【答案】解：（1）CG=EG （2）（1）中结论没有发生变化，即 EG=CG． 证明：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点．
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG， ∴ △ DAG≌ △ DCG． ∴ AG=CG． 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG． ∴ AG=EG ∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立．
4．如图（1）所示，将一个腰长为 2 等腰直角△ BCD 和直角边长为 2、宽为 1 的直角△ CED 拼在一起．现将△ CED 绕点 C 顺时针旋转至△ CE’D’，旋转角为 a． （1）如图（2），旋转角 a=30°时，点 D′到 CD 边的距离 D’A=______．求证：四边形 ACED′ 为矩形； （2）如图（1），△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，在 BC 上如何取点 G，使得 GD’=E’D；并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin( －90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE，所以∠ FAE=∠ BEA，由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA，故有 AB∥ FE，因此四边形 ABEF 是平行四 边形，又 BE=EF,因此可得结论； (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG＝90°－ ，利用菱形的性质得到
2．已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG. (1) 求证：EG=CG； (2) 将图①中△ BEF 绕 B 点逆时针旋转 45∘,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG.问(1)中的 结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3) 将图①中△ BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是 否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论(均不要求证明).
【答案】（1）证明见解析 （2）当旋转角等于 30°时，AB 与 A1B1 垂直. （3）理由见解析 【解析】 试题分析：(1)由等边三角形的性质得 AB=BB1，又因为 BB1=2BC，得出 AB=2BC; (2) 利用 AB 与 A1B1 垂直得∠ A1ED=90°，则∠ A1DE=90°-∠ A1=60°，根据对顶角相等得 ∠ BDC=60°，由于∠ B=60°，利用三角形内角和定理得∠ A1CB=180°-∠ BDC-∠ B=60°，所以 ∠ ACA1=90°-∠ A1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于 30°时，AB 与 A1B1 垂直； (3)由于 AB∥ CB1，∠ ACB1=90°，根据平行线的性质得∠ ADC=90°，在 Rt△ ADC 中，根据含
②如图，连接 BD、CD
∵ △ BCP 沿射线 CA 方向平移，得到△ DAE， ∴ BC∥ AD 且 BC=AD， ∵ ∠ ACB=90°， ∴ 四边形 BCAD 是矩形，∴ CD=AB=6， ∵ BP=3，∴ DE=BP=3， ∵ BP⊥CE，BP∥ DE，∴ DE⊥CE，
∴ 在 Rt△ DCE 中，
（3）△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，∠ CE’D=90°时，直接写出旋转角 a 的值． 【答案】1 【解析】 分析：（1）过 D′作 D′N⊥CD 于 N．由 30°所对直角边等于斜边的一半即可得结论． 由 D’A∥ CE 且 D’A=CE=1，得到四边形 ACED’为平行四边形．根据有一个角为 90°的平行四边 形是矩形，即可得出结论； （2）取 BC 中点即为点 G，连接 GD’．易证△ DCE’≌ △ D’CG，由全等三角形的对应边相等 即可得出结论． （3）分两种情况讨论即可． 详解：（1）D’A=1．理由如下： 过 D′作 D′N⊥CD 于 N．
同理可得：∠ FEN＝∠ FEC－∠ 4= － (90°－ )＝ －90° 综上所述，∠ FEN＝ －90° ∴ 当点 M 在 BC 上运动时，点 N 在射线 EH 上运动(如图 3) 当 FN⊥EH 时，FN 最小，其最小值为 FE·sin( －90°) 【点睛】 本题考查了菱形的判定与性质以及求最短距离的问题，解题的关键是分类讨论得出∠ FEN ＝ －90°，再运用垂线段最短求出 FN 的最小值.
一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图 1，在□ABCD 中，AB=6，∠ B= (60°< ≤90°). 点 E 在 BC 上，连接 AE，把△ ABE 沿
AE 折叠，使点 B 与 AD 上的点 F 重合，连接 EF. (1)求证：四边形 ABEF 是菱形； (2)如图 2，点 M 是 BC 上的动点，连接 AM，把线段 AM 绕点 M 顺时针旋转 得到线段 MN，连接 FN，求 FN 的最小值(用含 的代数式表示).
