2020-2021九年级中考数学初中数学旋转解答题压轴题提高专题练习附答案一、旋转1．在△ ABC 中， AB=AC，∠ BAC=（060 ），将线段BC 绕点 B 逆时针旋转60°得到线段BD。

（1）如图 1，直接写出∠ ABD 的大小（用含的式子表示）；（2）如图 2，∠ BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ ABE的形状并加以证明；（3）在（ 2）的条件下，连结 DE，若∠DEC=45°，求的值。

1（ 2）见解析（ 3）30【答案】（ 1） 302【解析】解：（ 1） 30 1。

2（2）△ ABE为等边三角形。

证明如下：连接 AD， CD， ED，∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60 得到线段 BD，∴BC=BD，∠ DBC=60 。

°又∵∠ ABE=60°，∴ ABD 60DBEEBC 30 1且△ BCD为等边三角形。

2在△ ABD 与△ ACD中，∵ AB=AC， AD=AD， BD=CD，∴△ ABD≌△ ACD（ SSS）。

∴BAD1 1。

CAD BAC2 2∵∠ BCE=150，°∴ BEC 180 (30 11501。

∴BECBAD 。

)22在△ ABD 和△ EBC中，∵BEC BAD ，EBC ABD ， BC=BD，∴△ ABD≌△ EBC（AAS）。

∴ AB=BE。

∴△ ABE 为等边三角形。

（3）∵ ∠ BCD=60°，∠ BCE=150°，∴DCE 150 60 90 。

又∵∠ DEC=45°，∴ △ DCE为等腰直角三角形。

∴DC=CE=BC。

∵∠ BCE=150，°∴EBC (180 150 )。

215而 EBC115 。

∴30 。

302（1）∵ AB=AC，∠ BAC= ，∴ABC 180。

2∵将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转60 °得到线段 BD，∴DBC 60 。

∴ ABD ABC18060 30 。

DBC2 2（2）由 SSS证明△ABD≌△ ACD，由 AAS 证明△ ABD≌ △ EBC，即可根据有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形的判定得出结论。

（ 3 ）通过证明△DCE 为等腰直角三角形得出EBC (180 150 )，由（ 1 ）152EBC 30 1，从2115 ，解之即可。

而 3022．已知正方形ABCD 中， E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF， G 为DF 中点，连接 EG， CG.(1)求证： EG=CG；(2)将图①中△BEF绕 B 点逆时针旋转 45°,如图②所示 ,取 DF 中点 G,连接 EG,CG.问 (1)中的结论是否仍然成立 ?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)将图①中△BEF绕 B 点旋转任意角度 ,如图③所示 ,再连接相应的线段 ,问 (1)中的结论是否仍然成立 ?通过观察你还能得出什么结论 (均不要求证明 ).【答案】解：（1） CG=EG（2）（ 1）中结论没有发生变化，即EG=CG．证明：连接AG，过 G 点作 MN ⊥ AD 于 M ，与EF 的延长线交于N 点．在△ DAG 与△ DCG 中，∵AD=CD，∠ ADG=∠CDG，DG=DG，∴ △ DAG≌ △ DCG．∴AG=CG．在△ DMG 与△ FNG中，∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG，∴△ DMG≌ △ FNG．∴MG=NG在矩形 AENM 中， AM=EN．在Rt△ AMG 与 Rt△ENG中，∵AM=EN， MG=NG，∴ △ AMG≌ △ENG．∴ AG=EG∴EG=CG．（3）（ 1）中的结论仍然成立．【解析】试题分析：（ 1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG．（2）结论仍然成立，连接AG，过 G 点作 MN ⊥ AD 于 M，与 EF的延长线交于N 点；再证明△ DAG≌ △ DCG，得出AG=CG；再证出△ DMG≌ △FNG，得到MG=NG；再证明△AMG ≌ △ENG，得出 AG=EG；最后证出CG=EG．（3）结论依然成立．还知道EG⊥ CG;试题解析：解：（ 1）证明：在Rt△ FCD中，∵G 为 DF 的中点，∴，同理，在 Rt△ DEF中，，∴CG=EG；（2）（ 1）中结论仍然成立，即EG=CG；连接 AG，过 G 点作 MN ⊥AD 于 M，与 EF的延长线交于N 点，如图所示：在△ DAG 与△ DCG 中，∵AD=CD，∠ ADG=∠ CDG， DC=DC，∴△ DAG≌ △ DCG，∴AG=CG，在△ DMG 与△ FNG中，∵∠ DGM=∠ FGN， DG=FG，∠ MDG=∠NFG，∴△ DMG≌ △ FNG，∴MG=NG，在矩形 AENM 中， AM=EN.，在Rt△ AMG 与 Rt△ ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△ AMG≌△ ENG，∴AG=EG，∴EG=CG，（3）（ 1）中的结论仍然成立，即EG=CG且 EG⊥ CG。

