Z1p 12u1 g2 Z2p22ug22
——理想液体恒定元流能量方程
对元流的任意断面有:
Z
p
u2
常数
2g
伯努利方程
二、方程式的几何意义与物理意义
Z1pg 1 2 u1 g 2 Z2pg 2 2 ug 2 2
位 压 流单 单 单 置 强 速位 位 位 水 水 水位 压 动 头 头 头能 能 能
第八讲
第四章 流体动力学基础
§4.1流体运动微分方程
§4.2恒定元流的能量方程
一、理想液体恒定元流的能量方程 二、理想元流伯努利方程的物理意义与几何意义 三、理想元流伯努利方程的实际应用 四、 实际元流的伯诺里方程
§4.3 实际液体恒定总流能量方程
一、能量方程的推导 二、能量方程的应用条件 三、能量方程的扩展 四、能量方程的图示---水头线 五、能量方程的注意事项 六、能量方程的应用
WE1 2m2v1 2m0 2v
在流场中取元流，沿流向取1、2两断面，两断面的高程和面积分别 为Z1、Z2和dA1、dA2，两断面的流速和压强分别为u1、u2和p1、p2。
dt时间内断面1、2分别移动u1dt、u2dt的距离到达1’、2’。
动能的增量
E KE K 1 2 E K 1 2
( E K 1 2 E K 2 2 ) ( E K 1 1 E K 1 2 )
a
c
p p dx x 2
b
dy Y
dx
X
表面力：（pp dx）dydz（pp dx）dydz
x 2
x 2
质量力： xdxdydz
（2）由牛顿第二定律
Z
p p dx x 2
dz p
a
c
dy Y
dx
X
p p dx x 2
b
(p p d)d x y (p d p z d)d x y X d dz x ( d dyx ) d d d xz u y
x2
x2
dt
化简：ห้องสมุดไป่ตู้
X 1 p dux
x dt
同理： Y 1 p duy
y dt
Z 1 p duz
z dt
将上式加速度用欧拉法表示（P68，公式4-2），用矢量形式
表示如下： f 1 pd d u t u t(u )u
无粘性流体运动微分方程式，又称欧拉运动微分方程 牛顿第二定律的流体力学表达式，控制无粘性流体运动的基本方程
z1pg 12 u1 g 2 z2pg 22 ug 2 2hw
单位时间内通过实际液体恒定元流两过水断面的单位重量液体的能量关系式
单位时间内通过实际液体恒定元流两过水断面的全部液体的能量关系式
z1 p g 12 u 1 g 2 gd Q z2 p g 22 u g 2 2 gd h w Q gdQ
u 2gh
式中 ψ—流速修正系数，一般由实验确定。
四、实际液体恒定元流的能量方程式
Z1pg 1 2 u1 g 2 Z2pg 2 2 ug 2 2 h w
h w ——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量，
称为水头损失。
h w
1
Z1
0
2 Z2
0
§4.3实际液体恒定总流的能量方程
将构成总流的所有元流的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式。
gdQ dt(z1z2)
p 1 d1 u A 1 d tp 2 d2 u A 2 dt
p1p2dQdt
1′
1 t时刻
u1
dA1 1
t+△t时刻 2
2′
u2
dA2 2
2′
1′ dmu1dtdA1
WGWPEK
gdZ Q 1 Z 2 d tp 1p 2dQ g dd t 2 u Q g 2 22 u d 1 g 2 t
EK22 EK11
1′
1 t时刻
u1
dA1 1
t+△t时刻 2
2′
u2
dA2 2
2′
1′ dmu1dtdA1
Ek d2mu22u12
1d 2
Qdu22tu12
gdQd2utg22 2u1g2
重力作功：
压力作功：
W Gdmg(z1z2)
W P p 1 d A 1 d S 1 p 2 d A 2 d S 2
§4.1 液体运动的微分方程式
设想在一无粘性流场中取一空间微分平行六面体，六面体的边长分别为
dx，dy，dz，其形心（x,y,z），流速在各坐标轴的投影为 ux ,uy ,uz密
度为ρ。
Z
（1）受力分析（X方向)
只有两个表面力和一个质量力
Y
dz p
a
c
b
dy dx
X
Z
p p dx x 2
dz p
§4.2 恒定元流的能量方程
液体运动微分方程是运动学方程，它给出了沿一元流长度上，断面流 速的变化规律。只给出了流速的相对比例，却不能给出流速的绝对数。确 定流速的绝对数值，必须从动力学角度，考虑外力作用下的流体运动规律。
一、理想液体恒定元流能量方程
根据能量守恒定律（功能原理），取不可压缩无粘性流体恒定流动这 样的力学模型，推证元流能量方程。 能量守恒定律（功能原理）：合外力对流体做功等于流体动能增量。
测 压总 管水 水头 头
单 位单 势位 能总
机 械 能
1
Z1
0
2
Z2
0
表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，元流内不同过水断面上， 单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）。
三、理想液体恒定元流能量方程的应用
毕托管测速仪 在工程实际中，常常需要来测量某管道中液体流速的
大小，然后求出管道的平均流速，从而得到管道中的流量， 要测量管道中液体的速度，可采用毕托管来进行，其测量 原理如图所示。
dQ=u1dA1=u2dA2 单位时间内通过实际液体恒定总流两过水断面的全部液体的能量关系式
的压强PA称为全压，在入口前同一
pb/
pa/ ρg
水平流线未受扰动处（例如b点）
ρg
的液体压强为 PB，速度为u。
b
a
应用伯努利方程于同一流线上的Ｂ、Ａ两点，则有
zpB
u2
zpA0
Δh
g 2g g
h pA pB u2
g g 2g
u 2pApB 2gh
pb/ ρg
b
a
Z
Z
上式表明，只要测量出液体的运动全压和静压水头的差值△h，就 可以确定液体的流动速度。由于液体的特性，以及毕托管本身对流 动的干扰，实际流速比用该式计算出的要小，因此，实际流速为
毕托管测速仪
在液体管道的某一截面处装有一
毕托管构造：
个测压管和一根两端开口弯成直
角的玻璃管（称为测速管）。将
测速管（又称毕托管）的一端正
对着来流方向，另一端垂直向上，
这时测速管中上升的液柱比测压
管内的液柱高h。这是由于当液流
流到测速管入口前的a点处，液流
受到阻挡，流速变为零，则在测
Δh
速管入口形成一个驻点a。驻点a