A ( x) {0,0,0.6,0.8,1}, B ( x) {1,0.8,0.6,0,0}, C ( x) {0,0.8,1,0.8,0}
A
i 1 5
论域 X 是离散的，则A可表示为
A ( xi )
xi
0 0 0.6 0.8 1 1 2 3 4 5
4 极老 ( x) 年老 ( x) 3/ 4 比较老 ( x) 年老 ( x)
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（1） 模糊蕴含
第 4章 计算机控制系统的控制算法
模糊命题：“如果 x 是 A ，则 y 是B”，表示模糊集合A和B 之间有蕴含关系 ：
AB ( x, y) [ A ( x) B ( y)] [1 A ( x)]
x
T(x)
X
图3 模糊语言变量的五元体
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第 4章 计算机控制系统的控制算法
3 模糊关系 (1) 模糊关系的定义 设X、Y为两非空集合，各任取一元素组成序对(x,y)，称所有序对构 成的集合为X和Y的直积，并记为：
X Y {( x, y) | x X , y Y }
定义： 从X到Y的模糊关系R是指在直积XxY中的一个模糊子集，其模糊
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b. 幂运算
第 4章 计算机控制系统的控制算法
设R是 X X 上的模糊关系，则它的模糊关系矩阵为方阵，R的幂定义为：
R2 R R R3 R R R R n R R R(n个R的合成） R m R n R mn
c.逆运算 设R是X到Y的模糊关系，则其逆模糊关系 R 函数为
A ( x) 0 A ( x) 1 Ex1 青年集合A A {x | 15岁 x 25岁 } 经典集合: x 20 2 ( ) 模糊集合： 7
A ( x) e
图1 青年的特征函数和隶属函数 a) 特征函数 b)隶属函数
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②常用的隶属函数
第 4章 计算机控制系统的控制算法
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第 4章 计算机控制系统的控制算法
Ex5 设X为横轴，Y为纵轴，直积 X Y即整个平面。模糊关系“x远远大于y” 的隶属函数确定为
0, x y 1 , x y A ( x, y ) 100 1 2 ( x y)
在X中取10，20，40，80四个点，在Y中取10，20，30，40四个点，则模糊关系 矩阵为
0 0 0 0 0.5 0 0 0 R 0.9 0.8 0.5 0 0 . 98 0 . 97 0 . 96 0 . 94
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（2）模糊关系的运算
第 4章 计算机控制系统的控制算法
模糊关系是积空间上的模糊集合，它的运算法则与一般的模糊集合完全相 同。
A 0.8 0.6 0.1 0.5 x1 x2 x3 x5
0.2 0.1 0.4 0 0.9 0.7 0 1 0.5 0.3 0.2 0.4 0.9 1 0.5 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x 4 x5
0.1 0.7 0.3 x1 x3 x5
R : X Y [0,1] 关系由隶属函数：
(x,y)具有关系R的程度。
R ( x, y) 表示序对 来刻划，隶属度
当X,Y 是有限的离散集合时，X和Y的模糊关系R可以用矩阵表示，称 为关系矩阵，即
RX Y (rij ) mn ( R (ai , b j ))mn i 1,2,...,m; j 1,2,...,n
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0.2 0.4 0.9 0.5 x1 x2 x3 x5
第 4章 计算机控制系统的控制算法
Ex3 设论域 X {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } ，A和B是论域X上的两个模糊集合，已知
A
0.1 0.7 1 0.3 B x1 x3 x4 x5
yY
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Ex 6 已知模糊关系矩阵
1 0 .2 0 .5 R1 0 . 1 0 . 4 0 . 1 0 .3 0 .9 0
0 . 4 0 .9 R2 0 . 7 1 0 .1 0 . 3
1 0.2 0.5 0.4 0.9 0.7 1 R1 R2 0 . 1 0 . 4 0 . 1 0.3 0.9 0 0.1 0.3 (0.4,0.2,0.1) (0.9,0.2,0.3) ( 0 . 1 , 0 . 4 , 0 . 1 ) ( 0 . 1 , 0 . 4 , 0 . 1 ) (0.3,0.7,0) (0.3,0.9,0) 0.4 0.9 0 . 4 0 . 4 0.7 0.9
