专题14人教A 版（2019）第五章一元函数的导数及其应用知识点与基础巩固题——寒假作业14（解析版）一．导数的定义：0000000()()()'()'|lim()()()'()'limx x x x f x x f x y f x x x f x y xf x x f x y f x f x y x=∆→∆→+∆-====∆+∆-===∆1.(1).函数在处的导数: (2).函数的导数:2.利用定义求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限得导数：00'()lim x yf x x∆→∆=∆（下面内容必记）二、导数的运算：（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①'0()C C =为常数；②1()'n n x nx -=；11()'()'n n nx nx x ---==-；1()'m mnn m x x n-==③(sin )'cos x x=； ④(cos )'sin x x=- ⑤()'x xe e = ⑥()'ln (0,1)x x a a a a a =>≠且；⑦1(ln )'x x =； ⑧1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠且 法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f xg x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号)（2）复合函数(())y f g x =的导数求法：①换元，令()u g x =，则()y f u =②分别求导再相乘[][]'()'()'y g x f u =⋅③回代()u g x =三．导数的物理意义1.求瞬时速度：物体在时刻0t 时的瞬时速度0V 就是物体运动规律()S f t =在0t t = 时的导数()0f t '，即有()00V f t '=。

2.V ＝s /(t) 表示即时速度。

a=v /(t) 表示加速度。

四．导数的几何意义：函数()f x 在0x 处导数的几何意义，曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线的斜率是()0k f x '=。

于是相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-。

题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况：（1）曲线()y f x =在点()()00,P x f x 处切线：性质：()0k f x '=切线。

相应的切线方程是：()()000y y f x x x '-=-（2）曲线()y f x =过点()00,P x y 处切线：先设切点，切点为(,)Q a b ,则斜率k='()f a ，切点(,)Q a b 在曲线()y f x =上，切点(,)Q a b 在切线()()00y y f a x x '-=-上，切点(,)Q a b 坐标代入方程得关于a,b 的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k='()f a ，确定切线方程。

五．函数的单调性：设函数()y f x =在某个区间内可导，（1）'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； （2）'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；注意：当'()f x 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍是递增（或递减）的。

（3）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立； （4）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明（或判断）函数f (x)在某一区间上单调性：步骤： （1）求导数 )(x f y '='(2)判断导函数)(x f y '='在区间上的符号 (3)下结论①'()0f x >⇒()f x 该区间内为增函数； ②'()0f x <⇒()f x 该区间内为减函数；题型二、利用导数求单调区间求函数)(x f y =单调区间的步骤为：（1）分析 )(x f y =的定义域； （2）求导数 )(x f y '=' （3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间 题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）思路一.（1）()f x 在该区间内单调递增⇒'()0f x ≥在该区间内恒成立；（2）()f x 在该区间内单调递减⇒'()0f x ≤在该区间内恒成立；思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。

注意：若函数f （x ）在（a ，c ）上为减函数，在（c ，b ）上为增函数，则x =c 两侧使函数f '（x ）变号，即x=c 为函数的一个极值点，所以'()0f c =六、函数的极值与其导数的关系：1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。

②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =），但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一定函数()f x 在该处取得极值（如3()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。

③求极值的步骤：第一步：求导数'()f x ；第二步：求方程'()0f x =的所有实根；第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化，若'()f x 的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 若'()f x 的符号由负变正，则0()f x 是极小值；若'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值，0x 不是极值点。

2、函数的最值：①最值的定义：若函数在定义域D 内存0x ，使得对任意的x D ∈，都有0()()f x f x ≤，（或0()()f x f x ≥）则称0()f x 为函数的最大（小）值，记作max 0()y f x =（或min 0()y f x =）②如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间[,]a b 上必有最大值和最小值。

③求可导函数()f x 在闭区间[,]a b 上的最值方法： 第一步；求()f x 在区间[,]a b 内的极值；第二步：比较()f x 的极值与()f a 、()f b 的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。

