二面角大小的求法（例题）
二面角的类型和求法可用框图展现如下：
一、定义法：
直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、 如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小.
O OA PA OB PAOB OA
AOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠︒∠︒
做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

提示：PAB PCD ≅，而且是直角三角形
j
A D
P
H
P
O
B
A
二、三垂线定理法：
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。

A AH BC BC H PH ABCD PA A
B PA B
C PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2tag PHA 2
PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠︒∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中
，
例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值.
提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
E
O
例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。

求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小
提示：角PAB是二面角，找到每个面的直角！！！
射影，那么PM为面ＡＢＣ的垂线！
例、如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小.
提示：ＡＡ１与ＢＢ１互相垂直
ＡＦ是辅助线且垂直ＡＢ，ＦＥ平行ＢＢ１
图4 B1
A
α
β
A1
B L
E F
四、射影法：（面积法）
利用面积射影公式S射＝S原cosθ,其中θ为平面角的大小，此
方法不必在图形中画出平面角；
例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA ＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。

例、如图，设M为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，求平面BMD1与底面ABCD所成的二面角的大小。

五、平移或延长（展）线（面）法
对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例、在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。