三垂直模型相似三角形（教学设计）
广州市东晓中学王智君
一、学习目标
1、掌握相似三角形的性质和判定，并能熟练运用三垂直模型解决问题。

2、经历运用相似三角形的基础知识解决的过程，体验图形的运动以及方程等数学思想。

二、授课
（一）【导入新课】
相似三角形在初中的应用非常广泛，用于线段、面积的计算；用于线段关系式、线段的数量关系、位置关系的证明。

前段时间我们学习了相似三角形的A字形、8字形等模型的应用，今天我们继续探索相似三角形的性质和应用。

（二）【探究活动】
【探究1】构造格点三角形
请在图1中画一个直角三角形ABC，满足条件：
（1）以线段AC为斜边；
（2）顶点B落在线段MT的格点上。

师问：怎样画出这样一个直角三角形？
生答：用直角三角板，把直角顶点B放在线段MT的任一格点上，以点B为顶点旋转三角板，若使得两直角边与点A、点C同时重合，则三角形ABC为直角三角形了。

师问：你能确定你这个三角形一定是直角三角形吗？
生答：利用格点图，易知AC=5，AB=5, BC=25,在利用勾股定理的逆定理，可以知道
AB²+BC²=AC², 所以ΔABC必定为直角三角形。

师说：由于题目要求∠ABC恒为90°，由此我们还可以考虑直径所对的圆周角也恒为90°。

那么我们以线段AC为直径作圆，圆弧与线段MT交点，便为点B.
师问：今天我们要研究不是ΔABC，而是ΔAMB与ΔBTC。

请问ΔAMB与ΔBTC相似吗?
生答:相似。

因为夹角为直角，两边对应成比例。

【探究2】构造三垂直模型
师问：我把图2中格线擦掉后，条件不变，依然在正方形中，且∠ABC=90°，请问图3中ΔAMB 与ΔBTC这两个三角形还相似吗？依据呢？
生答：相似，由于∠1+∠2=90°且∠1+∠2=90°，所以∠1=∠3，又因为∠M =∠T = 90°,因此这两个三角形相似。

师说：很好。

我们利用同角的余角相等，易于得出这两个三角形有两组角相等，所以相似。

这种有三个直角，其顶点都在同一直线上的，构成这种相似三角形，我们俗称三垂直模型。

结论1：在三垂直模型中，至少有一对相似三角形。

F E D C B A 例题1：如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，
∠BEF=90°，AB=6，AE=9，DE=2，求线段EF 的长度。

设计意图：利用三垂直模型，易于得到左右两个三角形相似，
根据对应边成比例，求出相关线段。

再利用勾股定理得出EF
的长度。

【探究3】构造折叠
例题2：如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC
边上F 点处，已知CE=6cm,AB=16cm,求BF 的长。

师问：折叠前后两个三角形有什么性质？
生答：两个三角形全等，其对应边、对应角分别相等。

师问：这道题的背景除了折叠，还有矩形四个角都为直角，对边相等外，图中还隐藏信息？ 生答：三垂直模型，相似。

师说：对，图中有很多直角，构成的直角三角形三边满足勾股定理。

（三）下面我们研究一下三垂直模型中，出现三个三角形两两相似的情况。

【探究4】探究相似
例3： 如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，
C ，
D 四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长
为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2
中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个点E ，连接ED 、EC,使
得Rt ∆CED 、Rt ∆DAE 、Rt ∆EBC ，三个三角形两两相似。

师说：在线段AB 上找一点E,连结DE,发现DC//AB,则有一组内错角相等，又因为题目条件有2个三角形相似，已知∠DAB 已是直角，则∠DEC 必为直角。

生说：我知道了，实际上就是以线段DC 为直径作圆就行了。

师说：在这道题中，我们发现了一个性质。

在三垂直模型中，当DC//AB 时，得到的三个三角形两两相似。

结论2: 在三垂直模型中，当DC//AB 时，得到的三个三角形两两相似。

【探究5】
如图4：将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处。

若Rt ∆
EMC 、Rt ∆AME 、Rt ∆BEC ，三个三角形两两相似，则请试探究AB 和BC 的数
量关系。

师问：本题出题的背景也是矩形，并且折叠，但是多了一个条件是三个
三角形两两相似。

现要求AB 、BC 两线段的数量关系。

题目没有出现边角
的具体数据，你们能在题目中找到隐藏的边角条件吗？
师说：其实，在三垂直模型中，还有一种特殊情况，就是当点E 为AB 的中点时，这三个三角形两两相似。

请同学们回家想想为什么，想办法证明出来。

结论3：在三垂直模型中，当点E 为AB 中点时，三个三角形两两相似。

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三、课堂检测：
如图，已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2，点P是AB上的一个
动点，与点A、B 不重合，过点P作PE垂直DP，交边BC于
点E，设PA=x，BE=y。

求y关于x的函数关系式，写出x的取值范围，并求出y的
最大值。

四、小结收获，交流归纳
（1）由“三垂直模型”基本图形搭建桥梁可以得到相似三角形。

（2）学习几何最重要是学会归纳一些简单的基本图形，学会从复杂的图形里提炼基本图形，并将其作为解决问题的手段和方法。

（3）几何的学习中，要注重图形的运动和变化，总结和发现图形之间的内在联系，探求其规律，帮我们解决繁杂问题。

五、板书设计：
课题：“三垂直模型”相似三角形专题
板书：结论1：在三垂直模型中，至少有一对相似三角形。

结论2: 在三垂直模型中，当AC//MT时，得到的三个
三角形两两相似。

结论3：在三垂直模型中，当点B为MT中点时，得到
的三个三角形两两相似。