过 F 作 CD 的平行线并延长 CG交于 M 点，连接 EM、 EC，过 F 作 FN 垂直于 AB 于 N，如图所示：由于 G 为 FD 中点，易证△CDG≌△ MFG，得到 CD=FM，又因为 BE=EF，易证∠ EFM=∠ EBC，则△ EFM≌ △ EBC，∠ FEM=∠ BEC， EM=EC∵∠ FEC+∠ BEC=90，°∴∠ FEC+∠ FEM=90 ，°即∠ MEC=90 ，°∴△ MEC 是等腰直角三角形，∵G 为 CM 中点，∴EG=CG， EG⊥ CG。

【点睛】本题解题关键是作出辅助线，且利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质、全等三角形的判定和性质，难度较大。

3．如图 1，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线 OM 上，且 OA=6cm，点 D从 O 点出发，沿OM 的方向以 1cm/s 的速度运动，当 D 不与点 A 重合时，将△ ACD绕点 C逆时针方向旋转60°得到△ BCE，连结 DE．（1）求证：△ CDE是等边三角形；（2）如图 2，当 6＜ t＜ 10 时，△ BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△ BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；（3）如图 3，当点 D 在射线 OM 上运动时，是否存在以D、 E、 B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（ 1）见解析（2）见解析（3）存在【解析】试题分析：（ 1）由旋转的性质得到∠ DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（2）当 6＜ t ＜ 10 时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到 DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB 时，△BDE的周长最小，于是得到结论；（3）存在，①当点 D 于点 B 重合时， D， B，E 不能构成三角形，②当 0≤t＜ 6 时，由旋转的性质得到∠ ABE=60°，∠ BDE＜ 60°，求得∠ BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60 ，°求得∠CEB=30 ，°求得 OD=OA-DA=6-4=2，于是得到t=2 ÷ 1=2s；③当 6＜ t ＜ 10s 时，此时不存在；④当 t ＞ 10s 时，由旋转的性质得到∠ DBE=60°，求得∠ BDE＞60°，于是得到 t=14÷1=14s.试题解析：（ 1）证明：∵将△ ACD绕点 C 逆时针方向旋转60°得到△ BCE，∴∠ DCE=60 °， DC=EC，∴△ CDE是等边三角形；（2）存在，当 6＜ t＜ 10 时，由旋转的性质得， BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，由（ 1）知，△ CDE是等边三角形，∴D E=CD，∴C△DBE=CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥ AB 时，△ BDE的周长最小，此时， CD=2 3 cm，∴△ BDE的最小周长 =CD+4=2 3 +4；（3）存在，① ∵当点 D 与点 B 重合时， D， B， E 不能构成三角形，∴当点 D 与点 B 重合时，不符合题意；②当 0≤t＜ 6 时，由旋转可知，∠ ABE=60 °，∠ BDE＜ 60°，∴∠ BED=90 ，°由（ 1）可知，△ CDE是等边三角形，∴∠ DEB=60 °，∴∠ CEB=30 °，∵∠ CEB=∠ CDA，∴∠ CDA=30 ，°∵∠ CAB=60 ，°∴∠ ACD=∠ADC=30 °，∴D A=CA=4，∴OD=OA﹣DA=6﹣4=2，∴t =2 ÷ 1=2s；③当 6＜ t＜ 10s 时，由∠DBE=120 °＞ 90°，∴此时不存在；④当 t ＞ 10s 时，由旋转的性质可知，∠ DBE=60°，又由（ 1）知∠ CDE=60°，∴∠ BDE=∠ CDE+∠ BDC=60 °+∠ BDC，而∠ BDC＞0°，∴∠ BDE＞ 60 °，∴只能∠ BDE=90 ，°从而∠ BCD=30°，∴B D=BC=4，∴O D=14cm，∴t =14 ÷ 1=14s.