椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的位置关系: 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为925=+ ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是136100=+. 题2。

已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得4,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件题3。

在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程. 分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |=32×39=26.根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，故所求椭圆方程为12516922=+y x (y ≠0) 题4。

已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆1422=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -因为点Q 为椭圆1422=+y x上的点， 所以有1)2(4)12(22=+-y x ，即14)21(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)21(22=+-y x题5。

长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为32，求点M 的轨迹方程解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x B 的坐标为25,0(y ACB xOy F EAMCBxOy M AQ2-2xOy因为2||=AB ，所以有 4)25()35(22=+y x ，即442592522=+y x 所以点M 的轨迹方程是442592522=+y x题6。

已知定圆05562=--+x y x ，动圆M 和已知圆内切且过点P(-3，0)，求圆心M 的轨迹及其方程分析：由两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值 根据图形，用数学符号表示此结论：MP MQ -=8上式可以变形为8=+MP MQ ，又因为86<=PQ ，所以圆心M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆解 已知圆可化为：()64322=+-y x圆心Q(3，0)，8=r ，所以P 在定圆内 设动圆圆心为),(y x M ，则MP 为半径 又圆M和圆Q 内切，所以MP MQ -=8，即 8=+MP MQ ，故M 的轨迹是以P ，Q 为焦点的椭圆，且PQ 中点为原点，所以82=a ，72=b ，故动圆圆心M 的轨迹方程是：171622=+y x 题7。

△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0，6)和C (0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-94，求顶点A 的轨迹方程.选题意图：巩固求曲线方程的一般方法，建立借助方程对应曲线后舍点的解题意思，训练根据条件对一些点进行取舍.解：设顶点A 的坐标为),(y x . 依题意得9466-=+⋅-x y x y ， ∴顶点A 的轨迹方程为)6(1368122±≠=+y y x . 说明：方程1368122=+y x 对应的椭圆与y 轴有两个交点，而此两交点为（０，－６）与(0，6)应舍去.题8．P 为椭圆192522=+y x 上的点，且P 与21,F F 的连线互相垂直，求P M ABxOyr ＝8M PQxOy解：由题意，得+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ⇒P 的坐标为)49,475(，)49,475(-，)49,475(--，49,475(- 题9．椭圆192522=+y x 上不同三点),(),59,4(),,(2211y x C B y x A 与焦点F(4,0)的距离成等差数列，求证21=+x x证明：由题意，得 ++)545(1x )545(2x +＝2)4545(⨯+⇒821=+x x 题10．设P 是以0为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切证明：设椭圆方程为12222=+by a x ,(0>>b a )，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则由11222222OO PF PF a PF a ==-=-知，两圆半径之差等于圆心距，所以，以线段P F 2为直径的圆与此椭圆长轴为直径的圆内切题11。

已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F -，Ｐ为椭圆上一点，且｜21F F ｜是｜1PF ｜和｜2PF ｜的等差中项.(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F .选题意图：综合考查数列与椭圆标准方程的基础知识，灵活运用等比定理进行解题. 解：(1)由题设｜1PF ｜＋｜2PF ｜＝２｜21F F ｜＝4 ∴42=a ， 2c =2， ∴ｂ＝3∴椭圆的方程为13422=+y x . （２）设∠θ=21PF F ，则∠12F PF ＝60°－θ由正弦定理得：)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F由等比定理得：)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F整理得：)cos 1(3sin 5θθ+= 53cos 1sin =+∴θθ故232tan =θ题12. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1（m >0，n >0）， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），解方程组 y =x +1， mx 2+ny 2=1.消去y ，整理得（m +n ）x 2+2nx +n －1=0. Δ=4n 2－4（m +n ）（n －1）>0，即m +n －mn >0，OP ⊥OQ ⇒x 1x 2+y 1y 2=0，即x 1x 2+（x 1+1）（x 2+1）=0，2x 1x 2+（x 1+x 2）+1=0，∴nm n +-)1(2－n m n-2+1=0.m +n =2. ①由弦长公式得2·2)()(4n m mn n m +-+=（210）2，将m +n =2代入，得m ·n =43. ② m =21， m =23， n =23 n =21. ∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1..题13. 直线l 过点M （1，1），与椭圆42x +32y =1相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程.解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则421x +321y =1，①422x +322y =1.②①－②，得4))((2121x x x x +-+3))((2121y y y y +-=0.解①②得 或∴2121x x y y --=－43·2121y y x x ++.又∵M 为AB 中点， ∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=2. ∴直线l 的斜率为－43. ∴直线l 的方程为y －1=－43（x －1）， 即3x +4y －7=0.题14。

已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3=． （1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．【解题思路】通过3=，沟通A 、B 两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m 的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设2222:1(0)y x C a b a b+=>>由条件知1a =且b c =，又有222a b c =+，解得 1,2a b c ===故椭圆C 的离心率为2c e a ==，其标准方程为：12122=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m2x 2＋y 2＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2∵AP ＝3PB ∴－x 1＝3x 2 ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2x 2x 1x 2＝－3x 22消去x 2，得3（x 1＋x 2）2＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1k 2＋2＝0 整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0m 2＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2＝2－2m 24m 2－1>0，∴－1<m <－12 或 12<m <1容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立 即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（12，1）题15。