Pl 3 。① = 3EJ
①
最大挠度发生在自由端，其值为： w max 解法二：
πx （1）选择函数 w 2 = a 1 1 − cos 2l
，①此函数满足固定端边界条件
( w ) x=0 = 0 ,
dw =0① dx x = 0
由最小势能原理确定系数 a1 。
2 A sin 2α − 2B cos 2α − C = 0 −2 A sin 2α − 2B cos 2α − C = 0
③
(τ θ r )θ = ±α = 0
⇒ A=0
q 2
②
2 ( B sin 2α + Cα + D ) = − q
2 ( − B sin 2α − Cα + D ) = − q ∴应力分量为： σ r = −q σθ = −q
位移边界
)条件， 而迦辽
）总是比（ 横 3. 平面波分为纵波和横波，在地震时，地震波中的 （ 纵波 波 ）先到。瑞利（Rayleigh）表面波的速度比横波的速度（ 小 ） 。 每空①分 三.简答题 1.曲梁（F 作用在上端部 r =
a+b 处，a,b>>b-a）的受力情况如图 1 所示，写出应 2
力边界条件（固定端除外） 。（7 分） 解答： M O F α
2 2 3 总势能： Π 1 = U − W = EJ ( 2a2 l + 6a 2 a3 l 2 + 6a 3 l ) − P ( a2 l 2 + a 3 l 3 )
③ ①
∂Π Pl 2 （3） 最小势能原理： 1 = EJ 4a2 l + 6a 3 l 2 − Pl 2 = 0 ⇒ 2a 2 l + 3a3 l 2 = ① ∂a 2 2EJ
开口扭杆： τ 2 =
α2 =
②
M1 + M2 = M （2）∵ α1 = α 2 = α τ1 = （3） M 2 ( a + δ 2 )δ
2
⇒ M1 =
a2 δ2 M , M = M 2 a2 + δ 2 a2 + δ 2
④
M τ2 = 2 a( a + δ 2 ) M Gaδ ( a 2 + δ 2 )
τ xz = Gα ∂F ∂F ,τ yz = −Gα 是（ ∂y ∂x
内部静力平衡 应变协调 端面上静力平衡 周界上静力平衡
1
） ； ） ； ） ； ） 。
∇ 2 F = C （C 为常数）是（
R
M z = 2Gα ∫∫ Fdxdy （R 为单连域）是（ F
s
= 0 （s 为 R 的边界线）是（
2. 在位移变分解法中， 李兹法要求位移试验函数满足( 金法还要求满足 ( 静力边界 )条件。
因为 a>>δ
⇒ τ max = τ 1 =
M 2( a + δ 2 )δ
2
③
（4） α =
⇒
M = Gaδ ( a 2 + δ 2 ) α
总抗扭刚度为
M = Gaδ ( a 2。 +δ2 ) α
③
4
五、如图 3 所示的楔形体的两侧面受均布法向压力 q 作用，试求出该楔形体的应力分量 （不计体力，设应力函数为 U = r 2 f ( θ ) ） 。 （15 分） ∂2 1 ∂ 1 ∂2 解： （1）应力函数需满足双调和方程 ∇ ∇ U = 0 ，即 2 + + U =0 ① r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂r
⇒D=−
⇒ C = 0,B = 0
④ ②
τ rθ = 0
y q
O q
αα
x
图3
5
六、已知图 4 所示的悬臂梁，其跨度为 l，抗弯刚度为 EJ，在自由端受集中载荷 P 作用，试从下列函数中选择一个作为解题的位移函数，并由最小势能原理求最 大挠度值。 （15 分）
πx （1） w1 = a2 x 2 + a3 x 3 （2） w 2 = a 1 1 − cos 2l πx （3） w 3 = a 1 1 − sin 2l
3. 在弹性体中，如果位移以速度 c 进行传播，则应力、应变以及质点速度都以同样 的速度 c 传播。( √ ) 4. εx＝K(x2+y2)z，εy＝Ky2z，εz＝0，γxy＝2Kxyz，γyz＝0，γzx＝0。K 是不为零的已 知常数，这一组应变分量不可能存在。( √ ) 5. 两个不同弹性常数的均匀各向同性球体在力的作用下相互接触， 其接触面为椭圆 形。( × ) 6. 各向同性弹性体有 3 个独立的弹性常数，它们是 E（弹性模量） ，ν（泊松比） ， G（剪切弹性模量） 。( × ) 每题②分 二、填空题（9 分） 1.在等截面直杆扭转问题的应力解法中， 如引入 Prandtl （普朗特） 扭转应力函数 F(x,y) 求解，可导出以下公式，试分别指出其物理意义：