综上所述：当t=2 或 14s 时，以 D、 E、B 为顶点的三角形是直角三角形．点睛：在不带坐标的几何动点问题中求最值，通常是将其表达式写出来，再通过几何或代数的方法求出最值；像第三小问这种探究性的题目，一定要多种情况考虑全面，控制变量，从某一个方面出发去分类 .4．如图，正方形 ABCD中，点 E 是 BC 边上的一个动点，连接 AE，将线段 AE 绕点 A 逆时针旋转 90°，得到 AF，连接 EF，交对角线 BD 于点 G，连接 AG．（1）根据题意补全图形；（2）判定 AG 与 EF的位置关系并证明；（ 3）当 AB=3， BE=2 时，求线段 BG 的长．【答案】 (1)见解析 ;(2)见解析 ;(3) 2 5.2【解析】 【分析】（ 1）根据题意补全图形即可；（ 2）先判断出 △ ADF ≌ △ABE ，进而判断出点 C ，D ， F 共线，即可判断出 △ DFG ≌ △HEG ，得出 FG=EG ，即可得出结论；（ 3）先求出正方形的对角线 BD ，再求出 BH ，进而求出 DH ，即可得出 HG ，求和即可得出结论． 【详解】（ 1）补全图形如图所示，（2）连接 DF ，由旋转知， AE=AF ， ∠ EAF=90°，∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB ∥ CD ， AD=AB ， ∠ABC=∠ ADC=BAD=90 ，°∴∠ DAF=∠ BAE ，∴△ ADF ≌ △ ABE （ SAS ），∴ D F=BE ， ∠ ADF=∠ ABC=90 ，° ∴∠ ADF+∠ADC=180 ，° ∴点 C ， D ， F 共线，∴ C F ∥ AB ，过点 E 作 EH ∥ BC 交 BD 于 H ，∴∠ BEH=∠ BCD=90 ，°DF ∥ EH ，∴∠ DFG=∠HEG ，∵BD 是正方形 ABCD 的对角线，∴∠ CBD=45 ，°∴ B E=EH ，∵∠ DGF=∠ HGE ，∴△ DFG≌ △HEG（AAS），∴FG=EG∵A E=AF，∴AG⊥ EF；（3）∵ BD 是正方形的对角线，∴B D= 2 AB=3 2，由（ 2）知，在Rt△ BEH中， BH= 2 BE=22，∴DG=BD-BH= 2由（ 2）知，△ DFG≌ △HEG，∴DG=HG，∴HG= 1 DH= 2 ，2 2∴BG=BH+HG=2 2 + 2 = 5 2 ．2 2【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键．5．在△ ABC 中， AB=AC，∠ A=300，将线段BC绕点 B 逆时针旋转600得到线段BD，再将线段BD 平移到 EF，使点 E 在 AB 上，点 F 在 AC上．（1）如图 1，直接写出∠ ABD 和∠ CFE的度数；（2）在图 1 中证明： AE=CF；（3）如图 2，连接 CE，判断△ CEF的形状并加以证明．【答案】（1） 15°， 45°；（ 2）证明见解析；（3）△ CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：（ 1）根据等腰三角形的性质得到∠ ABC的度数，由旋转的性质得到∠ DBC的度数，从而得到∠ ABD 的度数；根据三角形外角性质即可求得∠ CFE的度数.（2）连接 CD、DF，证明△BCD是等边三角形，得到CD=BD，由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而AB∥ FD，证明△ AEF≌ △ FCD即可得 AE=CF．