南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵，，.
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=201034011A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130013B ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形；
A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由.
λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分)
2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分)
200011001J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分)
0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分)
0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容.
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解；
A (2) 求广义逆矩阵；
+A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解.
解答:(1) 矩阵,的满秩分解为
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
(3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
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五、(20分)设是两个阶矩阵,其中，证明:
B A ,n )(ij a A =(1) 若对任意，有则可逆；
n i ,,2,1L =,1||1<∑=n
j ij a A I -(2) 若都是Hermite 正定矩阵，则的特征值均为正数；
B A ,AB (3) 若都是Hermite 半正定矩阵，则,并且当等号成立时,必B A ,0)(≥AB tr 有.
0=AB 解答：
(1) 由可得，，由于是相容范数，则，的1||1n
ij j a =<∑1A ∞<A ∞()1A ρ<A I -特征值都不为零，因此可逆. ………………………(6分)
A I -(2) ,这里是可逆的Hermite 矩阵,从而.由20H A A S SS >⇒==S H A
B SS B =于与有相同的特征值，且，所以的特征值均为正数.H SS B H S BS 0H S BS >AB ………………(8分)
(3) ，这里是Hermite 矩阵.由于与20,H H A A S S S AB S SB ≥⇒===S H S SB 有相同的特征值，且,所以的特征值均为非负数,从而H SBS 0H SBS ≥AB . …………………(4分)
0)()(≥=H SBS tr AB tr 当时,有,从而.设这里0)(=AB tr 0)(=H SBS tr 0=H SBS 2,H B Q QQ ==也是Hermite 矩阵,则
Q .
()()H H H H SBS SQQ S SQ SQ ==于是,由此得到. …………(2分)
0=SQ 0AB =.。