1 / 6北京工业大学经管学院期末试卷《离散数学》（A ） 学号 姓名： 成绩一、单项选择题（每题2分，共18分）1．令P ：今天下雪了，Q ：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不．滑”可符号化为（ D ） A ．P→QB ．P ∨QC ．P ∧QD ．P ∧Qp→q ，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。

“→”与此题无关2. 关于命题变元P 和Q 的极大项M 1表示( C )。

书P1520，此题换作p 、q 更容易理解A.┐P ∧QB.┐P ∨Q p ∨┐q 01 1 M 1∨┐Q ∧┐Q3.设R （x ）：x 是实数；S （）：x 小于y 。

用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。

其中错误的表达式是：（ D ）4.在论域{}中与公式（x ∃）A （x ）等价的不含存在量词的公式是（ B ）A.)b (A )a (A ∧B. )b (A )a (A ∨C. )b (A )a (A →D. )a (A )b (A →5．下列命题公式为重言式的是（ C ）A ．Q→（P ∧Q ）B ．P→（P ∧Q ）C ．（P ∧Q ）→PD ．（P ∨Q ）→Q 牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。

熟练的可直接看出C 不存在1→0的情况6. 设｛1，2，3｝，｛｝，下列二元关系R 为A 到B 的函数的是( A )A. ｛<1>,<2>,<3>｝B. ｛<1>,<2>｝C. ｛<1>,<1>,<2>,<3>｝D. ｛<1>,<2>,<3>,<1>｝2 / 67.偏序关系具有性质（ D ） 背A.自反、对称、传递B.自反、反对称C.反自反、对称、传递D.自反、反对称、传递8.设R 为实数集合，映射:,R R σ→2()21,x x x σ=-+-则σ 是( D ).(A) 单射而非满射 (B) 满射而非单射 (C) 双射 (D) 既不是单射也不是满射. 书P96.设函数f ：A→B（1）若，则f 是满射的【即值域为B 的全集，在本题中为R ，该二次函数有最高点，不满足】（2）若对于任何的x 12∈A , x 1≠x 2,都有f(x 1)≠f(x 2)，则称f 是单射的【即真正一一对应，甚至不存在一个y 对应多个x 。

显然，本题为二次函数，不满足】（3）若f 既是满射的，又是单射的，则称f 是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】二、填空题（每空2分，共22分）１.设Q 为有理数集，笛卡尔集×Q ，*是S 上的二元运算，∀<a, b>,<x, y>∈S,<a, b>*<x, y>=<, >, 则*运算的幺元是<1,0>。

∀<a, b>∈S, 若a≠0，则<a, b>的逆元是<1>。

书P123定义２.在个体域D 中，公式)x (xG ∀的真值为假当且仅当某个G(x)的真值为假，公式)x (xG ∃的真值为假，当且仅当所有G(x)的真值都为假。

３.给定个体域为整数域，若F （x ）：表示x 是偶数，G （x ）：表示x 是奇数；那么，)x (G )x ()x (F )x (∃∧∃是一个 永真式 ；而))x (G )x (F )(x (∧∃是一个 永假式 。

４.设{}{}===)R (r ,c ,b ,b ,a R A ,c ,b ,a A 则上的二元关系　{<>,<>,<>,<>,<>,<>} ；s(R)= {<>,<>,<>,<>} 。

书P89、P85.自反闭包：r(R) = R U R 0={<>,<>} U {<>,<>,<>,<>} ={<>,<>,<>,<>,<>,<>}对称闭包：s(R) = R U R -1 = {<>,<>} U {<>,<>} = {<>,<>,<>,<>}传递闭包：t(R) = 2 3U……５. 设{1,2,3}{}，则从X 到Y 的不同的函数共有8个.书P96，B上A的概念：设Ａ、Ｂ为集合，所有从Ａ到Ｂ的函数构成集合ＢA，读作“B上A”如果= m，= n，m、n不全是0，则=即，若题中给出集合A有m个元素，B有n个元素，可直接用计算出A到B的函数个数。