（3）过点 E 作 EG⊥CF 于 G，根据含 30 度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明△ CEF是等腰直角三角形 .（1）∵在△ ABC 中， AB=AC，∠A=30 0，∴ ∠ ABC=750.∵将线段 BC 绕点 B 逆时针旋转600得到线段BD，即∠ DBC=600．∴∠ ABD= 15°.∴∠ CFE=∠ A+∠ ABD=45 ．°（2）如图，连接CD、 DF．∵线段 BC 绕点 B 逆时针旋转 60 得到线段 BD，∴ BD=BC，∠ CBD=600．∴ △ BCD是等边三角形．∴CD=BD．∵线段 BD 平移到 EF，∴ EF∥ BD， EF=BD．∴四边形 BDFE是平行四边形，EF= CD．∵AB=AC，∠ A=300，∴ ∠ABC=∠ ACB=750．∴ ∠ABD=∠ACD=15°．∵四边形 BDFE是平行四边形，∴ AB∥FD．∴ ∠ A=∠ CFD.∴△ AEF≌ △ FCD（ AAS）．∴A E=CF．（3）△ CEF是等腰直角三角形，证明如下：如图，过点 E 作 EG⊥ CF于 G，∵∠ CFE =45，°∴ ∠ FEG=45．°∴ EG=FG．∵∠ A=300，∠ AGE=90°，∴．∵AE=CF，∴．∴．∴G为CF的中点．∴ EG为CF的垂直平分线．∴E F=EC．∴∠ CEF=∠ FEG=90 ．°∴△ CEF是等腰直角三角形．考点： 1.旋转和平移问题； 2．等腰三角形的性质； 3．三角形外角性质；判定和性质； 5.平行四边形的判定和性质； 6.全等三角形的判定和性质；4．等边三角形的7．含 30 度直角三角形的性质； 8．垂直平分线的判定和性质；9．等腰直角三角形的判定.6．在△ ABC 中 ,AB=6,AC=BC=5,将△ ABC绕点 A 按顺时针方向旋转,得到△ ADE,旋转角为α（0°＜α＜ 180°） ,点 B 的对应点为点 D,点 C 的对应点为点 E,连接 BD， BE．（1）如图 ,当α=60°时 ,延长 BE 交 AD 于点 F．①求证：△ ABD 是等边三角形；②求证： BF⊥ AD， AF=DF；③请直接写出BE 的长；（2）在旋转过程中 ,过点 D 作 DG 垂直于直线 AB,垂足为点 G,连接 CE,当∠DAG=∠ ACB,且线段DG 与线段 AE 无公共点时 ,请直接写出 BE+CE的值．【答案】（ 1）①②详见解析；③3﹣4；（ 2） 13．【解析】试题分析：（ 1）①由旋转性质知 AB=AD，∠ BAD=60°即可得证；②由 BA=BD、 EA=ED根据中垂线性质即可得证；③分别求出 BF、 EF 的长即可得；（ 2）由∠ACB+∠ BAC+∠ABC=180 、°∠ DAG+∠ DAE+∠ BAE=180 、°∠ DAG=∠ ACB、∠DAE=∠ BAC 得∠BAE=∠ BAC且 AE=AC，根据三线合一可得CE⊥ AB、 AC=5、 AH=3，继而知 CE=2CH=8、BE=5，即可得答案．试题解析：（ 1）① ∵ △ABC 绕点 A 顺时针方向旋转60°得到△ ADE，∴AB=AD，∠ BAD=60 ，°∴△ ABD 是等边三角形；②由①得△ ABD 是等边三角形，∴AB=BD，∵△ ABC绕点 A 顺时针方向旋转60 °得到△ ADE，∴AC=AE， BC=DE，又∵ AC=BC，∴E A=ED，∴点 B、E 在 AD 的中垂线上，∴BE 是 AD 的中垂线，∵点 F 在 BE 的延长线上，∴B F⊥ AD， AF=DF；③由② 知 BF⊥AD， AF=DF，∴AF=DF=3，∵AE=AC=5，∴E F=4，∵在等边三角形ABD 中， BF=AB?sin∠ BAF=6 ×=3，∴B E=BF﹣ EF=3﹣4；（2）如图所示，∵∠ DAG=∠ ACB，∠ DAE=∠ BAC，∴∠ ACB+∠ BAC+∠ ABC=∠ DAG+∠ DAE+∠ ABC=180 ，°又∵ ∠ DAG+∠ DAE+∠ BAE=180°，∴∠ BAE=∠ ABC，∵AC=BC=AE，∴∠ BAC=∠ ABC，∴∠ BAE=∠ BAC，∴AB⊥ CE，且 CH=HE=CE，∵AC=BC，∴A H=BH= AB=3，则CE=2CH=8， BE=5，∴B E+CE=13．