第一章 §1.1 集合1. 关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样(1)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B.(2) B A A B B A =⇔⊆⊆,例：已知A={1,1+d ，1+2d}，B={1，q ，q 2}，若A=B ，求的，d ，q 的值。

解：d=－，q=－2. 元素与集合的关系；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ∉A子集与真子集：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇.若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P.记作Q P ⊄若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集. B A ⊂或A B ⊃.子集与真子集的性质：传递性：若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.3. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R4. 集合的表示方法（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；（3） 自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。

（{2,4,6,8}）问：1、{1，3，5，7，9}如何用自然语言描述法表示？2、用例举法表示集合{|18}A x N x =∈≤<练习：（1）已知集合M={a ，b ，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（ ）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 等腰三角形 5. 集合间的基本运算并集（∪）：一般的由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，成为集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，即： {|,}A B x x A x B =∈∈或,韦恩图如下：交集（∩）：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即：{|,}.A B x x A x B =∈∈且韦恩图如下：全集（U ）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就成这个集合为全集，记为U 。

补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A ，即C U A ={x x U 且 x A}，韦恩图如下：练习：1、若A={0，2，4}，C U A={-1，2}， C U B={-1，0，2}，求B= 。

2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A ∩B.3、若A={x|x=4n,n ∈Z}，B={x|x=6n,n ∈Z}，求A ∩B.4、A={x|a ≤x ≤a+3},B={x|x ＜-1或x ＞5} ， 分别求出满足下列条件的a 的取值范围 : (1) A ∩B=Æ (2) A ∩B=AUC U A A5、已知A={x|-1＜x ＜2}, B= {x|1＜x ＜3}求A ∪B.__________}21|{}2|{6=∈+=∈=B A Z m m B Z n n A ，则，、集合7、已知X={x|x 2+px+q=0，p 2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且 X B X ,A X =∅= ，试求p 、q ；8、已知集合A={a+2，(a+1)2，a 2+3a+3}，且1∈A ，求实数a 的值9、已知集合A={x|x 2－5x ＋6=0}，B={x|mx ＋1=0}，A ∪B=A ，求实数m 的值组成的集合。

10、集合A={x||x －2|≤2，x ∈R}，B={y|y=－x 2，－1≤x ≤2}，则C R (A ∩B)等于（）A.RB.{x|x ∈R ，x ≠0}C.{0}D. Φ（空集）11、已知{a ，b}⊆A ，且A 为{a ，b ，c ，d ，e}的真子集，则满足条件的集合A 的个数是（）12、记函数f （x ）=lg （2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）=的定义域为集合N ，求：（1）集合M 、N ；（2）集合m ∩N ，M ∪N13、已知集合A={x||x －a|≤1}，B={x|x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B=Φ，则实数a 的取值范围是（）§1.2 函数函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。

记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域． 构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示例1：已知函数f (x ) = 3+x +21+x ，求函数的定义域。

例2：设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域。

函数的定义域小结：（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.例3：下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）y = (x )2 ; （2）y = (33x ) ;（3）y =2x; （4）y =xx 2练习：1.求下列函数的定义域（1）y=＋（2） y=（3）已知f （x ）的定义域为（－1,1），求函数F （x ）=f （1－x ）＋f （）的定义域。

2.已知A={1,2,3，k}，B={4,7，a 4，a 2＋3a}，a ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y=3x+1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B 。

解：a=2，k=5，A={1,2,3,5}，B={4,7,16,10}映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f：A→B”说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．例：1.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合A到集合B的所有不同的映射有（）个。

2.已知A={x，y}，B={a，b，c}，从集合B到集合A的所有不同的映射有（）个。

函数的表示方法：解析法、列表法、图像法练习：1.已知f（x－2）=2x2－9x＋13，求f（x）——配凑法答案：f（x）=2x2－x＋32.已知f（＋1）=x＋2，求f（x＋1），f（x2）——换元法答案：f（x＋1）=x2＋2x，（x≥0）；f（x2）=x4－1，（x≤－1或x≥1）3.已知f（x）是一次函数，且有f[f（x）]=9x＋8，求f（x）——待定系数法答案：f（x）=3x＋2或f（x）=－3x－44.设f（x）满足关系式f（x）＋2f（）=3x，求f（x）——消元法答案：f（x）=－x，x∈{x|x∈R，x≠0}6.已知x≠0，函数f（x）满足f（x－）=x2＋，则f（x）的表达式为（）A.f（x）=x＋B.f（x）=x2＋2C.f（x）=x2D.f（x）=（x－）27.已知函数f（x）=，那么f（5）的值为（）A.32B.16C.8D.648.若函数f（2x＋1）x2－2x，则f（3）=（）9.已知函数f（x）=，则f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4）＋f（）的值为（）10.已知f（＋1）=lgx，求f（x）11.已知f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x＋1）=f（x）＋x＋1，求f （x）12.定义在（－1,1）内的函数f（x）满足：2f（x）－f（－x）=lg（x＋1），求函数f（x）的解析式.§1.3 函数的基本性质增函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是增函数。

注意：(1) 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； (2) 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2) ． 减函数：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) ＞f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是减函数。

函数的单调性定义：如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

例1：物理学中的玻意耳定律P=Vk（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减少时，压强P 将增大。

试用函数的单调性证明之。

（设V 1＞V 2＞0）判断函数单调性的方法步骤:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）. 练习：1、 用函数单调性的定义证明f （x ）=x ＋在（，＋∞）上是增函数。