第二章 函数 —— 函数图像的变换、周期性、抽象函数等
2．7 函数的对称性和周期性
✧ 知识梳理
1．两个函数的图像对称性：
（可利用解析几何中的对称曲线的轨迹方程之间的关系加以理解）
（1）函数)(x f y =与)(x f y -=关于x 轴对称；
（2）函数)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称；
（3）函数)(x f y =满足()()x b f x a f -=+，则图像关于直线2
b a x +=对称； 特别地，函数)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称．
（4）曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f ；
特别地，函数)(x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则图像关于点()b a ,对称．
（5）曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f ；
（6）曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f ；
2．周期函数的定义：设函数)(x f y =（D x ∈）存在非零常数T ，使得对任何D x ∈，都有)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为)(x f y =的一个周期。

3．周期函数的性质：
（1）若)(x f y =（R x ∈）时)()(a x f a x f -=+恒成立，则周期a T 2=；
（2）若)(x f y =是偶函数且其图像关于直线a x =对称，则周期a T 2=；
（3）若)(x f y =是奇函数且其图像关于直线a x =对称，则周期a T 4=；
（4）若)(x f y =关于点)0,()0,(b a 、对称，则是周期b a T -=2；
（5）若)(x f y =的图像关于直线a x =、)(b a b x ≠=对称，则周期b a T -=2；
（6）若))((R x x f y ∈=时)()(x f a x f -=+或)
(1)(x f a x f =+，则a T 2=。

✧ 双基训练：
1．定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时，
5
12)(+
=x x f ，则=)20(log 2f 2．已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图像关于 对称
3．函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图像关于 对称
4．设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，
则)(x f y =的图像关于 对称
5．设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图
像关于 对称，)(x f y =关于 对称
6．已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实
根，则这5个实根之和为（ ）
A ．5
B ．10
C ．15
D ．18
7．设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，正确命题序号为
① 若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图像关于y 轴对称；
② 若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图像关于直线2=x 对称；
③ 若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图像关于直线2=x 对称；
④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图像关于直线2=x 对称。

8．函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+和)6()6(x f x f -=+，
当62≤≤x 时，x x f 2
12)(-=，则)(x f y =解析式为 9．已知偶函数)(x f y =定义域为R ，且恒满足)2()2(x f x f -=+，若方程0)(=x f 在
[]4,0上只有三个实根，且一个根是4，则方程在区间(]10,8-中的根为
典例剖析
例 1 在R 上定义的函数)(x f y =是偶函数，且在区间]21[，上是减函数，同时满足)2()(x f x f -=，则函数)(x f y = ( )
A ．在区间]12[--，上是增函数，在区间]43[，上是增函数
B ．在区间]12[--，上是增函数，在区间]43[，上是减函数
C ．在区间]12[--，
上是减函数，在区间]43[，上是增函数 D ．在区间]12[--，
上是减函数，在区间]43[，上是减函数 例2 定义在R 上的函数)(x f y =既是奇函数，又是一个正周期为T 周期函数． 若将方程0)(=x f 在闭区间][T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为（ ）
A ．0
B ．1
C ．3
D ．5
例3 已知定义为R 的函数()x f y =满足()()4+-=-x f x f ，且函数()x f y =在区间()+∞,2上单调递增，若212x x <<，且421<+x x ，则()()21x f x f +的值（ ）
A ．恒小于0
B ．恒大于0
C ．可能为0
D ．可正可负．
例4 已知x
x x f 311)(-+=，)]([)(1x f f x f =，)]([)(12x f f x f =，．．．．．．， ()N n x f f x f n n ∈=+)]([)(1，则=-)2(2010f
例5 函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为
例 6 若函数)(x f y =满足()()()()39821583214f x f x f x f x =-=-=-，则()0f ，()1f ，()2f ，…，()999f 中最多有（ ）个不同的值
A ．165
B ．177
C ．183
D ．199
附件：抽象函数
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊的关系式的函数，它是中学数学中的一个难点。

解决抽象函数的常用策略：
（1）赋值； （2）递推； （3）换元； （4）联用； （5）图像。

一、求值问题
这类抽象函数一般给出定义域、某些性质及运算关系式且求特殊值。

其解法可用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，其关键是抽象问题具体化。

例1 定义在R 上的函数)(x f 满足：)4()(x f x f -=且0)2()2(=-+-x f x f ，求)2008(f 的值。

例2 已知函数)(x f 对任意实数y x 、都有)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时， 2)1(0)(-=->f x f ，，求)(x f 在]12[，-上的值域。

二、解不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，从而将问题转化为通常的代数不等式的求解问题。

例 3 已知)(x f 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足0)4()2(2<---a f a f ，试求实数a 的取值范围。

三、综合问题
抽象函数的综合问题常常涉及到多个知识点，抽象程度要求较高，解题时需注意三点：一是函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性，三是利用函数的单调性。

例 4 设函数)(x f y =定义在R 上，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意n m 、，有)()()(n f m f n m f ⋅=+，当n m ≠时)()(n f m f ≠。

（1）证明：1)0(=f ；
（2）证明：)(x f 在R 上是增函数； （3）设{})1()()(|)(22f y f x f y x A <⋅=，，}0,,1)(|){(≠∈=++=a R c b a c by ax f y x B ，，，，若∅=B A ，求c b a ，，满足的条件。

例 5 设)(x f 是定义在)1,1(-上的函数，对任意)11
(，，-∈y x 都有)1(
)()(xy
y x f y f x f ++=+，且当)01(，-∈x 时有0)(>x f 。

（1）试判断)(x f 的奇偶性； （2）判断)(x f 的单调性；
（3）求证)21()131()111()51(2f n n f f f >+++++…。