考点：三角形综合题 .7．如图 1，在正方形 ABCD中，点 E、 F 分别在边 BC， CD上，且 BE=DF，点 P 是 AF 的中点，点 Q 是直线 AC与 EF的交点，连接 PQ， PD．（1）求证： AC 垂直平分 EF；（2）试判断△ PDQ 的形状，并加以证明；（3）如图 2，若将△ CEF绕着点 C 旋转 180°，其余条件不变，则（ 2）中的结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（ 1）证明见解析；（2）△ PDQ 是等腰直角三角形；理由见解析（3）成立；理由见解析 .【解析】试题分析：（ 1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=AD，∠B=∠ADF=90°，∠BCA=∠ DCA=45 ，°由 BE=DF，得出 CE=CF，△ CEF是等腰直角三角形，即可得出结论；（2）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD= AF， PQ= AF，得出PD=PQ，再证明∠DPQ=90 ，°即可得出结论；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质得出PD= AF， PQ= AF，得出 PD=PQ，再证明点A、 F、 Q、 P 四点共圆，由圆周角定理得出∠ DPQ=2∠ DAQ=90°，即可得出结论．试题解析：（ 1）证明：∵四边形 ABCD是正方形，∴A B=BC=CD=AD，∠ B=∠ ADF=90 ，°∠ BCA=∠DCA=45 ，°∵BE=DF，∴C E=CF，∴AC 垂直平分EF；（2）解：△ PDQ 是等腰直角三角形；理由如下：∵点 P 是 AF 的中点，∠ ADF=90 ，°∴P D= AF=PA，∴∠ DAP=∠ADP，∵AC 垂直平分EF，∴∠ AQF=90 ，°∴PQ= AF=PA，∴∠ PAQ=∠ AQP， PD=PQ，∵∠ DPF=∠ PAD+∠ ADP，∠ QPF=∠ PAQ+∠AQP，∴∠ DPQ=2∠ PAD+2∠ PAQ=2（∠PAD+∠ PAQ） =2 × 45=90° °，∴△ PDQ 是等腰直角三角形；（3）成立；理由如下：∵点 P 是 AF 的中点，∠ ADF=90 ，°∴P D= AF=PA，∵B E=DF， BC=CD，∠ FCQ=∠ ACD=45 ，°∠ ECQ=∠ACB=45 ，°∴CE=CF，∠ FCQ=∠ ECQ，∴CQ⊥ EF，∠AQF=90 ，°∴PQ= AF=AP=PF，∴P D=PQ=AP=PF，∴点 A、 F、 Q、 P 四点共圆，∴∠ DPQ=2∠ DAQ=90 ，°∴△ PDQ 是等腰直角三角形．考点：四边形综合题．8．思维启迪：（1）如图 1， A， B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达A， B B 点的点 C，连接 BC，取 BC 的中点交 AP 的延长线于点D，此时测得P（点 P 可以直接到达CD＝200 米，那么A 点），利用工具过点A，B 间的距离是C 作米．CD∥ AB思维探索：（ 2）在△ABC 和△ ADE 中， AC＝BC， AE＝ DE，且 AE＜ AC，∠ ACB＝∠ AED＝90°，将△ ADE 绕点 A 顺时针方向旋转，把点 E 在 AC 边上时△ ADE 的位置作为起始位置（此时点 B 和点 D 位于 AC 的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．① 如图② 如图2，当△ ADE 在起始位置时，猜想：PC 与 PE 的数量关系和位置关系分别是3，当α＝ 90°时，点 D 落在 AB 边上，请判断PC 与 PE的数量关系和位置关系，并；证明你的结论；③当α＝ 150 °时，若 BC＝ 3 ， DE＝ l ，请直接写出PC2的值．