y为B
B ( y)

B ( y) sup[ A ( x) AB ( x, y)]
*
xA

关于 B ( y)的计算
1 假定 对x x, A* ( x) 1; 对 x x, A* ( x) 0, ） x U ;
（单点模糊化）
*
2) A B ( x, y )用极小(min) 三角范式计算。
模糊推理
1. 单个前提单个规则:
前提（事实） 1 前提 2 （规则） 结果（结论） x是A if x 是A, then y是B y是B
B ( y ) [ A ( x) A ( x) B ( y )]
x
[ ( A ( x) A ( x))] B ( y )
B 那么结果 B的隶属度函数 （y）是多少？
模糊推理公式
AB ( x, y) min[ A ( x), B ( y)] 验证举例 ˆ
令A、A’和B分别为论域X、 X’和Y上的模糊集 合，假定模糊隐含A→B表达为X×Y空间上的 模糊关系： • A：苹果红 {0.25，0.5，0.9} • 论域X 有点红，红，很红 • B：苹果熟 {0.2，0.6，0.8} • 论域Y 有点熟，熟，很熟
0
取上界：
B ( y ) 1 min[ 0, A B ( x x, y )] 1

说明二点： 1）对 x x 一个特定的规则（其结果是具有有限支集的特定
模糊集合），激发的结果是一个具有无限支集的模糊集合。 2）对 x x 所有各点，规则将以最大可能的输出隶属函数值1， 来激发规则。 从工程观点看，以上二点，违反了工程中的因果关系，即 有因才有果。无因不能有果。
pq ( x, y) pq ( x, y) max[ p ( x), q ( y)]
max[( p ( x)), q ( y)] 1
pq ( x, y) 1 p ( x)(1 q ( y))
( p q) ~ [ p (~ q)] （乘积）
X Y
A ( x) B ( y ) /( x, y )
A B ( x , y ) A ( x ) B ( y )
参照精确隐含：(用真值表表示)
A (x) B ( y)
1 1 0 0 1
B ( y)
min[ A ( x), B ( y)] A ( x) B ( y)
pq ( x, y) min[(1, (1 p ( x) q ( y))]
(~ p) q（有界和）
1 min[ p ( x), 1 q ( y)]
1 p (x) q ( y) 1- p (x) 1- q (y) max[ p ( x), q ( y)]
结果正确！
x为A
*
y为B
*
If-then规则 AB ( x, y)
B ( y)
*
则求B A R A (A B)
x
B ( y ) maxmin[ A ( x), B ( x, y )]
前提1 （事实） 前提（规则） 2 结果（结论） x是A if x 是A, then y是B y是B
1 1 0 0
1 0 1 0
0 0 1 1
0 1 0 1
1 0 1 1
1 0 1 1
传统命题逻辑的推理
1 假言推理 (Modus P onens) ） 前提（事实） 1 前提 2 （规则） 结论 x是A if x 是 A, then y 是B y是B [( p ( p q)) q ]
2) 否定前提的假言推理 前提（事实） 1 前提 2 （规则） 结论
p q ,“交” p q , “并”
p q,
“if then”
4) 逆操作 Inversion
5) q”。
~p 等效关系 Equivalence p q ，“p即
一个隐含是“真”，必须满足三个条件之一： 1） 前提是真，结论是真； 在教书，是教师；成立
2） 前提是假，结论是假；不教书，不是教师；成立
模糊逻辑与模糊推理
• 对模糊现象的机理进行分析、抽象，进 而用用模糊数学表达
模糊逻辑与模糊推理
1）精确逻辑（传统逻辑）的一些概念
命题逻辑、布尔代数、和集合论。 ****隐含是重要的概念。 传统的命题逻辑中，命题的“真”和“假”必须具有 意义。逻辑推理是给定一个命题，组合成另一个命题的过 程。组合的基本操作： 1）合取 Conjunction, 2）析取 Disjunction 3）隐含 Implication
(Modus T ollens)
y不是 B if x 是 A, then y 是B x不 是 A [(q ( p q)) p ]
2）模糊逻辑与模糊推理 ☆关于“工程隐含”的概念。模糊隐含原则上可 以引用传统隐含的表达式。
A B ( x, y ) [0,1] 是衡量 x和y隐含关系的真实程度。 表示为： A B ( x, y ) 1 min[ A ( x), (1 B ( y ))] A B ( x, y ) max[( A ( x)), B ( y )] 1
模糊推理：
前提1 （事实） 前提（规则） 2 结果（结论） x是A if x 是A, then y是B y是B
前提2中A与B的模糊关系为：
AB ( x, y) min[ A ( x), B ( y)] ˆ
或
AB ( x, y) [ A ( x) B ( y)] ˆ
1 0 1 0 1 y
x x
1 0 0 0 模糊隐含 1
B ( y)

