史瓦西线元
• 史瓦西坐标、史瓦西度规，几何化单位.7428 • 静态，时间t平移不变，Killing矢量ξ=(1,0,0,0) • 球对称，球极坐标角：φ平移不变，Killing矢量η =(0,0 0,1) θ • r=P/2π，约化周长，约化Planck常数h，面积；半径不可 以直接测量（到中心）,Δr可测，在长度上意义见下页 • 静态弱场，Weiberg3.4gtt， M是质量，可以证明M是星体 及其引力场的总能量Weinberg8.2，也就是说利用Kepler 定律测到的引力质量不仅仅是牛顿力学认为的组成粒子质 量之和，22.4节;M=0平直时空 • 几何只取决于M，与物质径向分布无关，牛顿定理GR版 • 度规仅仅依赖于r,r->∞渐进平直时空
• r的意义=约化周长——角向 • r——》rho
– 仅有1维 – 2维时
球面
• Φ——测地线 • θ——非测地线，除赤道圈
– θ换成Φ' – 也用测地线，赤道圈上某一点P=第二极点O' – 相对于北极点O – OO'大圆上坐标失效，无能区分不同点——非 全局！ – 对比极点（θ，Φ）坐标简并
简单回顾史瓦西时空
GR
无非是将平直时空（事件集合） 用网格点标记
• 数学的威力——Einstein求助 • 重要的是数学表达了什么物理
线元与度规
• Δx2+Δy2=Δx'2+Δy'2 • -Δt2+Δx2=-Δt'2பைடு நூலகம்Δx'2
– Δx''=0，=-Δt''2=-Δτ2 – Δt''=0，=Δx2=Δs2 –0
测量意义？
第五点：有效势能曲线
分析原理
第六点：轨道类型
史瓦西几何
• 球对称曲率源（引力源），例如球对称星球，地 球和太阳可近似，忽略自转和扁率 • 最大对称，与物质径向分布无关，牛顿定理GR版 • 静态，但是星体不一定静止，球对称塌缩， Birkhoff定理 • 外部真空的几何，内部非真空解取决于物态方程， 平滑地在星体表面相接，图 • 渐近平直；星体中心相对于遥远静止观者(t,dr)静 止.与宇宙学R-W度规衔结是另一种几何
第三点：利用守恒量得到 引力红移
测量公式
重点：固定钟——纯粹引力红移
• 固定——静止观者
非固定的一般钟
第四点：测地线方程（组）
径向方程
测试粒子和光线的测地运动 三个初积分／运动常数／守恒量
• 单位质量粒子能量e(因为在远处)， 无量纲, 物理意义! • 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 所有的轨道都是在某一个过球心平面上运动：1。直观地 看，任何偏离平面的运动都受到非向心力，破坏了球对称 • 2。教材9.22，L=0，初始dφ/dτ=0，则以后沿测地线处处 为dφ/dτ=0， φ=Const.在一个平面上 • 3. 解测地线方程，附录B，LightmanP404 • 可以证明平面运动是稳定的,小扰动后回 • 坐标轴重新取向，约定在赤道面上讨论θ=π/2 • 第三个初积分，四速度归一/0化，即线元 • 四速度只有三个非零分量，利用三个初积分方程，可用 e,L表达
静态：静止观者、ξ 球对称：
第一点 静止观者四速度
基准、固定钟尺
四速度
• 分量（γ，γV）？ • 固定静止==》 • 归一化==》
物理时间
构造空间标正基
• 通常正交坐标系 • 对于静止观者归一化即可 • 对于运动观者标正条件
物理长度
反省3问题
• 1、这部分你是否学到了什么？或者你认为最有用 的是什么？
测验
• 习题7.21 • 惯性系skew坐标下平直时空线元和度规
从惯性到加速
• Δ——》d
从全局惯性到全局坐标
• 平直时空匀加速系 • 弯曲时空
– 比较异地钟尺运动态无意义——相对于LIF – 时间总有膨胀=弯曲 – 空间至少2维有弯曲——你的时间是我的时间 和空间的组合
史瓦西时空为例 2维空间必然弯曲
– 如果不是，请问哪些你没学到？ – 如果不确定，请解释原因。
• 2、课中哪点你觉得最不清楚？或有最大问题？ • 3、不清楚的原因是
– – – – – 讲课不够清楚？ 缺少提问的机会？ 你事先没有准备？ 缺乏课堂讨论？ 其他？
第二点：运动常数（守恒量） 的测量意义
重点：e的测量意义
测量者（观者、钟尺） u
Killing矢量场
• 单独一个Killing矢量可能无意义
– 整体“平移”
• 黎曼几何的对称性数目=相互独立的Killing 矢量场的数目 • 多个Killing矢量场之间独立性
Killing矢量场独立性问题
• 原点平移后转动Killing矢量场变化了
– 新的Killing矢量场？ – 线性组合
史瓦西坐标r
• r=0, r=2M（史瓦西半径，引力半径）在星体内， 除非（球对称）黑洞,此线元可以描述2M>r>0 • r在无穷远，固有长度，微分（利用local光速为1 得到，因为等效原理），潮汐径向拉伸，越近拉 伸越厉害, r->2M；反看则为潮汐横向挤压 • 有限固有长度(物理,默认) ，公式，数值举例 • 给定t，空间部分，嵌入图（三维欧式透视），大 r侧近似为抛物面方程，投影到平面
obs
1 1 静止钟尺u obs ξ ξ - g 00 1 2M/r ξ，当r ξ
本人思考结果
• 前面讨论的钟尺网格——不同态 • 时间平移不变——全局时间——仅在无穷 远对应基准钟
e的取值范围
• 径向+固定地点、相对于静止观者
守恒角动量l的物理意义
• 单位质量粒子角动量L(因为L=rv) • 牛顿万有引力（有心力）守恒量h=r2(dΦ/dt) =Kepler第二 定律
• 系数——自由度
运动常数=守恒量
• d/dτ • 沿着测地线=自由粒子运动过程中 • 有一个物理量
复习、回顾、总结 重点
三种理论4种钟尺网格
理论 牛顿
SR
惯性系Lorentz坐标 t,x,y,z 惯性系skew坐标 t',x,y,z或t,x',y,z 加速系正交 加速系非正交 任意正交：史瓦西 t,r,θ,Φ 任意非正交：Cook 相对静止 参考系和坐标系 符号 各个钟、各把尺
广义相对论课堂20 Schwarzschild时空测地线
2011.11.21
课程安排
• • • • • • 复习内容：标正基构造 新内容：Schwarzschild时空应用 下次课：续 学习目标分课堂，每课堂最多6个 调查表 草稿纸——助教
复习、回顾、总结 重点
初始条件
• 几何=位置+方向——四速度 • 区分3维位形空间（3速度）——四维时空 （四速度） • 实现WEP