离散数学数理逻辑部分综合练习辅导一、单项选择题1．设P ：我将去打球，Q ：我有时间．命题“我将去打球，仅当我有时间时”符号化为( )．A ．P Q →B ．Q P →C ．Q P ↔D ．Q P ⌝∨⌝因为语句“仅当我有时间时”是“我将去打球”的必要条件，所以选项B 是正确的．正确答案：B一般地，当语句是由“……，仅当……”组成，它的符号化用条件联结词→． 问：如果把“我将去打球”改成“我将去学习”、“我将去旅游”等，会符号化吗？2．设命题公式G ：)(R Q P ∧→⌝，则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( )．A ．0, 0, 0B ．0, 0, 1C ．0, 1, 0D ．1, 0, 0 个人收集整理 勿做商业用途当P 为真值为1时，P ⌝的真值为0，无论()Q R ∧的真值是1还是0，命题公式G 的真值为1．所以选项D 是正确的．正确答案：D3．命题公式P ∨Q 的合取范式是 ( )．A ．P ∧QB ．（P ∧Q ）∨（P ∨Q ）C ．P ∨QD ．⌝（⌝P ∧⌝Q ）复习合取范式的定义：定义6.6.2 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A 1∧A 2∧…∧A n ， （n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是由命题变元或其否定所组成的析取式．由此可知，选项B 和D 是错的．又因为P ∧Q 与P ∨Q 不是等价的，选项A 是错的．所以，选项C 是正确的．正确答案：C4．命题公式)(Q P →⌝的析取范式是( )．A ．Q P ⌝∧B Q P ∧⌝C ．Q P ∨⌝D ．Q P ⌝∨复习析取范式的定义：定义6.6.3 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A 1∨A 2∨…∨A n ， （n ≥1）其中A 1，A 2，…，A n 均是有命题变元或其否定所组成的合取式．公式)(Q P →⌝与Q P ⌝∧是等价的，Q P ⌝∧满足析取范式的定义，所以，选项A是正确的．正确答案：A5．下列公式成立的为( )．A．⌝P∧⌝Q ⇔P∨Q B．P→⌝Q⇔⌝P→QC．Q→P⇒ P D．⌝P∧(P∨Q)⇒Q因为：⌝P∧(P∨Q)⇒Q所以，选项D是正确的．正确答案：D6．下列公式( )为重言式．A．⌝P∧⌝Q↔P∨Q B．(Q→(P∨Q)) ↔(⌝Q∧(P∨Q))C．(P→(⌝Q→P))↔(⌝P→(P→Q)) D．(⌝P∨(P∧Q)) ↔Q(P→(⌝Q→P)) ⇔⌝P∨(Q∨ P)，(⌝P→(P→Q)) ⇔ P∨(⌝P∨Q) 所以，C是重言式，也就是永真式．正确答案：C说明：如果题目改为“下列公式( )为永真式”，应该是一样的．7．设A（x）：x是人，B（x）：x是学生，则命题“不是所有人都是学生”可符号化为（）．A．(∀x)(A(x)∧B(x)) B．⌝(∃x)(A(x)∧B(x))C．⌝(∀x)(A(x)→B(x))D．⌝(∃x)(A(x)∧⌝B(x))由题设知道，A(x)→B(x)表示只要是人，就是学生，而“不是所有”应该用全称量词的否定，即⌝∀x，得到公式C．个人收集整理勿做商业用途正确答案：C8．设C(x)：x是国家级运动员，G(x)：x是健壮的，则命题“没有一个国家级运动员不是健壮的”可符号化为( )．个人收集整理勿做商业用途A．))G(xx)(⌝∀(→x⌝C((x()Gx∧x⌝C⌝∀B．)) C．))G(x()(x∧x⌝C⌝∃x⌝∃D．)))((x(Gx⌝→C由题设知道，C(x)∧⌝ G(x)表示国家级运动员不是健壮的，而“没有一个”就是“不存在一个”，因此用存在量词的否定，即⌝∃x，得到公式D．个人收集整理勿做商业用途正确答案：D9．表达式))RyQzyxP∧∨∃→x∀∀中x(x(,)())(zQ((zy,)∀的辖域是( )．A．P(x, y) B．P(x, y)∨Q(z) C．R(x, y) D．P(x, y)∧R(x, y)个人收集整理勿做商业用途所谓辖域是指“紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域”．那么看题中紧接于量词∀x之后最小的子公式是什么呢？显然是P(x, y)∨Q(z)，因此，选项B是正确的．个人收集整理勿做商业用途正确答案：B10．在谓词公式(∀x )(A (x )→B (x )∨C (x ，y ))中，（ ）．A ．x ，y 都是约束变元B ．x ，y 都是自由变元C ．x 是约束变元，y 都是自由变元D ．x 是自由变元，y 都是约束变元约束变元就是受相应的量词约束的变元．而自由变元就是不受任何量词约束的变元．所以选项C 是正确的．正确答案：C注：如果该题改为填写约束变元或自由变元的填空题，大家也应该掌握．二、填空题1．命题公式()P Q P →∨的真值是．因为()P Q P →∨⇔⌝P ∨(Q ∨P )⇔1，所以应该填写：1．应该填写：1问：命题公式Q Q →、Q Q ⌝∨的真值是什么？2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为．个人收集整理 勿做商业用途一般地，当语句是由“如果……，那么……”，或“若……，则……”组成，它的符号化用条件联结词→．应该填写：(P ∨Q )→R3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 ．复习主析取范式的定义：定义6.6.5 对于给定的命题变元，如果有一个等价公式，它仅仅有小项的析取组成，则该等价式称为原式的主析取范式．个人收集整理 勿做商业用途而小项的定义是：定义6.6.4 n 个命题变元的合取式，称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次．个人收集整理 勿做商业用途由小项的定义知道，命题公式P ∧Q 中缺少命题变项R 与它的否定，因此，应该补上，即P ∧Q ⇔P ∧Q ∧ (R ∨⌝R ) ⇔(P ∧Q ∧ R ) ∨(P ∧Q ∧⌝R )得到命题公式P ∧Q 的主析取范式．应该填写：(P ∧Q ∧R )∨ (P ∧Q ∧⌝R )4．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ∀∨∃消去量词后的等值式为． 