注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。

极值≠最值。

函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。

最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。

2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）3、注意：极大值不一定比极小值大。

如1()f x x x=+的极大值为2-，极小值为2。

注意：当x=x 0时，函数有极值⇒ f /(x 0)＝0。

但是，f /(x 0)＝0不能得到当x=x 0时，函数有极值；判断极值，还需结合函数的单调性说明。

题型一、求极值与最值题型二、导数的极值与最值的应用 题型四、导数图象与原函数图象关系导函数 原函数 '()f x 的符号 ()f x 单调性 '()f x 与x 轴的交点且交点两侧异号 ()f x 极值'()f x 的增减性 ()f x 的每一点的切线斜率的变化趋势 （()f x 的图象的增减幅度）'()f x 的增 ()f x 的每一点的切线斜率增大（()f x 的图象的变化幅度快）'()f x 减 ()f x 的每一点的切线斜率减小 （()f x 的图象的变化幅度慢）一、单选题1．下列求导运算正确的是（ ）A ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()1x x x e e '⋅=+C ．2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ D ．()2cos 2sin x x x x '=-【答案】C 【分析】根据导数的运算公式与运算法则计算，对每个选项逐一分析. 【详解】A. 22111ln ln ln x x xx x -'⎛⎫==-⎪⎝⎭，故A 错；B. ()x x x x e e xe '⋅=+，故B 错；C. 2111x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故C 正确；D. ()22cos 2cos sin x x x x x x '=-，故D 错.故选：C.2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案. 【详解】由导函数得图象可得：0x >时，()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞单调递减， 排除选项A 、B ，当0x >时，()f x '先正后负，所以()f x 在()0,∞+先增后减， 因选项C 是先减后增再减，故排除选项C ， 故选：D.3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()11f '=-，则()()11lim x f x f x∆→+∆-=∆（ ） A ．4- B ．3-C ．2-D ．1-【答案】D 【分析】直接由导数定义可得答案. 【详解】由导数定义和()11f '=-，得()()()011lim 11x f x f f x∆→+∆-'==-∆.故选：D.4．已知函数()32f x x mx =+在1x =处的切线与y 轴垂直，则实数m 等于（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．32【答案】A 【分析】由切线与y 轴垂直知切线斜率为0，根据()10f '=求解. 【详解】由()232f x x mx '=+得()132f m '=+因为切线与y 轴垂直，所以切线斜率为0，则()1320f m '=+=，32m =-. 故选：A 【点睛】判断切线斜率为0是解题的关键点.5．一物体做直线运动，其位移s 与时间t 的关系是22s t t =+，则物体在2t =时的瞬时速度为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10【答案】B 【分析】利用导数的物理意义可直接求导得到结果. 【详解】由22s t t =+得：22s t '=+，当2t =时，6s '=，即物体在2t =时的瞬时速度为6. 故选：B.6．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为 （ ）A ．34π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C 【分析】根据导数的几何意义可求得结果. 【详解】因为()32f x x x =-，所以2()32f x x '=-，所以()f x 在点()()1,1f 处的切线的斜率为(1)321f '=-=， 所以()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为4π. 故选：C7．若函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln 2f x f x x ='+，则()1f '=（ ） A ．0 B ．1- C ．2- D ．2【答案】C 【分析】求导得()f x '，再代入1x =即可计算出()1f '. 【详解】 由题意()()2'1'2f f x x=+，所以()()'12'12f f =+，得()12f '=-.故选：C.8．函数()y f x =在区间[],a b 上的最大值是M ，最小值是m ，若m M =，则()f x '（ ） A ．小于0 B ．等于0 C ．大于0 D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由最大最小相等，可得()y f x =是常数函数，即可得出结论. 【详解】∵()y f x =在区间[],a b 上的最大最小相等， ∴()y f x =是常数函数，∴()0f x '=， 故选：B.9．设()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且在(,)a b 内可导，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的极值点一定是最值点B ．()f x 的最值点一定是极值点C ．()f x 在区间[,]a b 上可能没有极值点D ．()f x 在区间[,]a b 上可能没有最值点 【答案】C 【分析】根据连续函数的极值和最值的关系即可判断． 【详解】根据函数的极值与最值的概念知，()f x 的极值点不一定是最值点，()f x 的最值点不一定是极值点．可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A ，B ，D 都不正确，若函数()f x 在区间[,]a b 上单调，则函数()f x 在区间[,]a b 上没有极值点，所以C 正确． 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数的极值与最值的概念辨析，属于容易题．10．已知3()f x x ax =-在(,1]-∞-上递增，则实数a 的范围是（ ）． A ．