二次函数图像对称变换前后系数的关系课时学习目标:1.能熟练根据二次函数的解析式的系数确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性区域。

2.会根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上描述出函数的一些性质。

3.能说出抛物线y=ax 2+bx+c ，关于x 轴、y 轴对称变换后的解析式、关于坐标原点对称变换前后的解析式系数变化规律，能根据系数变化规律，熟练写出函数图像对称变换后解析式。

学习重点：利用函数的图像，观察认识函数的性质，结合解析式，认识a 、b 、c 、ac b 42的取值，对图像特征的影响。

学习难点：利用图像认识总结函数性质变化规律。

一、复习预备1.抛物线5)4(22x y 的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即x_____时， y 随着x 的增大而增大；在侧，即x_____时, y 随着x 的增大而减小；当x=时，函数y 最值是。

2.抛物线y=x 2-2x-3的顶点坐标是，对称轴是，在侧，即x_____时， y 随着x 的增大而增大；在侧，即x_____时, y 随着x 的增大而减小；当x=时，函数y 最值是____ 。

3.已知函数y= x 2-2x -3 ,(1)把它写成k m xa y 2)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积；(6)根据图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=0;② y<0;③ y>0.4.二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图—2所示，则：a 0; b 0;c 0;ac b 420。

例3：已知二次函数的图像如图—3所示，下列结论：(1)a+b+c ﹤0， (2)a-b+c ﹥0， (3)abc ﹥0， (4)b=2a其中正确的结论的个数是（）A.1个，B.2个，C.3个，D.4个.二、归纳二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b42的关系系数的符号图像特征a 的符号决定开口方向a>0. 抛物线开口向a<0 抛物线开口向a 、b 的符号决定对称轴方位ab>0，同号抛物线对称轴在y 轴的侧ab=0，b=0 抛物线对称轴在ab<0，异号抛物线对称轴在y 轴的侧c 的符号决定y 轴交点方位c>0.抛物线与y 轴交于C=0 抛物线与y 轴交于c<0抛物线与y 轴交于ac b42的符号决定与x 轴交点个数ac b42>0. 抛物线与x 轴有个交点ac b 42=0 抛物线与x 轴有个交点ac b42<0抛物线与x 轴有个交点三、二次函数图像对称变换前后系数的关系探究例1. 某抛物线和函数y= -x 2+2x -3的图象关于y 轴成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例2. 某抛物线和函数y= -x 2+2x -3的图象关于x 轴成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例3.某抛物线和函数y= -x 2+2x -3的图象关于原点成中心对称，请你求出该抛物线的关系式。

例4.某抛物线和函数y= -x 2+2x -3的图象关于顶点坐标成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。

