==． （18）【2013年北京，理18，13分】设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线．（1）求l 的方程；（2）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．解：（1）设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=．所以()11f '=．所以L 的方程为1y x =-． （2）令()()1g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()()001g x x x >>≠∀，．()g x 满足()10g =，且()()22ln 11x x x xg f x'=-+'-=．当01x <<时，210x -<，ln 0x <，所以()0g x '<， 故()g x 单调递减；当1x >时，210x ->，ln 0x >，所以()0g x '>，故()g x 单调递增． 所以，()()1001()g x g x x ∀>=>≠，．所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．（19）【2013年北京，理19，14分】已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：（1）椭圆2214x W y +=：右顶点B 的坐标为()2,0．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设()1A m ，，代入椭圆方程得2114m +=，即m =．所以菱形OABC的面积是1·22212OB AC m =⨯⨯=（2）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为0)0(y kx m k m =+≠≠，．由2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，消y 并整理得222()148440k x kmx m +++-=． 设11()A x y ，，22()C x y ，，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+． 所以AC 的中点为224,1414km m M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k -．因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（20）【2013年北京，理20，13分】已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（1）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=），写出1234,,,d d d d 的 值；（2）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；（3）证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．解：（1）121d d ==，343d d ==． （2）（充分性）因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，所以12n a a a ≤≤⋯≤≤⋯．因此n n A a =，1n n B a +=，11,2,3()n n n d a a d n +=-=-=⋯，． （必要性）因为(01,2,3)n d d n =-≤=⋯，，所以n n n n A B d B =+≤．又因为n n a A ≤，1n n a B +≥，所以1n n a a +≤．于是，n n A a =，1n n B a +=，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列． （3）因为12a =，11d =，所以112A a ==，1111B A d =-=．故对任意1n ≥，11n a B ≥=．假设{}()2n a n ≥中存在大于2的项．设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1k m ≤<，2k a ≤．又因为12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>．于是，211m m m B A d =->-=， 1{}2m m m B min a B -=≥，．故111220m m m d A B ---=-≤-=，与11m d -=矛盾．所以对于任意1n ≥，有2n a ≤，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2． 因为对任意1n ≥，12n a a ≤=，所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1．。