《热力学基础》计算题答案全1.温度为25℃、压强为1 atm 的1 mol 刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍．(普适气体常量R ＝8.31 1--⋅⋅K mol J 1，ln3=1.0986)(1) 计算这个过程中气体对外所作的功．(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解：(1) 等温过程气体对外作功为⎰⎰===333ln d d V V V V RT V VRTV p W 2分 =8.31×298×1.0986 J =2.72×103 J 2分(2) 绝热过程气体对外作功为V VV p V p W V V V V d d 03003⎰⎰-==γγRT V p 1311131001--=--=--γγγγ 2分 ＝2.20×103 J 2分2.一定量的单原子分子理想气体，从初态A 出发，沿图示直线过程变到另一状态B ，又经过等容、等压两过程回到状态A ．(1) 求A →B ，B →C ，C →A 各过程中系统对外所作的功W ，内能的增量∆E 以及所吸收的热量Q ．(2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸收的总热量(过程吸热的代数和)． 解：(1) A →B ：))((211A B A B V V p p W -+==200J ．ΔE 1=ν C V (T B －T A )=3(p B V B －p A V A ) /2=750 JQ =W 1+ΔE 1＝950 J ． 3分B →C ：W 2 =0ΔE 2 =ν C V (T C －T B )=3( p C V C －p B V B ) /2 =－600 J ．Q 2 =W 2+ΔE 2＝－600 J ． 2分C →A ：W 3 = p A (V A －V C )=－100 J ．150)(23)(3-=-=-=∆C C A A C A V V p V p T T C E ν J ． Q 3 =W 3+ΔE 3＝－250 J 3分(2) W = W 1+W 2+W 3=100 J ．Q = Q 1+Q 2+Q 3 =100 J 2分3.0.02 kg 的氦气(视为理想气体)，温度由17℃升为27℃．若在升温过程中，(1) 体积保持不变；(2) 压强保持不变；(3) 不与外界交换热量；试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体所作的功．(普适气体常量R =8.31 11K mol J --⋅) 解：氦气为单原子分子理想气体，3=i1 23 1 2OV (10-3 m 3)5 A BC(1) 等体过程，V ＝常量，W =0 据Q ＝∆E +W 可知)(12T T C M ME Q V mol-=∆=＝623 J 3分 (2) 定压过程，p = 常量，)(12T T C M MQ p mol-==1.04×103 J ∆E 与(1) 相同．W = Q - ∆E ＝417 J 4分(3) Q =0，∆E 与(1) 同W =-∆E=-623 J (负号表示外界作功) 3分4.一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的汽缸里．此汽缸有可活动的活塞(活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气)．已知气体的初压强p 1=1atm ，体积V 1=1L ，现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍，然后在等体积下加热直到压强为原来的2倍，最后作绝热膨胀，直到温度下降到初温为止，(1)在p －V 图上将整个过程表示出来． (2) 试求在整个过程中气体内能的改变．(3) 试求在整个过程中气体所吸收的热量．(1 atm ＝1.013×105 Pa)(4) 试求在整个过程中气体所作的功． 解：(1) p －V 图如右图. 2分 (2) T 4=T 1∆E ＝0 2分(3))()(2312T T C M MT T C M M Q V mol p mol -+-=)]2(2[23)2(25111111p p V V V p -+-= 11211V p =＝5.6×102 J 4分(4) W ＝Q ＝5.6×102 J2分5.1 mol 双原子分子理想气体从状态A (p 1,V 1)沿p -V 图所示直线变化到状态B (p 2,V 2)，试求：(1) 气体的内能增量． (2) 气体对外界所作的功． (3) 气体吸收的热量．(4) 此过程的摩尔热容．(摩尔热容C =T Q ∆∆/，其中Q ∆表示1 mol 物质在过程中升高温度T ∆时所吸收的热量．) 解：(1))(25)(112212V p V p T T C E V -=-=∆ 2分(2) ))((211221V V p p W -+=， W 为梯形面积，根据相似三角形有p 1V 2= p 2V 1，则)(211122V p V p W -=． 3分 (3) Q =ΔE +W =3( p 2V 2－p 1V 1)．