复变函数疑难问题分析1. 设zz z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。

1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点？2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾？为什么？答： 有无限个零点。

可以具体写出其所以零点； 不矛盾。

因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。

因为0=z 为非孤立的奇点。

2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确？sin z 在z 平面上无界。

这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz ize e z y i--=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确？z e 是以2k i π为周期的函数。

因为z C ∀∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==⋅=，k 为整数4. “()f z z =是解析函数” 是否正确？()f z z =在z 平面上不解析。

因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ∂=∂，1v y ∂=-∂，0u y ∂=∂，0v x∂=∂ 但是11u v x y ∂∂=≠-=∂∂，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。

5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应，试求解下列问题。

（1）复球面上与点1)对应的复数； （2）复数1+i 与复球面上的那个点；（3）简要说明如何定义扩充复平面。

解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴），则过点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程为21z -==-。

当0z =时，x y ==，所以,,1)22对应。

（2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。

则直线方程2112x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。

6．说明复变函数可微性与解析性的关系。

复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。

所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的，（2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导，（3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。

7．()1sin f z z=在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗？为什么？1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π=，但lim 0k k z →∞=，但0D ∉，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是不解析的，也即1()sin f z z=在D 内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。

8.复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞=∑发散.这个命题是否成立?为什么?答.不一定．反例: 2211111111i ,i n n n n n n a b n n n n ∞∞∞∞=====+=-+∑∑∑∑发散 但2112()i n n n n a b n ∞∞==+=⋅∑∑收敛；112()n n n n a b n ∞∞==-=∑∑发散； 241111[()]n n n n a b n n∞∞===-+∑∑收敛. 9.下列说法是否正确?为什么?(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛.(2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.10. 为什么区域R z <||内解析且在区间),(R R -取实数值的函数)(z f 展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数？因为当z 取实数值时，)(z f 与)(x f 的泰勒级数展开式是完全一致的，而在R x <||内，)(x f 的展开式的系数都是实数。

所以，在区域R z <||内，)(z f 展开成z 的幂级数时，它的系数都是实数。

11.由 23...1z z z z z =+++-2111...1z z z z =+++- 因为011z z z z +=--,所以有结果2332111...11...0z z z z z z+++++++++=请解释错误的原因。

答:因为23...1z z z z z=+++-要求z 1< 而2111...1z z z z =+++-要求z 1> 所以,在不同区域内2362111...11...011z z z z z z z z z z+≠+++++++++≠-- 12.0=z 是函数)/1cos(1)(z z f =的孤立奇点吗？为什么？ 解: 因为11()cos()z f z =的奇点有0z = 1π1π(0,1,2,...)π2π2k z k z k =+⇒==±±+ 所以在0z =的任意去心邻域，总包括奇点1ππ2z k =+，当k →∞时，z=0。

从而0z =不是11cos()z 的孤立奇点.13. 函数21()(1)f z z z =-在1z =处有一个二级极点，但根据下面罗朗展开式： 25431111, 11(1)(1)(1)(1)z z z z z z =+-+->----. 我们得到“1z =又是()f z 的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么? 解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在011z <-<内得到的在011z <-<内的罗朗展开式为22221111111(1)(1)...(1)1(1)(1)1z z z z z z z z z =-+=-+--+-+----- 14. 如何证明当∞→y 时，|)sin(|iy x +和|)cos(|iy x +都趋于无穷大？证明：()()i i i i 11sin e e e e 2i 2i z z y x y x z --+-=-=⋅- ∴i i i i 1sin e 2e e e e y x y x y x yy x y z e -+--+--=⋅-== 而()()i i 11sin e e e e 22y x y x y y z -+---=-≥ 当+∞→y 时，0→-y e ，+∞→y e 有∞→+|)sin(|iy x ．当-∞→y 时，+∞→-y e ，0→y e 有∞→+|)sin(|iy x ．同理得()()i i 11cos i e e e e 22y x y x y y x y -+--+=+-≥ 所以当∞→y 时有∞→+|)cos(|iy x ．15. 设函数)(z f 在1||0<<z 内解析，且沿任何圆周C ：r z =||，10<<r 的积分为零，问)(z f 是否需在0=z 处解析？试举例说明之。

解： 不一定。

如令21)(z z f =，则其在1||0<<z 内解析，且沿任何圆周C ：r z =||，10<<r 的积分01)(||2==⎰⎰=r z C dz zdz z f 但显然21)(zz f =在0=z 处不解析。

16.设)(z f 在 单连通区域D 内解析，且不为零，C 为D 内任何一条简单光滑闭曲线，问积分⎰'Cdz z f z f )()(是否为零？为什么？ 解： 等于零。

因)(z f 在D 内解析，故)(z f 具有各阶导数且仍为解析函数，从而)(z f '在D 内也解析，又因在D 内0)(≠z f ，故)()(z f z f '在D 内解析，从而在C 上及C 的内部也解析，于是由Cauchy-Gourssat 定理，有0)()(='⎰C dz z f z f17. 设()333322,0(),00x y i x y z f z x y z ⎧-++≠⎪=⎨+=⎪⎩()f z 在原点是否满足C R -条件，是否可微？解：()()()()()3322,0,0,,0,00x y x y u x y x y x y ≠⎧-⎪=+⎨⎪=⎩ ()()()()()3322,0,0,,0,00x y x y v x y x y x y ≠⎧+⎪=+⎨⎪=⎩ 1lim )0,0()0,(lim )0,0(00=∆∆=∆-∆=→∆→∆xx x u x u u x x x ， 同理0)0,0()0,0()0,0(===y x y v v u 。

从而在原点)(z f 满足C R -条件。

又zv i u v i u z z f f x x ∆⋅+-∆+∆=∆'-∆)0,0()0,0(()()( =[][]z y x z i y x i ∆∆+∆∆+-∆-∆+3333)()()1()()()1( 当z ∆沿0→∆=∆x y 时3)(2)1()(x i z z f f ∆+-=∆'-∆ 故)(z f 在原点不可微18. 在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得，请举出一个例子． 例如： ()f z z =在z 平面上处处不可微． 证明：不难看出()f z z =在z 平面上处处连续，但对于任意一点0z ．000000()()f z z f z z z z z z z z z z z z+∆-+∆-+∆-∆===∆∆∆∆ 当z ∆取实数趋于零时，上述极限为1，而当z ∆取纯虚数趋于零时，上述极限为1-，因此上述极限不存在，即()f z 在点0z 不可导，由0z 的任意性知)(z f 在点z 平面上处处不可微．19. “若),(y x u 和),(y x v 均为调和函数，则),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数”是否正确？解：不正确。

例如： 22),(y x y x u -=，22),(y x y y x v +=都是调和函数，但),(),()(y x iv y x u z f +=不是解析函数。