用模糊关系矩阵表示：
RAB ( A B) ( A E)
一些常见的模糊规则的关系矩阵的表达式： •如果x为A，则y为B, 否则y为C， A X , B Y , C Y •如果x为A，y为B, 则z为C
R ( A B) ( A C) ：
A X , B Y ,C Z
1
是Y到X的一个模糊关系，其隶属
R ( y, x) R ( x, y),
1
( y, x) Y X
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第 4章 计算机控制系统的控制算法
Ex 7 设X为横轴，Y为纵轴，直积 X Y 即整个平面。模糊关系“y远远小 于x”的隶属函数确定为
0 1 A1 ( y, x) 100 1 2 ( x y)
(1) (2)
x X A n A ( xi ) X 离散 xi i 1
Ex1 青年模糊集合
A {( x, e A
(
x 20 2 ) 7
) | x 0}
x 0

e
(
x 20 2 ) 7
x
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Ex2 设论域 X={1，2，3，4，5}，可定义 X上的如下模糊集，A表 示“大”，B 表示“小”，C 表示“中”，并设各元素的隶属函数分别为
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4.5 模糊控制 4.5 Fuzzy Control
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1965年美国自动控制理论专家L．A． Zadeh首次提出了模糊集合理论，
1974年英国E．H．Mamdani首先将模糊控制应用于锅炉和蒸汽机的自动控 制。目前，模糊控制(Fuzzy Control)作为90年代的高新技术，得到非常广泛 的应用，被公认为简单而有效的控制技术。
,b 0
A
隶属函数曲线图如图2a所示。
A
μ
A
1-
1-
A
0
b
a
(a)
c x
0 (b)
a
x
图2 隶属函数曲线图
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③模糊集合的定义 定义1： 给定论域 X,
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A {x}是 X 中的模糊集合是指用 A : X [0,1]
这样的隶属函数表示其特征的集合。 ④模糊集合的表示形式 i A {( x, A ( x)) | x X } ii A ( x) X 连续
上的模糊集合分别为： X {a1, a2, a3, a4, a5}, Y {b1, b2, b3, b4} 1 0.8 0.4 0 .3 0 .9 A “大” B “小”= 。模糊关系“如果x为小， b3 b 4 a1 a 2 a3 则y为大”的模糊关系矩阵为： R A B ( A B ) ( A E )
A B
A B
A A ? A A ?
A A A A
0.8 0.6 0.9 0.5 x1 x2 x3 x5 0.2 0.4 0.1 0.5 x1 x2 x3 x5
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2. 模糊语言 定义2 语言变量是以五元组（x, T (x), X, G, M ) 来表征的，其中x是变量的名称， T (x) 是语言变量值的集合，每个语言变量值是定义在论域 X 上的一个模糊集 合，G 是用以产生语言变量 x 值名称的语法规则，而 M 是语义规则，用以产 生模糊集合的隶属度函数。 Ex4
(2) 模糊集合的运算 A B A ( x) B ( x) ① 等集： ② 子集： A B A ( x) B ( x) A A ( x) 0 ③ 空集： ④ 并集： C A B c ( x) A ( x) B ( x) max[ A ( x), B ( x)] ⑤ 交集： c ( x) A ( x) B ( x) min[ A ( x), B ( x)] C A B ⑥ 补集： B A B ( x) 1 A ( x)
x b a b ,b x a a.三角型 c x ( x ) ,a x c 隶属函数的解析式 A c a 隶属函数曲线图如图2a所示。 0, x b或x c b.正态型
隶属函数的解析式 μ
A ( x) e
(
x a 2 ) b
：
R A B C
•如果x为A，y为B, z为C ，否则z为D A X , B Y , C Z , D Z
( A C ) ( B C )( A, B维数相同）
：
R ( A B C) (( A B) D)
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Ex 8 设论域
第 4章 计算机控制系统的控制算法