3a > B ．3a ≥ C ．3a < D ．3a ≤【答案】D 【分析】转化为导函数在给定区间上大于等于0恒成立，然后利用不等式恒成立的意义和二次函数的性质得解. 【详解】由已知可得2'()3f x x a =-在(,1]-∞-上满足()'0f x ≥，即23a x ≤在(,1]-∞-上恒成立，由于23x 在(,1]-∞-上的最小值为1x =-时取得，最小值为3，3a ∴≤，故选：D. 【点睛】本题考查利用导数判定函数的单调性问题，属基础题，关键是将函数的单调性问题转化为导数在给定区间上大于等于0恒成立问题.11．如图是函数()y f x =的导函数()y f x ='的图象，则函数()y f x =的极小值点的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】通过读图由()y f x ='取值符号得出函数()y f x =的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案． 【详解】由图象，设()f x '与x 轴的两个交点横坐标分别为a 、b 其中a b <，知在(,)a -∞，(,)b +∞上()0f x '>，所以此时函数()f x 在(,)a -∞，(,)b +∞上单调递增， 在(,)a b 上，()0f x '<，此时()f x 在(,)a b 上单调递减， 所以x a =时，函数取得极大值，x b=时，函数取得极小值．则函数()y f x =的极小值点的个数为1． 故选: B 【点睛】本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题． 12．已知函数()31f x ax bx =++的图象在点()1,1a b ++处的切线斜率为6，且函数()f x 在2x =处取得极值，则a b +=（ ）A ．263-B ．7C ．223D ．263【答案】C 【分析】计算()'f x ，然后根据()()2016f f ⎧==''⎪⎨⎪⎩，可得,a b ，最后可得结果.【详解】 由题可知：()'23fx ax b =+，则36,120,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得23a =-，8b =.经检验，当23a =-，8b =时，()f x 在2x =处取得极大值， 所以223a b +=. 故选：C 【点睛】本题主要考查曲线在某点处的导数的几何意义，重在于计算以及理解，属基础题.二、填空题13．已知()31f x x x=-+的导函数为()f x '，则()1f '-=________ 【答案】－4 【分析】求得函数的导数()2213f x x x'=--，进而求得()1f '的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()31f x x x =-+，可得()2213f x x x'=--，则()213114f '=-⨯-=-.故答案为：4-.14．函数32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则m 的范围是_________. 【答案】[1,)+∞【分析】32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于0或恒小于等于0，而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可. 【详解】32123y x x mx =+++是R 上的单调函数，则导函数恒大于等于02'20y x x m =++≥则440m ∆=-≤，m 1≥ 故答案为：[1,)+∞ 【点睛】若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．15．若点()2,1A 在曲线()y f x =上，且()22f '=-，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程是________． 【答案】250x y +-= 【分析】利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】由题意知，切线的斜率2k =-．所以，曲线()y f x =在点()2,1A 处的切线方程为()122y x -=--，即250x y +-=．故答案为：250x y +-=．16．函数()(1)xf x x e =+的最小值是________．【答案】21e - 【分析】利用导数的性质进行求解即可. 【详解】'()(2()()1)x x f x x f x x e e ⇒=+=+，当2x >-时，'()0,()f x f x >单调递增，当2x <-时，'()0,()f x f x <单调递减， 因此当2x =-时，函数有最小值，最小值为22(2)(211)ef e --==--+. 故答案为：21e-三、解答题17．（1）求导：33cos 243ln xy x x x =+-+（2）求函数ln y x x =在1x =处的导数. 【答案】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+；（2）1； 【分析】（1）直接根据导数的运算法则，即可得答案； （2）求导后可得ln 1y x ，再将1x =代入即可得答案；【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+； （2）ln 1(1)1y x y ''=+⇒=；【点睛】本题考查导数的四则运算，属于基础题. 18．已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值. 【答案】（1）(],3-∞；（2）3. 【分析】（1）由题意可得()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然0a >，否则函数()f x 在R 上递增.利用导数求出函数()f x 的递减区间为(，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立， 所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞ （2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <<所以()f x 的单调递减区间为(， 又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-，1=，即3a =. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间[,]a b 上递增或递减与函数的递增或递减区间是[,]a b 的区别，属于基础题. 19．已知函数()()32,,f x x ax bx c a b c R =-+++∈，且()()''130ff -==.（1）求-a b 的值；（2）若函数()f x 在[]2,2-上的最大值为20，求函数()f x 在[]1,4-上的最小值. 