25
q
例 6-9 求图示超静定梁的约束反力。
A
解: 一次超静定，取基本静定系。
l
超静定梁在多余约束处的约束条件，
就是原超静定梁的变形相容条件，即
FA
q
wB = 0。
变形几何方程
MA
A
wB wBq wBFB 0
wBq
ql 4 8EI
wBFB
FBl 3 3EI
q A
补充方程
ql4 FBl3 0 8EI 3EI
E3 A3F
cos3 a
E3 A3
8
例 6-3 图示平行杆系1、2、3 悬 吊着横梁 AB（AB 刚性），横梁 上作用荷载 F。如杆1、2、3的截 l 面积、长度、弹性模量均相同， 分别 为 A，l，E。试求1、2、3 三杆的轴力 。
解： 一次超静定问题 (1) 平衡方程
Fy 0
FN1 FN 2 FN3 F 0
FN 3l Δe FN1l
E3 A3
EA
联解平衡方程和补充方程即可得装配内力，进而求出装配应力。
15
6.2.3 温度应力
温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。
温度引起的变形量 — L atL
1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。
16
例6-5 图示等直杆 AB 的两端分别与刚性支承连结。设两支承的距离（即杆长）
+
1.603 m
超静定的次数 = 未知力个数 – 独立平衡方程个数。
3
基本静定系：解除超静定结构的某些约束后得到静定结构，称为原超静定 结构的基本静定系（简称为静定基）。
静定基的选择可根据方便来选取，同一问题可以有不同的选择。
A
C
B
A
C
B
l
l
l
FC
l
2
2
2
2
A
C
B
FB
4
6.2 拉压超静定问题 6.2.1 拉压超静定问题的解法
FN 1 F
FN 2 A
Fx 0, Fy 0.
FN 1 FN 3 FN 2
A F
B 1
D
C
3
2
aa 多余约束
A
F
2
FA
FB
FA
FC
FB
A
C
BA
C
B
l
l
2
2
l
l
2
2
MAF 0
多余约束
MB F 0
多余约束： 在超静定系统中，多余维持结构几何不变性所需要的杆或支座。
超静定结构大多为在静定结构的基础上再加上一个或若干个多余约束，这些 约束对于特定的工程要求往往是必要的。
B
1
D
3 aa
C
2
l
1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。
l3 代表杆3 的伸长 l1 代表杆1或杆2 的缩短
代表装配后 A 点的位移
A l3
l1
A
(1) 变形几何关系
l3
l1
cosa
l3
l1
cosa
11
(2) 物理关系
l1
FN1
l
cosa
E1 A1
补充方程
l3
FN 3l E3 A3
FA
A
A
A
a
C F
C F
C
l
=
AC
l
CB
C1
b
B
B
B
FB
解： 1）此杆系为一次超静定结构，列平衡方程:
Fy 0 FA FB F 0
变形协调条件：杆的总长度不变 几何方程为： lAC lCB
6
FA
A
A
A
a
C F
C
C
F
C1
b
B
物理关系： 补充方程
lAC
FAa EA
FAa FBb EA EA
a
3a
1
C
lT
A
A'
A'' l1
FN 1
C A
FC
解：解除1杆约束，使其自由膨胀；
2
AB 横梁最终位置在 A′B′
B'
1、平衡方程:
l2
B
MC 0, FN1a FN2 3a 0
2、几何方程： lT l1 l2
a
3a
FN 2
3、物理方程：
l2
FN2 l EA
,
B
lT aTL,
l1
FN1L EA
l FNl EA
2q
q
wAFN wAq l
A
B
7qa4
wA
wAq 12EI
wAFN
FN a3 EI
2q q
补充方程
B
7qa4 FN a3 FNl
wAq
12EI EI EA
解得
FN
7qa4 A
FN
12
I
l Aa3
wAFN
B
FC
C
C
C 29
例6 -11 求图示梁的支反力，并作梁的剪力图和弯矩图。已知 EI = 5×103 kN·m2
综合考虑几何条件、物理关系和静力学平衡方程三方面来求解 步骤：
1、根据平衡条件列平衡方程（确定超静定的次数）。 2、根据变形协调条件列出变形几何方程。 3、根据物理关系写出补充方程。 4、联立静力方程与补充方程求出所有的未知力。
5
例6-1 两端固定的等直杆 AB 横截面积为 A，弹性模量为 E，在C点处承受轴力 F 的作用，如图所示 。计算约束反力。
D
l
2q
q
C
A
B
a
2a
27
解：一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 之间的连结绞看作多于约束。拉力FN 为多余反力。基本静定系如图。
A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点。即 wA l 拉杆 AD 的伸长 l FN l
EA
D
FN
A
A
l
wA
A1
FN
FB
2q
B
FC
q C
28
FN
FB
wA l
负号表示 与假设相反。
20 kN/m
B
30 kN
C D
4m
20kN/m
B
3m
MB
2m 30 kN
C D B
B
31
由基本静定系的平衡方程可 求得其余反力
MB 20kN/m
FA 32.05kN
A
30 kN
C D
FB 66.35kN
FC 11.64kN
在基本静定系上绘出剪力图 和弯矩图。
32.05
MB F 0
FN1 2a FN 2 a 0
3 a
B
2 C
1 a
A
F
FN3
FN2
FN1
3
2
B
C
1 A
F
9
(2) 变形协调条件
3
l1 l3 2l2
(3) 物理关系
B
l1
FN1l EA
l2
FN 2l EA
l3
FN 3l EA
l 3
补充方程
C
FN1 FN3 2FN 2
(4) 联立平衡方程与补充方程求解得
A
F1
l N
B
F2
17
B
l lT lN 0
物理关系
lN
FN l EA
lT a ΔT l
由以上三式得温度内力
FN a EA T
温度应力
FN a E T
A
A l
A
A
F1
B
lT B
l N
B
F2 B
18
例6-6 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求：当1杆温度升高T
时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数a
平衡方程
FA FB F
B
FB
lBC
FBb EA
B
FA
Fb lFBຫໍສະໝຸດ Fa ll=
AC
l
CB
7
例6-2 图示杆系结构，已知：l1 = l2，E1A1 = E2A2，E3A3，求：各杆的内力。
B 1
D 3 aa
C 2
解：1）此杆系为一次超静定结构，列平衡方程:
Fx 0 FN1 sina FN2 sina 0 Fy 0 FN1 cosa FN2 cosa FN3 F 0
Mx 0 MA MB Me 0
杆的变形协调条件是，C 截面 相对于两固定端 A 和 B 的相 对扭转角相等。
变形几何方程
AC BC
1
Me
2
A
C
a
l
MA 1
Me
B b
2
MB
A
C
B 21
AC BC
物理关系
AC
T1a GI P
M Aa GI P
BC
T2b GI P
M Bb GI P
补充方程
FN 3l FN1l E3 A3 E1A1 cos2 a
(4) 平衡方程
FN1 sina FN 2 sina 0
FN3 FN1 cosa FN 2 cosa 0
补充方程与平衡方程联解得 FN1 、 FN2 、 FN3
B
1
D
3 aa
C
2
l
A l3
l1
A
FN 3
FN1