①
最大挠度发生在自由端，其值为： w max = a1 =
32 Pl 3 。① π 4 EJ
7
七 、 图 5 所 示 矩 形 板 ， 长 度 远 大 于 高 度 ， 体 力 不计 。 试 证 函 数 qy 2 2 y 3 y qx 2 4 y 3 3 y U= + − 1 + − 3 − （ q 为已知常数）是应力函数，并指出能解决 4 h3 h h 10 h 什么问题（在图上表示） 。 （15 分） 解：(1)将函数 U 代入双调和方程：
②
②
σ x = λθ + 2Gε x σ y = λθ + 2Gε y 本构方程： σ z = λθ + 2Gε z τ xy = Gγ xy τ yz = Gγ yz τ zx = Gγ zx σ x l + τ yx m + τ zx n = X （2）还需满足边界条件： u = u ,v = v , w = w ，τ xy l + σ y m + τ zy n = Y τ xz l + τ yz m + σ z n = Z ② ②
= EJ 2
2
∫ ( 2a
l 0
2
+ 6a3 x ) dx
2
∫ ( 4a
l 0
2 2
2 2 2 2 3 x dx = EJ 2a 2 l + 6a 2 a 3 l 2 + 6a 3 l ③ + 24a 2 a 3 x + 36a 3
)
(
)
外力功： W = P ( w ) x = l = P ( a 2 l 2 + a 3 l 3 )
华中科技大学土木工程与力学学院
《弹性力学》考试卷（半开卷）
2008～2009 学年度第二学期 学号 一 分数 12 9 二 专业 三 19 四 15 班级 五 15 成绩 姓名 六 15 七 15 八 15
一、判断题（正确的打√，错误的打×）（12 分）
1. 平衡微分方程、应力边界条件、几何方程和应变协调方程既适用于各向同性体， 又适用于各向异性体。( √ ) 2. 若物体内一点的位移 u,v,w 均为零，则该点必有应变εx＝εy＝εz＝0。( × )
②
3
四～八题中任选 4 题。
四、等厚双连薄壁杆，其右侧竖壁开一水平槽(见图 2)，当承受扭矩 M 时，试求该 轴最大剪应力及总的抗扭刚度。 （15 分）
a
δ
a 图2
a
解： （1）将扭杆分为两部分：左侧是边长为 a 的闭口正方形扭杆，右侧是三个边长 为 a、宽度为 δ 的狭长矩形构成的开口扭杆。 ① 闭口扭杆 τ1 = M1 M1 = 2 A1δ 2a 2δ 3M 2δ M = 2 3 3aδ aδ 2 α1 = M 1 S1 M 1 4a = 2 4GA1 δ 4Ga 4δ 3M 2 M2 = 3 3Gaδ Gaδ 3 ②
2 2 2
∂2 1 ∂ 1 ∂2 亦即： 2 + + 2 r ∂r r ∂θ 2 ∂r 1 ⇒ 2 r
4 f ( θ ) + f ′′ ( θ ) =0 ⇒ f (θ ) = Acos 2θ + B sin 2θ + Cθ + D ③
d 4 f (θ ) d 2 f (θ ) +4 =0 4 dθ 2 dθ
(
)
∂Π 1 Pl 2 2 3 3 2 = EJ 6a2 l + 12a3 l − Pl = 0 ⇒ a2 l + 2a 3 l = ① ∂a 3 6 EJ
(
)
6
⇒ a2 =
Pl P ,a 3 = − 2 EJ 6 EJ
②
∴w =
Pl 2 P Pl 2 x x − x3 = x 3− 2EJ 6 EJ 6 EJ l
l
4
③
EJl π 2 a1 − Pa1 4 2l
①
∂Π 1 EJl π （3）最小势能原理： = a1 − P = 0 ∂ a1 2 2l
32 Pl 3 ⇒ a1 = 4 π EJ
4l 3 πx 1 − cos 4 π EJ 2l
∇ 2 ∇ 2U = 0
满足 ql
q
所以，可作为应力函数。① (2)应力分量为： 6qx 2 y 4qy 3 3qy + 3 − h3 h 5h 3 q 4y 3y σy = − 3 + − 1 2 h h σx = − τ xy = qx 12 y 2 3 − 2 h3 h
(σ r ) r = a = 0 (τ rθ ) r =a = − qa (σ r ) r = b = 0 (τ rθ ) r =b = − qb