第十二章 线性回归分析练习题一、最佳选择题1．X Y S ,表示( )。

Ａ．Ｙ的离散程度 B ．ˆY对Y 的离散程度 C ．Y 和X 的离散程度 D ．Y 对ˆY的离散程度 Ｅ．X 的离散程度 2. 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点距直线的（ ）。

A ． 纵向距离之和最小B ．纵向距离的平方和最小C ．垂直距离之和最小D ．垂直距离的平方和最小确E ．纵向距离的平方和最大3． Y ＝14＋4X 是1－7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重 换成国际单位kg ，则此方程（ ）。

A ． 截距改变B ． 回归系数改变C ． 两者都改变D ．两者都不改变E ．相关系数改变4．直线回归系数假设检验，其自由度为（ ）。

A. nB. n -1C. n -2D. 2n -1 Ｅ. 2(n -1)5. 当r ＝0时，Y＝a ＋bX 回归方程中（ ）。

A ．a 必大于零B ．a 必等于XC ．a 必等于零D ．a 必等于YE ．a 必等于b6．在多元线性回归分析中,应变量总离均差平方和可以分解为回归平方和与残差平方和 两部分，试回答残差系指 ( )。

A ．观察值i Y 与估计值ˆiY 之差 B ．观察值i Y 与平均值Y 之差C ．估计值ˆiY 与平均值Y 的平方和之差 D ．观察值i Y 与平均值Y 之差的平方和E ．观察值i Y 与估计值ˆiY 之差的平方和二 、问答题1．用什么方法考察回归直线是否正确？2．简述回归系数方差分析Y 的平方和自由度的分解。

3．简述回归分析中Y 的标准差Y S 与剩余标准差X Y S ,的区别和联系。

4． 简述Y S ˆ与0Y S 的区别。

5．举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？ 6．直线回归分析时怎样确定自变量和因变量？ 7．简述曲线回归常用的几种曲线形式。

三、计算题1．一个产科医师发现孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重有关，并且两者之间成正相关。

现收集了31例待产妇24小时的尿，测量其中的雌三醇含量，同时记录产儿的体重。

结果如下表，求直线回归方程并对回归系数作假设检验。

待产妇尿中雌三醇含量与新生儿体重关系编号 尿雌三醇 新生儿体重 编号 尿雌三醇 新生儿体重 （mg/24h ） （kg ） （mg/24h ） （kg ） （1） (2) (3) （4） (2) (3) 1 7 2.5 17 17 3.2 2 9 2.5 18 25 3.2 3 9 2.5 19 27 3.4 4 12 2.7 20 15 3.4 5 14 2.7 21 15 3.4 6 16 2.7 22 15 3.5 7 16 2.4 23 16 3.5 8 14 3.0 24 19 3.4 9 16 3.0 25 18 3.5 10 16 3.1 26 17 3.6 11 17 3.0 27 18 3.7 12 19 3.1 28 20 3.8 13 21 3.0 29 22 4.0 14 24 2.8 30 25 3.9 15 15 3.2 31 24 4.3 16 16 3.22．为探讨某地饮水中氟含量与氟骨症的关系，试对测量得到的下列8对数据进行直线相 关分析 。

氟含量（mg/L ）X ： 0.47 0.64 1.00 1.47 1.60 2.86 3.21 4.71患 病 率（％）Y ： 22.37 23.31 25.32 22.29 28.57 35.00 46.07 46.08（1）按此资料绘制散点图？（2）求直线回归方程并对回归系数作假设检验。

（3）试估计氟含量为2.00 mg/L 时，患病率平均增加多少，计算其95％的可信区间，并 说明其含义。

（4）求氟含量为2.00 mg/L 时，患病率Y 值的95％的容许范围，并解释其含义。

练习题参考答案一、最佳选择题：1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A二 、问答题1．答：用以下三种方法判定： （1）直线必须通过点（X ，Y ）。

（2）若纵坐标、横坐标无折断号，将此线左端延长与纵轴相交，焦点的纵坐标必等于截距a 。

（3）直线是否在自变量X 的实测范围内。

2．答：SS 总即2Y Y ∑（－），为反应变量Y 的离均差平方和，表示在未考虑X 与Y 的回归关系时Y 的变异，可分解为两部分的变异，一部分为回归平方和，另一部分为剩余平方和，分别用SS 回和SS 剩表示。

这三个平方和，各有其相应的自由度ν，其关系为：ννν总回残＝＋，1n ν=-总，1ν回＝，n -2ν残＝。

3．答：Y S 表示在总体中，当X 为某一定值时，个体Y 值的波动范围。

而剩余标准差,Y XS 是指当X 对Y 的影响被扣除后，Y 方面仍有变异。

这部分变异与X 无关，纯属抽样变异。

当X 与X 接近且充分大时，可用,Y X S 代替Y S 。

4．答：Y ∧是X 对应Y 的总体均数的一个样本估计值，YS ∧是反映其抽样误差大小的标准误，其计算公式为YXYX YS S S ∧==0Y S 是反映个体Y 值的容许区间大小的，也就是说当总体中X 为某定值时，Y 值由于随机误差影响在0Y ∧上下波动的范围的大小就取决于标准差Y S ，其计算公式为0Y YXYX S S S ==。