2分T 3 T 4 T 2T 11212 (L)OBAOVp 1p p V 1V 2(4) 以上计算对于A →B 过程中任一微小状态变化均成立，故过程中 ΔQ =3Δ(pV )．由状态方程得 Δ(pV )=R ΔT ， 故ΔQ =3R ΔT ，摩尔热容C =ΔQ /ΔT =3R ． 3分6.有1 mol 刚性多原子分子的理想气体，原来的压强为1.0 atm ，温度为27℃，若经过一绝热过程，使其压强增加到16 atm ．试求： (1) 气体内能的增量； (2) 在该过程中气体所作的功； (3) 终态时，气体的分子数密度．( 1 atm= 1.013×105 Pa ，玻尔兹曼常量k=1.38×10-23 J ·K -1,普适气体常量R =8.31 J ·mol -1·K -1 )解：(1) ∵刚性多原子分子i = 6，3/42=+=ii γ 1分 ∴600)/(11212==-γγp p T T K 2分3121048.7)(21)/(⨯=-=∆T T iR M M Emol J 2分(2) ∵绝热 W =－ΔE =－7.48×103 J (外界对气体作功) 2分(3) ∵p 2 = n kT 2∴n = p 2 /(kT 2 )=1.96×1026个/m 3 3分7.如果一定量的理想气体，其体积和压强依照p a V /=的规律变化，其中a 为已知常量．试求：(1) 气体从体积V 1膨胀到V 2所作的功；(2) 气体体积为V 1时的温度T 1与体积为V 2时的温度T 2之比． 解：(1) d W = p d V = (a 2/V 2 )d V)11()/(2122221V V a dV V a dW W V V -===⎰⎰ 2分 (2) ∵p 1V 1 /T 1 = p 2V 2 /T 2 ∴T 1/ T 2 = p 1V 1 / (p 2V 2 ) 由11/p a V =，22/p a V =得p 1 / p 2= (V 2 /V 1 )2∴T 1/ T 2 = (V 2 /V 1 )2 (V 1 /V 2) = V 2 /V 1 3分8.汽缸内有一种刚性双原子分子的理想气体，若经过准静态绝热膨胀后气体的压强减少了一半，则变化前后气体的内能之比E 1∶E 2＝？ 解：据iRT M M E mol 21)/(=, RT M M pV mol )/(= 2分 得ipV E 21=变化前11121V ip E =，变化后22221V ip E = 2分 绝热过程γγ2211V p V p =即1221/)/(p p V V =γ3分题设1221p p =，则 21)/(21=γV V 即γ/121)21(/=V V∴)21/(21/221121V ip V ip E E =γ/1)21(2⨯=22.1211==-γ3分 9. 2 mol 氢气(视为理想气体)开始时处于标准状态，后经等温过程从外界吸取了 400 J的热量，达到末态．求末态的压强．(普适气体常量R =8.31J·mol -2·K -1)解：在等温过程中，ΔT = 0 Q = (M /M mol ) RT ln(V 2/V 1) 得0882.0)/(ln12==RTM M Q V V mol 即 V 2 /V 1=1.09 3分末态压强p 2= (V 1 /V 2) p 1=0.92 atm 2分10.为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作功2 J ，必须传给气体多少热量？解：等压过程 W = p ΔV =(M /M mol )R ΔT 1分内能增量iW T iR M M Emal 2121)/(==∆∆ 1分双原子分子 5=i 1分∴721=+=+=∆W iW W E Q J2分11.两端封闭的水平气缸，被一可动活塞平分为左右两室，每室体积均为V 0，其中盛有温度相同、压强均为p 0的同种理想气体．现保持气体温度不变，用外力缓慢移动活塞(忽略磨擦)，使左室气体的体积膨胀为右室的2倍，问外力必须作多少功？为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作功2 J ，必须传给气体多少热量？ 解：设左、右两室中气体在等温过程中对外作功分别用W 1、W 2表示，外力作功用W ′表示．由题知气缸总体积为2V 0，左右两室气体初态体积均为V 0，末态体积各为4V 0/3和2V 0/3 . 1分据等温过程理想气体做功：W =(M /M mol )RT ln(V 2 /V 1) 得34ln 34ln0000001V p V V V p W == 得32ln 32ln0000002V p V V V p W ==2分 现活塞缓慢移动，作用于活塞两边的力应相等，则W’+W 1=－W 221W W W --=')32ln 34(ln00+-=V p 89ln 00V p = 2分 外力12.一定量的理想气体，从A 态出发，经p －V 图中所示的过程到达B 态，试求在这过程中，该气体吸收的热量． . 