因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过 研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基 本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。 这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始 的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜 在变量，称为因子。
（一）正交因子模型： 因子分析的一般模型为：
X1 a11F1 a12F2 a1mFm 1 X 2 a21F1 a22F2 a2mFm 2
X p ap1F1 ap2F2 apmFm p
i
可将上式写成简单的矩阵形式
X AF
因子。
（1） m p ； （2） Cov(F, ε) 0 ，即公共因子与特殊因子是不相关的；
1

（3）
DF

D(F )


1
0
关且方差为 1；
0



Im
，即各个公共因子不相
1
12
（4）D

D(ε)


2 2
0
方差不要求相等。
0

，即各个特殊因子不相关，
第六章 因子分析
因子分析简介 因子分析过程
问题 思考
主成分分析和因子分析的联系与区别 因子分析模型需要满足哪些条件 变量共同度的定义及统计意义 因子分子中的因子载荷矩阵A矩阵和主成
分分析中的U矩阵是什么关系
内容和要求：
本章内容：因子分析的基本思想和原理、相关重要概 念及统计解释、因子分析过程及结果解释。
X 共有的因子，通常称为公共因子或共同因子，其 系数 aij 称为因子载荷，表示第 i 个变量或样品在第
j 个公因子的负荷，即相对重要程度。 i 称为特殊
因子，即未被公因子包含的其他因子。
因子分析一般有两种情况，一种是对变量作因 子分析，我们称为R型因子分析，该分析较为 常见，因为我们通常是为了简化分析变量进行 因子分析；另一种是对样品作因子分析，我们 称为Q型因子分析，该分析的原理与R型因子 分析完全一致，只是应用较少
E( X i Fj ) ai1E(F1Fj ) ai2E(F2Fj ) aimE(FmFj ) E(iFj )
在标准化条件下，有 E(XiFj ) rxiFj
E(Fi Fj ) rFiFj
故上式可以写成：
1Fj ai r2 F2Fj a r im FmFj riFj aij


2 p

因子分析模型要求满足模型基本假定并
且 m p 。其中重要条件是各因子之
间彼此不相关，且各因子方差同等散布， 均为1（因此称为正交模型）。
因此，因子分析就是想利用公因子去代 替原来的X以达到简化分析和寻找变量内 部结构的目的。
（二）重要概念的统计意义：因子载荷、 变量共同度、公因子方差贡献
学习要求： 熟练掌握因子分析的基本思想和基本原理。 熟练掌握公共因子、因子载荷、共同度、因子旋转等
重要概念及其相应统计意义。 能熟练使用软件进行因子分析，并能对因子分析结果
进行准确合理的解释。 能结合实际经济和社会问题利用因子分析考察事物内
部结构。
第一节、因子分析简介
一、什么是因子分析？
（三）基本思想：
基于对因子的认识，因子分析的基本思想就是通过变 量（或样品）的相关系数矩阵（或相似系数矩阵）内 部结构的研究，找出能控制所有变量（或样品）的少 数几个随机变量去描述多个变量（或样品）之间的相 关（或）相似关系。在分解原始变量的基础上，从中 归纳出潜在的“类别”，相关性较强的变量归为一类， 不同类间变量的相关性则较低。从而实现因子分析的 两个目的：一简化分析，二将原变量分类，对公因子 的意义作出合理可信的解释。
假定因子模型中各变量及公因子和特殊因子均 为标准化变量，即均值为0，方差为1的变量
1、因子载荷的统计意义。
已知因子模型为 X i ai1F1 ai2F2 aimFm
将两端右乘 Fj
X i Fj ai1F1Fj ai2F2Fj aimFmFj i Fj
对上式两边同时求期望值有
其中，( X1, X 2 , X p )为实测变量。aij
为因子载荷，表示第i个变量在第j个公因子 上的负荷，因子载荷越大，则说明第i个变 量与第j个因子的关系越密切。该结论将在 后面的分析中得到证明，A矩阵即为因子载 荷矩阵。F向量为不可观测的变量，即为X
的公共因子，是一种综合变量。 i 为特殊
因此：因子也是综合变量；因子具有更 明确的指标意义；具有不同意义的因子 便于揭示事物变化的内在结构；提取少 量重要因子可以达到降维和简化分析的 作用。
（二）因子分析的一般模型：
令因子为 F(factor)，当我们研究 m 个因子对实 际问题的影响时可以建立因子模型，即
X i ai1F1 ai2F2 aimFm + i 。其中的 F 是对所有
因此因子载荷的统计意义就是第i个变量与 第j个公共因子的相关系数，表示 X i依赖 Fj 的份量，即是统计学中的权数，心理学上叫
而进行因子分析的起点就是因子模型，我们通 过估计因子模型中的参数即因子负荷和方差对 各因子的重要程度进行衡量，并利用因子负荷 矩阵所体现的各变量或样品之间的相关程度提 取出具有明确意义的公因子F，赋予其有实际 背景的解释进而给以命名，从而达到降维和分 类的目的。
三、因子分析的数学原理。
因R型因子分析应用广泛，故本章的解释均是 以R型因子分析为对象。

二、因子分析的基本思想
（一）什么是因子？
因子与主成分相似，也是一种综合变量，即对原 变量进行线性组合而形成的新变量。但它比主成 分有着更为明确的含义，表现为具有强烈倾向性 的综合变量，其倾向性取决于变量或样品间的相 关系数或相似系数的大小。
因子集中表现影响某现象变化的某类因素，它是 一个较抽象的概念，由一系列具有相同影响方向 的具体因素所构成，因此我们有时也称它为共同 因子，代表同一类变量的影响，提取的多个共同 因子可以揭示系统变化的内在结构，并可以使大 量变量得到简化。