5．答：步骤如下：（1）根于研究目的确定预报因子（X ）和预报量（Y ），由X 估计Y 值，收集资料。

（2）建立预报方程bX a Y +=，并进行回归系数假设检验。

若P 小于检验水准，则回归方程成立。

（3）根据回归方程在X 实测范围内对Y 进行预测，并计算X 为某定值时，个体Y 值波动范围（容许区间）。

例如：1－7岁儿童，X 为年龄，Y 为体重，可根据年龄预测（估计）体重。

统计控制是利用回归方程进行逆估计，如要求因变量Y 值在一定范围内波动，可以通过控制自变量X 的取值来实现。

步骤同前。

例如：针刺哑门穴，进针深度Y 与颈围X 间存在直线关系，可根据X 取值达到控制Y 的目的。

6．答：（1）Ⅰ型回归中，X 为精密测定和严格控制的变量，Y 为正态变量。

表示原因的为X ，表示结果的为Y 。

（2）Ⅱ型回归中，X 、Y 均为服从正态分布的随机变量，互为因果，可计算两个回归方程。

何者为X ，何者为Y ，根据研究目的确定。

如身高、体重两变量，若目的只是由身高估计体重，则确定X 为身高，Y 为体重。

7．答：曲线回归常用的几种曲线形式有： （1）指数函数（()a bX Y e +=），当b ＞0时，Y 随X 上升而上升；当b ＜0时，Y 随X 上升而下降。

（2）幂函数（b Y aX =），当b ＞0时，Y 随X 上升而上升；当b ＜0时，Y 随X 上升而下降。

（3）对数函数（ln Y a b X =+），当b ＞0时，Y 随X 上升而上升，先快后慢；当b ＜0时，Y 随X 上升而下降，先快后慢。

（4）logistic 函数（11a bXY e +=+），当b ＞0时，Y 随X 上升而下降；当b ＜0时，Y 随X 上升而上升。

三、计算题 1．解： （1）计算获得：534X =∑，29876X=∑，99.2Y =∑，2324.8Y =∑，1750XY =∑，3.2X =，17.23Y =()()53499.2175041.2031X X Y Y ⨯--=-=∑()225349876677.4231X X -=-=∑代入公式：()()()4120.061677.42X X Y Y b X X --===-∑∑ 3.20.06117.23 2.15a Y bX =-=-⨯= ˆ21.50.061Ya bX X =+=+（2）回归系数假设检验：0:0H β=，即孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重有直线关系1:0H β≠，即孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重无直线关系 0.05α=由上面的计算结果： ()2677.42X X -=∑，()26.74Y Y -=∑，()() 4.12X X Y Y --=∑()2241.2ˆ 6.74 4.23677.42Y Y -=-=∑.0.38X Y S ==，0.15b S ==所以，0.614.140.15t ==自由度31229v =-=，查t 值表，0.01/2,29 2.756t =，0.01P <，按0.05α=检验水准，拒绝0H ，认为待产妇24小时尿中雌三醇含量与产儿体重之间存在线性回归关系。

2．解：(1) 散点图如下氟含量与患病率的散点图0510152025303540455000.511.522.533.544.55氟含量（mg/L）患病率（%）(2) 由原始数据及散点图初步分析，估计本资料有直线趋势，故作下列计算 15.96X =∑，247.02X =∑， 2.00X =249.01Y =∑，28468.78Y =∑，31.13Y =，594.25XY =∑()22215.9647.0215.188XXX l X n =-=-=∑∑ ()222249.018468.78718.038YYY l Y n =-=-=∑∑()()15.96249.01594.2597.488XYX Y l XY n ⨯=-=-=∑∑∑97.486.4215.18XY XX l b l ===31.13 6.42 2.0018.29a Y bX =-=-⨯=回归系数假设检验：0:0H β=，即氟含量与患病率之间无线性关系 1:0H β≠，即氟含量与患病率之间有线性关系 0.05α=718.028YY SS l ==总2297.48625.98315.18XY XX l SS l ===回718.028625.98392.045SS SS SS =-=-=剩总回①方差分析（见表）：方差分析表变异来源 SS df MS F P 回归 625.983 1 625.983 40.805 ＜0.01剩余 92.045 6 15.341总变异718.0287计算得16.147F =，查F 界值表，得P ＜0.01，按0.05α=水准，拒绝0H ，接受1H ，可认为氟含量与患病率间有直线关系。

② t 检验：0:0H β=，即氟含量与患病率之间无线性关系 1:0H β≠，即氟含量与患病率之间有线性关系 0.05α=718.028YY SS l ==总2297.48625.98315.18XY XX l SS l ===回718.028625.98392.045SS SS SS =-=-=剩总回3.92Y X S •===0 6.38b b t S -====按6v =，查t 界值表，得0.001P <，按0.05α=水准，拒绝0H ，接受1H ，结论同上。

本题t F ===39.681.40，故可用直线回归方程ˆ18.29 6.42Ya bX X =+=+来描述患病率与增加氟含量的关系。