解：由图可得A 态：=A A V p 8×105 JB 态：=B B V p 8×105 J ∵B B A A V p V p =，根据理想气体状态方程可知B A T T =，∆E = 03分根据热力学第一定律得：)()(D B B A C A V V p V V p W Q -+-==6105.1⨯= J 2分13.如图，体积为30L 的圆柱形容器内，有一能上下自由滑动的活塞（活塞的质量和厚度可忽略），容器内盛有1摩尔、温度为127℃的单原子分子理想气体．若容器外大气压强为1标准大气压，气温为27℃，求当容器内气体与周围达到平衡时需向外放热多少？（普适气体常量 R = 8.31 J ·mol -1·K -1）解：开始时气体体积与温度分别为 V 1 =30×10－3 m 3，T 1＝127＋273＝400 K∴气体的压强为p 1=RT 1/V 1 =1.108×105 Pa 大气压p 0=1.013×105 Pa ， p 1>p 0可见，气体的降温过程分为两个阶段：第一个阶段等体降温，直至气体压强p 2=p 0，此时温度为T 2，放热Q 1；第二个阶段等压降温，直至温度T 3= T 0=27＋273 =300 K ，放热Q 2 (1) )(23)(21211T T R T T C Q V -=-= 365.7 K∴Q 1= 428 J 5分(2) )(25)(32322T T R T T C Q p -=-==1365 J ∴ 总计放热Q = Q 1 + Q 2 = 1.79×103 J 5分14.一定量的理想气体，由状态a 经b 到达c ．(如图，abc 为一直线)求此过程中 (1) 气体对外作的功； (2) 气体内能的增量；(3) 气体吸收的热量．(1 atm ＝1.013×105 Pa)解：(1) 气体对外作的功等于线段c a 下所围的面积 W ＝(1/2)×(1+3)×1.013×105×2×10-3J ＝405.2 J 3分(2) 由图看出 P a V a =P c V c∴T a =T c 2分 内能增量0=∆E ．2分(3) 由热力学第一定律得Q =E ∆ +W =405.2 J ． 3分15.一定量的理想气体在标准状态下体积为 1.0×10-2 m 3，求下列过程中气体吸收的热量： (1) 等温膨胀到体积为 2.0×10-2 m 3；(2) 先等体冷却，再等压膨胀到(1) 中所到达的终态． 已知1 atm= 1.013×105Pa ，并设气体的C V = 5R / 2．A CB Dp (105 Pa)OV (m 3)2 5814 01 2 3 12 3ab cV (L)p (atm)活塞解：(1) 如图，在A →B 的等温过程中,0=∆T E ，1分∴⎰⎰===2121d d 11V V V V T T V VV p V p W Q )/ln(1211V V V p = 3分 将p 1=1.013×105 Pa ，V 1=1.0×10-2 m 3和V 2=2.0×10-2m 3代入上式，得Q T ≈7.02×102 J 1分(2) A →C 等体和C →B 等压过程中 ∵A 、B 两态温度相同，∴ΔE ABC = 0 ∴ Q ACB =W ACB =W CB =P 2(V 2－V 1) 3分又 p 2=(V 1/V 2)p 1=0.5 atm 1分∴Q ACB =0.5×1.013×105×(2.0－1.0)×10-2 J ≈5.07×102 J 1分16.将1 mol 理想气体等压加热，使其温度升高72 K ，传给它的热量等于1.60×103 J ，求： (1) 气体所作的功W ； (2) 气体内能的增量E ∆； (3) 比热容比γ．(普适气体常量11K mol J 31.8--⋅⋅=R )解：(1) 598===∆∆T R V p W J 2分 (2)31000.1⨯=-=∆W Q EJ 1分(3) 11K mol J 2.22--⋅⋅==∆TQC p 11K mol J 9.13--⋅⋅=-=R C C p V6.1==Vp C C γ 2分17.一定量的某种理想气体，开始时处于压强、体积、温度分别为p 0=1.2×106 Pa ，V 0=8.31×10－3m 3，T 0 =300 K 的初态，后经过一等体过程，温度升高到T 1 =450 K ，再经过一等温过程，压强降到p = p 0的末态．已知该理想气体的等压摩尔热容与等体摩尔热容之比C p / C V =5/3．求：(1) 该理想气体的等压摩尔热容C p 和等体摩尔热容C V ．(2) 气体从始态变到末态的全过程中从外界吸收的热量．(普适气体常量R = 8.31 J·mol －1·K －1)解：(1) 由35=V pC C 和R C C V p =-可解得R C p 25=和R C V 23= 2分(2) 该理想气体的摩尔数==000RT Vp ν 4 mol在全过程中气体内能的改变量为△E =ν C V (T 1－T 2)=7.48×103 J 2分全过程中气体对外作的功为011ln p p RT W ν= 式中p 1 ∕p 0=T 1 ∕T 0则30111006.6ln⨯==T T RT W ν J ． 2分 1p 2 V V V 2A B C等温全过程中气体从外界吸的热量为Q = △E +W =1.35×104 J ．2分18.如图所示，AB 、DC 是绝热过程，CEA 是等温过程，BED 是任意过程，组成一个循环。