4.2.1均匀加宽
• 前面曾经证明对二能级系统，自发辐射引起的上 能级粒子数变化满足公式： n2 t n20et / • 其中τ=1/A21为高能级粒子平均寿命。则跃迁辐 射功率为： dn2 t 1 t / P t h n20 h e P0et / dt • 由阻尼谐振子公式得到的自发辐射功率为：
4.2.1均匀加宽
1 • 当只有一种原子时，其碰撞寿命为： 1 N 16 KT a aa L L aa ma
• 气体激光器一般由工作气体a、辅助气体b、c等等组成， 则其碰撞寿命为： 1/ 1/ 1/ 1/
L
• 线宽的计算，通常采用经验公式：
第四章 光场与物质的相互作用
4.1光场与物质的相互作用
• 4.1.1光场与物质相互作用的理论体系
– 经典理论 光场：Maxwell方程；原子体系：经典电偶极子； – 半经典理论 光场：Maxwell方程；原子体系：量子理论描述； – 量子理论 光场：量子理论；原子体系：量子理论； – 速率方程理论 简化的量子理论；
N / 2 2 2 g N , 0 0 N / 2 1/ 2 N
4.2.1均匀加宽
• 2、碰撞加宽
– 加宽机制：大量原子、分子之间的无规则碰撞； – 气体：气体分子或原子作无规则热运动，当两 原子或分子相遇而处于足够接近的位置，其间 的相互作用会使其改变原来的运动状态。 – 晶体：相邻原子间的偶极相互作用，通过原子 晶格热驰豫无辐射跃迁或者晶格热运动，使运 动状态发生改变。
2
2
1 / 4 2 2 2 2 2 / 2 4 0 / 4 0
4.2.1均匀加宽
• 洛仑兹线型
– 由洛仑兹在研究电子谐 振时最先得到的受迫振 动的运动微分方程的解， Hendrik Antoon Lorentz 其形式如下：
1
Augustin Louis Cauchy
1 f ( x; x0 , ) 2 2 2 x x x x0 0 1
– 如果将其视为概率密度 函数，则它在统计学中 被称为柯西分布。
t 2 i0t
p(t ) ex(t ) e e

p0e e
t 2 i0t

• 谐振子的电磁辐射对应于自发辐射； • 可以证明谐振子的自发辐射衰减时间为： • 则自发辐射的电场强度可以表示为：
rad 1/
t 2 i0t
E E0e

e
E0e

t 2
• 由于阻尼力远小于恢复力，因此仍然可以用简谐振动解来
x0ei0t
e202 • 其中γ为经典辐射阻尼系数： 6 0c3m
• 可以求出方程的解为：
x " x ' 02 x 0

x(t ) x0e
t 2
ei0t
4.1.2光场与物质相互作用的精典理论
• 此时电偶极矩为：
E0e
t 2 i0t

e
• 为了得到频率域分布，对E作傅立叶变换，并取t从0到∞的范围，才 会有光辐射产生，则：
E E t eit dt E0 e
0 0


e
dt

i 0 2

E0
e
i 0 t 2
4.2谱线加宽与线型函数
P • 原子自发辐射的总功率为： • 引入谱线的线型函数g(ν,ν0)： P( )d P ( ) g ( , 0 ) P


• 其量纲为sec，其中的ν0是线型函 P( )d 数的中心频率； 1 • 根据线型函数的定义： g ( , 0 ) d P • 得出结论：线型函数是归一化的； I ( ) P max • 当ν=ν0时线型函数有最大值 P max / 2 g(ν0,ν0)，如果在 0 / 2 处其值下降到最大值的一半，则把 此时的 称为谱线宽度。
2 0 2 2
1