例5.某抛物线和函数y= -x 2+2x -3的图象关于点（3,2）成中心对称, 请你求出该抛物线的关系式。

函数y= ax 2+bx+c 的图象对称变换后，解析式系数变化规律：变换形式图像关系系数关系原因关于轴x 轴对称变换a 系数a 互为相反数开口方向相反b 系数b 互为相反数值不变，a 、b 同变c 系数c 互为相反数两交点关于x 轴对称的点关于轴y 轴对称变换a系数a 不变开口方向相同b 系数b 互为相反数变号，a 不变b 变c系数c 不变两交点重合关于原定中心对称变换a 系数a 互为相反数开口方向相反b系数b 不变变号，a 变号b 不变c 系数c 互为相反数两交点关于x 轴对称的点四、达标检测1. 二次函数y= ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则点A(a,b)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限2.二次函数y= ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则下列条件不正确的是( ) A.a<0,b>0,c<0 B.b2-4ac<0 C.a+b+c<0 D.a-b+c>0 3.二次函数y= 6x 2+7x -3的图象关于x 轴对称的图象解析式为___________,关于y 轴对称的图象解析式为________________,关于坐标原点对称的解析式___________________.a2ba2b a2b (1)(2)yxyx二次函数图象变换规律一、二次函数图象的平移变换（1）具体步骤：先利用配方法把二次函数化成2()y a x h k的形式，确定其顶点(,)h k，然后做出二次函数2y ax的图像，将抛物线2y ax平移，使其顶点平移到(,)h k.具体平移方法如图所示：（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c；2y a x h k关于x轴对称后，得到的解析式是2y a x h k；2. 关于y轴对称2y ax bx c关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c；2y a x h k关于y轴对称后，得到的解析式是2y a x h k；3. 关于原点对称2y ax bx c关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c；2y a x h k关于原点对称后，得到的解析式是2y a x h k；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca；2y a x h k关于顶点对称后，得到的解析式是2y a x h k．5. 关于点m n，对称2y a x h k关于点m n，对称后，得到的解析式是222y a x h m n k无论抛物线作何种对称变换，形状不变，a不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，先确定已知抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，再写出其对称抛物线的表达式．【习题分类】一、二次函数图象的平移变换1、函数23(2)1y x 的图象可由函数23y x 的图象平移得到，那么平移的步骤是：（）A.右移两个单位，下移一个单位 B.右移两个单位，上移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位2、函数22(1)1y x 的图象可由函数22(2)3yx 的图象平移得到，那么平移的步骤是（）A.右移三个单位，下移四个单位B.右移三个单位，上移四个单位C.左移三个单位，下移四个单位D.左移四个单位，上移四个单位3、二次函数2241y xx 的图象如何移动就得到22yx的图象（）A.向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上移动3个单位.C.向左移动1个单位，向下移动3个单位. D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.4、将函数2y x x 的图象向右平移0a a 个单位，得到函数232y x x 的图象，则a 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．45、把抛物线2y ax bx c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是235y x x ，则a b c ________________．6、对于每个非零自然数n ，抛物线221111n yxxn n n n 与x 轴交于n n A B 、两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220092009A B A B A B …的值是（）A ．20092008B ．20082009C ．20102009D ．200920107、把抛物线2yx 向左平移1个单位，向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为( )A ．213yx B ．213yx C ．213yx D ．213y x 8、将抛物线22y x 向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A ．221y xB ．221y xC ．221y x D ．221y x9、将抛物线23yx 向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（）A.232yxB.23yxC.23(2)y x D.232y x10、一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线224y x x ，则平移前抛物线的解析式为________________．11、如图，ABCD Y 中，4AB ，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c 经过x 轴上的点A ，B ．⑴求点A ，B ，C 的坐标．⑵若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．12、抛物线254y axxa 与x 轴相交于点A B 、，且过点54C ，．⑴求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标．⑵请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．D CBAO二、二次函数图象的对称变换1、函数2y x是函数2y x的y x的图象关于______________对称，也可以认为2y x与2图象绕__________旋转得到．2、已知二次函数221y x x，求：⑴关于x轴对称的二次函数解析式；⑵关于y轴对称的二次函数解析式；⑶关于原点对称的二次函数解析式．3、在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A．22y x xy x x B．22C．22y x x D．22y x x4、已知二次函数2441y ax ax a的图象是1c．⑴求1c关于10R，成中心对称的图象2c的函数解析式；⑵设曲线12、与y轴的交点分别为A Bc cAB时，求a的值．，，当185、已知抛物线265y x x，求⑴关于y轴对称的抛物线的表达式；⑵关于x轴对称的抛物线的表达式；⑶关于原点对称的抛物线的表达式．6、设曲线C为函数20y ax bx c a的图象，C关于y轴对称的曲线为1C，1C关于x轴对称的曲线为2C，则曲线2C的函数解析式为________________．7、对于任意两个二次函数：221111222212y a xb xc y a xb xc a a ，，当12a a 时，我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有ABM ，1010AB ，，，，记过三点的二次函数抛物线为“C W W W ”（“□□□”中填写相应三个点的字母）．图3图2图1yxO AB My xOABMMN BAO xy⑴若已知01M ，，ABM ABN ≌（图1），请通过计算判断ABM C 与ABN C 是否为全等抛物线；⑵在图2中，以A B M 、、三点为顶点，画出平行四边形．①若已知0M n ，，求抛物线ABM C 的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线解析式．②若已知M m n ，，当m n 、满足什么条件时，存在抛物线ABMC ？根据以上的探究结果，判断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与ABM C 全等的抛物线．若存在，请写出所有满足条件的抛物线“C W W W ”；若不存在，请说明理由．8、已知：抛物线2:(2)5f y x ．试写出把抛物线f 向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线1f 的解析式；以及f 关于x 轴对称的曲线2f 的解析式．画出1f 和2f 的略图，并求：⑴x 的值什么范围，抛物线1f 和2f 都是下降的；⑵x 的值在什么范围，曲线1f 和2f 围成一个封闭图形；⑶求在1f 和2f 围成封闭图形上，平行于y 轴的线段的长度的最大值．二次函数图形变换综合压轴题1、在平面直角坐标系xoy 中，抛物线322mx mxy（m ≠0）与x 轴交于A （3,0），B 两点.（1）求抛物线的表达式及点B 的坐标.（2）当-2＜x ＜3时的函数图像记为G ，求此时函数y 的取值范围.（3）在（2）的条件下，将图像G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图像G 的其余部分保持不变，得到一个新图像M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b （k ≠0）与图像M 在第三象限内有两个公共过点，结合图像求b 的取值范围.2、已知关于x 的一元二次方程0132k xx 有实数根，k 为正整数.（1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132k x xy 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b 与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.3、已知：抛物线C1：5442a ax axy 的顶点为P,与x 轴相交于A,B 两点（点A 在点B的左边），点B 的横坐标是１（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线C2的顶点为M ，当点P ，M 关于点B 成中心对称时，求平移后的抛物线C2的解析式；（3）直线y=-53x+m 与抛物线C1,C2的对称轴分别交于点E,F ，设由点E ，P ，F ，M 构成的四边形的面积为S ，试用含m 的代数式表示S 。