【答案】（ 1） 200；（ 2）①PC ＝ PE， PC⊥PE；②PC 与 PE的数量关系和位置关系分别是PC＝ PE， PC⊥ PE，见解析；③PC 2＝10 3 3.2【解析】【分析】（1）由 CD∥ AB，可得∠C＝∠B，根据∠ APB＝∠ DPC即可证明△ABP≌ △ DCP，即可得AB ＝CD，即可解题．（2）①延长 EP 交 BC 于 F，易证△ FBP≌ △ EDP（ SAS）可得△ EFC是等腰直角三角形，即可证明 PC＝ PE， PC⊥ PE．②作 BF∥ DE，交 EP 延长线于点 F，连接 CE、 CF，易证△ FBP≌ △ EDP（ SAS），结合已知得 BF＝ DE＝ AE，再证明△ FBC≌ △EAC（ SAS），可得△ EFC是等腰直角三角形，即可证明PC＝ PE， PC⊥ PE．③作 BF∥ DE，交 EP 延长线于点F，连接 CE、 CF，过 E 点作 EH⊥ AC 交 CA 延长线于 H 点，由旋转旋转可知，∠ CAE＝ 150°， DE 与 BC 所成夹角的锐角为30°，得∠ FBC＝∠ EAC，同②可证可得 PC＝ PE， PC⊥PE，再由已知解三角形得2 2 2＝ 10 3 3 ，即可∴ EC＝CH +HE求出PC21EC2 10 3 3 2 2【详解】（1）解：∵ CD∥ AB，∴∠ C＝∠B，在△ ABP 和△ DCP中，BP CPAPB DPC ，B C∴△ ABP≌ △DCP（ SAS），∴DC＝AB．∵AB＝ 200 米．∴CD＝200 米，故答案为： 200．（2）①PC 与 PE的数量关系和位置关系分别是PC＝PE， PC⊥ PE．理由如下：如解图1，延长 EP 交 BC于 F，同（ 1）理，可知∴ △FBP≌ △ EDP（ SAS），∴PF＝ PE， BF＝ DE，又∵ AC＝ BC， AE＝ DE，∴F C＝ EC，又∵ ∠ ACB＝ 90°，∴△ EFC是等腰直角三角形，∵EP＝ FP，∴PC＝ PE， PC⊥ PE．② PC 与 PE的数量关系和位置关系分别是PC＝ PE，PC⊥ PE．理由如下：如解图 2，作 BF∥ DE，交 EP延长线于点 F，连接 CE、 CF，同① 理，可知△ FBP≌ △ EDP（ SAS），∴B F＝ DE， PE＝ PF＝1 EF，2∵DE＝AE，∴B F＝ AE，∵当α＝ 90 °时，∠EAC＝ 90 °，∴ED∥ AC， EA∥ BC∵FB∥ AC，∠ FBC＝90，∴∠ CBF＝∠ CAE，在△ FBC和△ EAC中，BF AECBE CAE ，BC AC∴△ FBC≌ △ EAC（ SAS），∴C F＝ CE，∠FCB＝∠ ECA，∵∠ ACB＝ 90 °，∴∠ FCE＝ 90 °，∴△ FCE是等腰直角三角形，∵EP＝ FP，1∴CP⊥ EP， CP＝EP＝EF ．③如解图 3，作 BF∥ DE，交 EP延长线于点 F，连接 CE、 CF，过 E 点作 EH⊥ AC 交 CA 延长线于 H 点，当α＝ 150°时，由旋转旋转可知，∠ CAE＝150°，DE与BC所成夹角的锐角为30°，∴∠ FBC＝∠ EAC＝α＝150 °同② 可得△ FBP≌△ EDP（SAS），同②△ FCE是等腰直角三角形，CP⊥ EP， CP＝EP＝2 CE，2在Rt△ AHE 中，∠ EAH＝ 30°，AE＝ DE＝ 1，∴HE＝1， AH＝3，2 2又∵ AC＝ AB＝ 3，∴CH＝3+3，2∴EC2＝CH2+HE2＝103 3∴PC2＝1EC2 10 3 3 2 2【点睛】本题考查几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质、勾股定理和 30°直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．9．我们定义 :如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。