因为在有限个体域下，消除量词的规则为：设D ＝{a 1, a 2, …, a n }，则 所以，应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))应该填写：(A (a )∨ A (b ))∨ (B (a )∧ B (b ))如果个体域是D ＝{1, 2}，D ={a , b , c }, 或谓词公式变为(()())x A x B x ∃∨，怎么做?5．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x小于3”，则谓词公式(∃x)A(x) 的真值为．因为(∃x)A(x)⇔A(1)∨A(2)∨A(3)⇔1∨1∨0⇔1应该填写：16．谓词命题公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为．因为自由变元就是不受任何量词约束的变元，在公式(∀x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中，y是不受全称量词∀约束的变元．所以应该填写：y．个人收集整理勿做商业用途应该填写：y问: 公式中的约束变元是什么?三、公式翻译题1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．解：设P：今天是天晴；则命题公式为：P．问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：P∧Q．注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“∧”．3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：P→Q．4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．谓词公式为：(∀x)(P(x)→ Q(x))．四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）1．命题公式P P⌝∧的真值是1．解错误．因为P P⌝∧是永假式（教材167页的否定律）．2．命题公式⌝P∧(P→⌝Q)∨P为永真式．解：正确因为，由真值表P Q ⌝P ⌝Q P→⌝Q⌝P∧(P→⌝Q)∨P0 0 1 1 1 10 1 1 0 1 110 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1可知，该命题公式为永真式．注：如果题目改为该命题公式为永假式，如何判断并说明理由？3．下面的推理是否正确，请给予说明．(1) (∀x )A (x ) ∧ B (x ) 前提引入(2) A (y ) ∧B (y ) US (1)解：错第2步应为：A (y )∧B (x )因为A (x )中的x 是约束变元，而B (x )中的x 是自由变元，换名时，约束变元与自由变元不能混淆．五．计算题1． 求P →Q ∨R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．解 P →Q ∨R ⇔⌝P ∨Q ∨R （析取范式、合取范式、主合取范式）⇔(⌝P ∧(Q ∨⌝Q )∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧Q ∧(R ∨⌝R ))∨((P ∨⌝P )∧(Q ∨⌝Q )∧R )个人收集整理 勿做商业用途 （补齐命题变项）⇔(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R ) （∧对∨的分配律）个人收集整理 勿做商业用途⇔(⌝P ∧⌝Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧⌝Q ∧R )∨(⌝P ∧Q ∧⌝R )∨(⌝P ∧Q ∧R )∨(P ∧⌝Q ∧R )∨(P ∧Q ∧⌝R )∨(P ∧Q ∧R ) （主析取范式）个人收集整理 勿做商业用途注：如果题目只是求“析取范式”或“合取范式”，大家一定不要再进一步求“主析取范式”或“主合取范式”．2．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ∃→∀∧∀．（1）试写出量词的辖域；（2）指出该公式的自由变元和约束变元．解 （1）量词x ∃的辖域为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀，z ∀的辖域为(,,)Q y x z ，y ∀的辖域为(,)R y z ．（2）自由变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的y ，(,)R y z 中的z ．约束变元为(,)(,,)P x y zQ y x z →∀中的x ，(,,)Q y x z 中的z ，(,)R y z 中的y ．3．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式∀y ∃xP (x ,y )消去量词后的等值式．解：∀y ∃xP (x , y )⇔(∃xP (x , a 1))∧(∃xP (x , a 2))⇔(P (a 1, a 1)∨P (a 2, a 1))∧(P (a 1, a 2)∨P (a 2, a 2))六、证明题1．试证明命题公式(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q与⌝（P∨⌝Q）等价．证：(P→(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔(⌝P∨(Q∨⌝R))∧⌝P∧Q⇔((⌝P∨Q∨⌝R)∧⌝P)∧Q⇔⌝P∧Q（吸收律）⇔⌝(P∨⌝Q) （摩根律）2．试证明(∃x)(P(x)∧R(x))⇒(∃x)P(x)∧(∃x)R(x)．分析：前提：(∃x)(P(x)∧R(x))，结论：(∃x)P(x)∧(∃x)R(x) ．证明(1) (∃x)(P(x)∧R(x)) P(2) P(a)∧R(a) ES(1) (存在指定规则)(3) P(a) T(2) （化简）(4) (∃x)P(x) EG(3) (存在推广规则)(5)R(a) T(2) （化简）(6) (∃x)R(x) EG(5) (存在推广规则)(7) (∃x)P(x)∧(∃x)R(x) T(4)(6) （合取引入）。