∵ ∠ AMN＝∠ B＝ ，∠ AMN+∠ 2＝∠ 1+∠ B ∴ ∠ 1＝∠ 2 又 AM＝NM，AB＝MG ∴ △ ABM≌ △ MGN ∴ ∠ B＝∠ 3，NG＝BM ∵ MG＝AB＝BE ∴ EG＝AB＝NG ∴ ∠ 4=∠ ENG= (180°－ )＝90°－ 又在菱形 ABEF 中，AB∥ EF ∴ ∠ FEC＝∠ B= ∴ ∠ FEN＝∠ FEC－∠ 4= － (90°－ )＝ －90° ②如图 2，当点 M 在线段 EC 上时，在 BC 延长线上截取 MG＝AB，连接 GN、EN.
；
（2）证明：如图所示，
当 C、P、M、N 四点共线时，PA+PB+PC 最小 由旋转可得，△ AMN≌ △ APB，
∴ PB=MN 易得△ APM、△ ABN 都是等边三角形， ∴ PA=PM ∴ PA+PB+=60°，∠ PAM=60° ∴ ∠ CAN=∠ CAB+∠ BAN=60°+60°=120°， ∴ ∠ CBN=90° 在 Rt△ ABC 中，易得 ∴ 在 Rt△ BCN 中， “点睛”本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定和性 质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和 全等三角形，依据图形的性质进行计算求解.
∴
，
同理，在 Rt△ DEF 中，
，
∴ CG=EG； （2）（1）中结论仍然成立，即 EG=CG； 连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点，如图所示：
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DC=DC， ∴ △ DAG≌ △ DCG， ∴ AG=CG， 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，DG=FG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG， ∴ MG=NG， 在矩形 AENM 中，AM=EN.， 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN，MG=NG，
∠ FEN＝ －90°，再根据垂线段最短，求出 FN 的最小值即可. 【详解】 （1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥ BC， ∴ ∠ FAE=∠ BEA， 由折叠的性质得∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA, BE=EF， ∴ ∠ BAE=∠ FEA， ∴ AB∥ FE， ∴ 四边形 ABEF 是平行四边形， 又 BE=EF， ∴ 四边形 ABEF 是菱形； （2）①如图 1，当点 M 在线段 BE 上时，在射线 MC 上取点 G，使 MG＝AB，连接 GN、 EN.
【答案】（1）①补图见解析；② 【解析】
；（2）
（1）①连接 PB、PC，将△ BCP 沿射线 CA 方向平移，得到△ DAE，点 B、C、P 的对应点分 别为点 D、A、E，连接 CE，据此画图即可；②连接 BD、CD，构造矩形 ACBD 和 Rt△ CDE，根据矩形的对角线相等以及勾股定理进行计算，即可求得 CE 的长； （2）以点 A 为旋转中心，将△ ABP 顺时针旋转 60°得到△ AMN，连接 BN，根据△ PAM、 △ ABN 都是等边三角形，可得 PA+PB+PC=CP+PM+MN,最后根据当 C、P、M、N 四点共射 线，PA+PB+PC 的值最小，此时△ CBN 是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题. 解：（1）①补全图形如图所示；
∵ ∠ NCD′=30°，CD′=CD=2，∴ ND′= 1 CD′=1． 2
由已知，D’A∥ CE，且 D’A=CE=1， ∴ 四边形 ACED’为平行四边形． 又∵ ∠ DCE=90°， ∴ 四边形 ACED’为矩形； （2）如图，取 BC 中点即为点 G，连接 GD’．
∵ ∠ DCE=∠ D’CE’=90°， ∴ ∠ DCE’=∠ D’CG． 又∵ D’C= DC，CG=CE’， ∴ △ DCE’≌ △ D’CG， ∴ GD’=E’D． （3）分两种情况讨论：①如图 1． ∵ ∠ CE′D=90°，CD=2，CE′=1，∴ ∠ CDE′=30°，∴ ∠ E′CD=60°，∴ ∠ E′CB=30°，∴ 旋转角 =∠ ECE′=180°+30°=210°． ②如图 2，同理可得∠ E′CE=30°，∴ 旋转角=360°－30°=330°．
3．如图 l，在 AABC 中，∠ ACB=90°，点 P 为 ΔABC 内一点. (1)连接 PB，PC，将 ABCP 沿射线 CA 方向平移，得到 ΔDAE，点 B，C，P 的对应点分别为 点 D、A、E，连接 CE. ①依题意，请在图 2 中补全图形； ②如果 BP⊥CE，BP=3，AB=6，求 CE 的长 (2)如图 3，以点 A 为旋转中心，将 ΔABP 顺时针旋转 60°得到△ AMN，连接 PA、PB、PC， 当 AC=3，AB=6 时，根据此图求 PA+PB+PC 的最小值.