本题中为23 = 8６.设,,G是群*∈，则（1）-1= a ，（*）-1= 1 * 1。

书P139公式7. 设{1，2，3}，f：X→X，g：X→X，{<1, 2>,<2,3>,<3,1>},{<1,2>,<2,3>,<3,3>}，则 {<1,3>,<2,1>,<3,1>}， {<1,3>,<2,3>,<3,2>}。

书P82-83合成： = {<>∧}需要说明的是，这里的合成 是左复合，即G先作用，然后将F复合到G上。

之前的答案“有误”，因为采用了右复合。

这两种合成定义所计算的合成结果是不相等的，但两个定义都是合理的，只要在体系内部采用同样的定义就可以了。

总之，在咱们的离散里牢记左复合。

三、计算题（每题9分，共36分）1.设集合A＝{1, 2, 3,4,5}，A上的关系R＝{<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}(1)画出R的关系图；(2)问R具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性书P87表格，根据关系图可直接判断性质……(3)给出R的传递闭包。

{<1, 1>,<1, 2>,<2, 2>,<3, 2>,<3, 3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R2 = = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}R3 = R2 R = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}3 / 6……所以，t(R) = {<1, 1>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,<3,3>,<3,5>,<4,4>,<5,5>}2. 集合{}上的二元运算*的运算表如下，求出它的幺元，零元，及逆元。

* a b c d ea b a c c cb a bcd ec c c c c cd e d c b ae d e c d b幺元：b零元：c逆元：1 1 , 1 1书P123定义3．求合式公式→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。

A = P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))= P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))= P→((┐P ∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))= P→(Q∧P)= ┐P∨(Q∧P)= (┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)= (∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)= (┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)= m0∨m1∨m3成真赋值为00，01，114．求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数，也不是完全平方数？4 / 65 /6完全平方数的个数：10002 =1000000，所以有1000个（即1到1000）完全立方数的个数：1003 =1000000，所以有100个（即1到100）既是完全平方数又是完全立方数的重复部分：106 =1000000，所以有10个（即16到106） 所以既不是完全立方数，也不是完全平方数的整数有：1000000-(1000+100-10) = 998910四、证明题（每题8分，共24分）1．若公司拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过三个月且公司经理辞职。

公司拒绝增加工资，罢工又刚刚开始。

罢工是否能停止？（给出相应推理的证明过程）2．给出关系不满足对称性的条件并证明。

∃<>∈R ∧<>∉R⇔∃<>∈R ∧<>∉R⇔┐∀(<>∈R ∧<>∈R )3．如果关系R 和S 为X 上的等价关系，证明：R ∩S 也是X 上的等价关系。

(1)自反设∀x ∈X 【推<>∈R∩S 】∵R 和S 为X 上的等价关系∴R 和S 均为X 上的自反关系∵x ∈X∴<>∈R, <>∈S∴<>∈R ∩S∴R∩S 在X 上是自反的(2)对称设∀<>∈R∩S 【推<>∈R∩S 】∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵R 和S 为X 上的等价关系∴R 和S 均为X 上的对称关系∴<>∈R,<>∈S∴<>∈R∩S∵此时<>∈R∩S∴R∩S在X上是对称的【<>∈R∩S时，必有<>∈R∩S】(3)传递设∀<>∈R∩S，∀<>∈R∩S【推<>∈R∩S】∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵<>∈R∩S∴<>∈R,<>∈S∵R和S为X上的等价关系∴R和S均为X上的传递关系∴<>∈R,<>∈S∴<>∈R∩S∵此时<>∈R∩S，<>∈R∩S∴R∩S在X上是传递的【<>∈R∩S，<>∈R∩S时，必有<>∈R∩S】综上所述，R∩S在X上是自反、对称、传递的∴R∩S为X上的等价关系书P90等价关系：自反、对称、传递偏序关系：自反、反对称、传递因此要证明某关系在非空集合上是等价关系或偏序关系，一般需分为三个性质分别证明，同时，题目条件中若给出等价关系或偏序关系，也可分为三部分选择使用。