【答案】（1）6-；（2）9- 【分析】（1）先对函数()f x 求导，然后由()()''130f f -==，列出关于,a b 的方程组，解方程组可求出,a b 的值；（2）由函数()f x 在[]2,2-上的最大值为20，求出c 的值，然后由函数的单调性求函数()f x 在[]1,4-上的最小值.【详解】解：（1）因为()32f x x ax bx c =-+++，所以'2()32f x x ax b =-++，因为()()''130ff -==,所以23(1)2(1)0a b -⨯-+⨯-+=,233230a b -⨯+⨯+= 解得39a b =⎧⎨=⎩所以396a b -=-=-.（2）由（1）可知32()39f x x x x c =-+++，则'2()369f x x x =-++，令'()0f x =，得1,3x x =-=,x 和()f x 的变化情况如下表：因为(2)2,(2)22f c f c -=+=+，所以函数()f x 在[]2,2-上的最大值为(2)22f c =+, 所以2220c +=，解得2c =-, 所以32()392f x x x x =-++-,由上面可知()f x 在[1,3]-上单调递增，在[3,4]上单调递减； 又因为(1)13929,(4)644836218f f -=-+--=-=-++-=， 所以函数()f x 在[]1,4-上的最小值为9-. 【点睛】此题考查利用导数求函数的极值和最值，属于基础题. 20．已知函数22()1f x nx x x=++（Ⅰ）求函数()y f x =在点()()11f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：()0.f x > 【答案】(1)1322y x =-+. (2)证明见解析. 【解析】分析：（1）求切线方程先求导()()32222321x x x f x xx +--+'=，然后代入切点横坐标的出切线斜率即可求得切线方程；（2）分析函数单调性求出函数最值即可. （Ⅰ）()()()()()()232222222221142123211x x x x x x x f x x x x x x xx-++--+--=+==+++' 所以()1'1,2f =-则切线方程为1322y x =-+ （Ⅱ）令()32232,h x x x x =+--则()2'343,h x x x =+-设()'0h x =的两根为12,x x ，由于1210,x x =-<不妨设120,0,x x 则()h x 在()20,x 是递减的，在()2,x +∞是递增的，而()()()00,10,20,h h h <所以在()0,x +∞单调递增， 所以()()0020021f x f x nx x x ≥=++，因为()()0020021,2,10,0x nx f x x x ∈>>>+ 所以()0f x >.点睛：考查导数的几何意义和单调性最值的应用，属于常规题. 21．已知函数()()()213ln 2f x x a x =--+. （1）若1a =-，求函数()f x 的单调区间； （2）若()f x 有两个极值点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为12,2⎛-- ⎝⎭，12⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；单调递减区间为⎝⎭；（2）302a -<<. 【分析】（1）求出()232212222x x f x x x x +-'=-+=++，然后解出不等式()0f x '>、()0f x '<即可；（2）将条件转化为方程222340x x a +--=在()2,x ∈-+∞上有两个不等实根，然后可得()()0483401222030a x g a ⎧∆>⇒++>⎪⎪=->-⎨⎪->⇒->⎪⎩，解出即可.【详解】（1）当1a =-时，()()()()213ln 22f x x x x =-++>-()232212222x x f x x x x +-'=-+=++ 当()0f x '=时，12x -=当()0f x '>时，12x -<或x >()f x 为增函数，当()0f x '<x <<()f x 为减函数， ∴()f x的单调递增区间为12,2⎛-- ⎝⎭，12⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减区间为⎝⎭（2）函数()()()213ln 2f x x a x =--+的定义域为{}2x x >-()21223422322x x a f x x a x x +--'=--⋅=++ ∵函数()f x 有两个极值点，则()0f x '=，即方程222340x x a +--= 在()2,x ∈-+∞上有两个不等实根设()22234g x x x a =+--，结合图象分析可得：()()0483401222030a x g a ⎧∆>⇒++>⎪⎪=->-⎨⎪->⇒->⎪⎩，解得302a -<< 22．函数1()ln 1f x x x=+-. （1）求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【答案】（1）44ln 240x y -+-=；（2）2e -. 【分析】（1）先对函数求导，根据导数的几何意义，求出曲线在点(2,(2))f 处的切线斜率，进而可得切线方程；（2）对函数求导，判断其在给定区间的单调性，计算端点值比较大小，即可得出结果. 【详解】（1）因为1()ln 1f x x x=+-的定义域为()0,x ∈+∞， 所以()22111x f x x x x -'=-+=，因此()2212124f -'==，即曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为14.又()12ln 22f =-， 所以曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为11ln 2(2)24y x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭， 即44ln 240x y -+-=； (2)因为()22111x f x x x x -'=-+=，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()210x f x x -'=<，即()f x 单调递减； 当()1,x e ∈时，()210x f x x-'=>，即()f x 单调递增； 所以()()min 10f x f ==；又12f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f e e =，而12e e ->，所以()f x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为max 1()2f x f e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.【点睛】 思路点睛：利用导数的方法求函数的最值时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出给定区间内的极值以及端点值，比较大小，即可求解.。