P d

/ 2 0
2
2
/ 2
2

1
0

2
d

2
1

/ 2 0
d 2
1

g 0 ,

/ 2 0
2 2

t2
t1
t2 t2 e2v '2 e2 e2 Fs vdt dt v 'v vdv ' 2 3 3 t t1 t1 6 0c 1 6 0c 6 0c t2 t2 e2 e2 t1 Fs 6 0c3 v " vdt 6 0c3 v ' v t1 t2来自0
4.2.1均匀加宽
• 1、自然加宽
– 现象：自发辐射谱线具有一定的宽度 ΔνH。 –成因：由于每个原子所固有的自发辐 射跃迁引起原子在能级上的有限寿命 而造成的。 –量子解释：由测不准原理——不可能 同时测准微观粒子的时间和能 量： t E ； –由此可知，当原子能级寿命→∞时， 能级的宽度→0，原子的有限寿命会 引起能级的展宽，从而使得发出的光 子的频率不再是单一频率，而是有一 定的频率间隔Δν。
E2
E2 E1 h
E
E1 E2 E1
/ 2
4.2.1均匀加宽
• 由阻尼谐振子模型可以得到其辐射场表达式： t 2 i0t E t 0
x t x e e
• 其辐射光功率：
P t E t P0e t
2
t i t 0 2
4.2.1均匀加宽
• 碰撞指的是激发态的原子之间、激发态与基态原子之间相 互作用而改变原来的运动状态； • 激发态原子与基态原子碰撞时，激发态原子跃迁到基态， 而基态原子会跃迁到激发态，这种过程称为横向驰豫，会 导致高能级粒子寿命缩短； • 激发态原子与其它原子之间碰撞时，会使激发态自发辐射 波列的相位发生突变，从而使波列时间缩短，等效于原子 寿命缩短；
4.1.2光场与物质相互作用的精典理论
• 2、原子的自发电偶极辐射
– A、简谐振子模型 简谐振子模型就是用经典力学中 的简谐振动来描述原子内部电子 运动的模型。 该模型认为原子中的电子被与位 移成正比的弹性恢复力束缚在某 一平衡位置(x=0)附近振动，若偏 移位置为x，则其会受到一个f=-kx 的恢复力。
P t Pe 0
t
• 比较两式得到τ=1/γ。
4.2.1均匀加宽
• 自发辐射线宽等于自然加宽线宽，即线型函数半宽度；
g , 0 2 2 2 / 2 4 0
• 当ν=ν0时，线型函数有最大值
gmax , 0 g 0 , 0 4/ 4
L aa
L ab
L ac
L P
• 其中P为气体压强；
• α为实验测得的系数；
4.2.1均匀加宽
• 3、均匀加宽
– 均匀加宽具有以下的特点：
• 引起加宽的因素对每个原子都相同； • 每个原子发光时，发出整个线型，即对整个分布都有贡献，每 个原子在形成谱线时的作用与地位都是相同的；
– 均匀加宽的线型函数：
e
i0t
4.2谱线加宽与线型函数
4.2谱线加宽与线型函数
• 光谱线的频率分布
– 前面讨论原子自发辐射时，认为原子的能级是 无限窄的，此时的自发辐射光是单色光，即全 部的光强都集中在频率ν=(E2-E1)/h上； –实际上原子的自发辐射并 I ( ) 不是单色光，而是分布在 中心频率ν附近的一个很 小频率范围内-这就是谱线 0 加宽。
H / 2 2 2 g H , 0 0 H / 2 1 1 1 N L H 2 L
4.1.2光场与物质相互作用的精典理论
• 电动力学中给出的结论，自发辐射的总功率为： e v' P 其中v’为电子运动加速度； 6 0c3 • 电子在单位时间内损失的能量等于辐射对电子的反作用力（即自发辐 射阻尼力）在单位时间内作的负功： e2v '2 FS v 3 • 在t1-t2时间间隔内的辐射损失为：
• 碰撞加宽的线型函数为：
L / 2 g L , 0 2 2 0 L / 2 1/ 2 L L
• 其中的τL为碰撞加宽线型函数的线宽，等于单位时间内 碰撞次数的倒数，因此与压强、温度、原子碰撞截面有关。 如果存在a、b两种气体，则： • 其中Nb为单位体积内b类原子数； 1 8KT 1 1 • σab为a、b原子的碰撞截面； Nb ab L ab ma mb • ma与mb为两种原子的质量；
• 当ν=ν’时，g ', 0 g 0 , 0 / 2 此时可以解出：
' 0 / 4
N 2
4.2.1均匀加宽
1 • 自然加宽线型函数的线宽： N 2 2 • 这个线宽唯一地由原子高能级的平均寿命 决定，则用自然加宽的线宽表示的线型函 数为：
E0 0 i 0 2
4.2.1均匀加宽
• 则功率随频率的变化： 2
P E
2
E0

• 根据线型函数的定义：
P g 0 , P P
0 2
2
P
2
CI 0
6 0c
• 当取t2-t1为一个振荡周期时，上式右边为零，则可以得到：