1 0 0 0 1
A (x)
B ( y)

A (x)
x’ x
y x’ x
x x
AB ( x, y) min[ A ( x), B ( y)] ˆ
AB ( x, y) [ A ( x) B ( y)] ˆ
B ( y ) sup[ A ( x) ☆ A B ( x, y )]

x A
*
情况1
A* ( x)☆ A B ( x, y )
(对x x)
1☆ A B ( x, y ) min[ , A B ( x, y )] 1 A B ( x, y ) 1 min[ A ( x), (1 B ( y )) ]
q p q ~ q p (~ q) ~ [ p (~ q)] ~ p (~ p) q
T F T T F T T F T F T F T F F T F T T F F T T T F T T
F F
隐含隶属函数表达式 pq ( x, y) 1 pq ( x, y) 1 min[ p ( x), (1 q ( y))] 或
隶属函数的计算
B ( y) [ A ( x) B ( y)] [ A ( x ) B ( y) C ( z )]
x，y x, y
[( A ( x ) B ( y) A ( x ) B ( y)] C ( z ) {[( A ( x ) A ( x ))]} {[ B ( y) B ( y)]} C ( z )
x y
(1 2 ) c ( z )
3) 多前提多规则
前提（事实） 1 前提 2 （规则1 ） 前提 （规则2 3 ） 结果（结论） x是A, y是B if x 是A1和 y是B1 , then Z是C1 if x 是A2和 y是B2 , then Z是C2 z是C
模糊推理：
苹果熟了的模糊推理合理吗？
x为A
*
y为B
*
当A' 0.1，.3，.7 0 0
'
If-then规则 AB ( x, y)
'
B ( y)
*
B ( y ) maxmin[ A ( x), A B ( x, y )]
x
＝0.1，.6，.7 0 0
0.2,0.25,0.25 0.1，.3，.7 0.2,0.50,0.8 0 0 0.2,0.60,0.8 最大最小复合
3） 前提是假，结论是真。
不教书，是教师；成立
隐含是“假”时，则：
逻 辑 关 系 用 真 值 表 示
4） 前提是真，结论是假。
在教书，不是教师。
p T
q
T
pq pq
T F F F T T T F
pqpq ~ p
T F F T F F
T F T T
T F F TBiblioteka F F T T传统命题逻辑的基本公理：
A：苹果红 {0.25，0.5，0.9} B：苹果熟 {0.2，0.6，0.8}
• 如果A→B：用min方法
A B ( x, y ) min[ A ( x), B ( y )] ˆ
有点熟，熟，很熟 0.25, 0.25 有点红 0.2, 0.2, 0.50, 0.5 红 0.60, 0.8 很红 0.2,
或
A B ( x, y ) 1 [ A ( x) (1 B ( y ))] A B ( x, y ) min[( , (1 A ( x) B ( y ))] 1
在连续域情况下，应用于推理会发生问题！
x为A
If-then规则 AB ( x, y)
Mamdani 和 Larsen 分别提出极小和乘积的隐含运算。 AB ( x, y) min[ A ( x), B ( y)] ˆ AB ( x, y) [ A ( x) B ( y)] ˆ