圆锥曲线定义的应用
一、复习提问：（写成学案的形式由学生填写）
先由学生讨论回答定义中应注意的几个问题及定义的作用
教师总结：
（1）注意将定义中的常数a 2与|F 1F 2|进行比较
（2）注意双曲线定义中的绝对值对轨迹的影响
（3）第一定义给出了圆锥曲线上的点与两焦点间距离的和（或差）的关系；
第二定义是圆锥曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之间进
行转化的依据
一、 思维点拨
1、涉及到圆锥曲线上的点与两焦点问题可考虑利用第一定义解决
2、涉及焦点、准线、离心率及圆锥曲线上的点中的三者，常用第二定义解决
二、 基础练习
1、已知21,F F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x 的两个焦点，A 、B 时过焦点的弦，则2ABF ∆的周长为（ ）
（A ） 2 a (B) 4 a (C) 8 a (D) 2 a + 2 b
2、已知两定点)0,5(1-F ，)0,5(2F ，动点P 满足-||1PF ,2||2a PF =当3=a 和
5=a 时，点P 的轨迹分别为（ ）
（A ）两个双曲线 (B) 两条射线
(C) 双曲线的一支和一条射线 (D) 双曲线的两支
3、P 是双曲线136
642
2=-y x 上一点，21,F F 是它的两个焦点，且,17||1=PF 则=||2PF ____________
4、椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到椭圆右准线的距离为_________，点P 到左右准线的距离比为_________。
评注：（1）第3题学生往往忽视||1PF ≥a c -导致得出错误结论
（2） 第4题可利用第二定义将点P 到左右准线的距离比转化为到相应的
两焦点的距离比
三、 典例解析
例1、相距2000m 的两个哨所A 、B 听到远出传来的炮弹爆炸声。
已知当时声
速是330m/s ，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到的时间相差4s ，
试判断爆炸点P 在什么样的曲线上，并求出曲线方程。
思路分析：（1）什么原因导致在在A 哨所和在B 哨所听到爆炸声的时间不同 ？
（2）应如何理解时间“相差”4s ？
解答：（略）
学生思考：如何改变条件轨迹变为双曲线的一支？
评注：1、有关动点与两定点的距离和（或差）为定值的轨迹问题，应利用定
义法求轨迹，并注意将定值与两定点间的距离进行比较
2、求轨迹的题目中若没有建系，则应建系设点，写出对应的轨迹方程，
若轨迹为双曲线则更应注意绝对值对轨迹的影响
练习1、在平面直角坐标系中，已知三角形ABC 中BC 边长为4，且三边AC 、
BC 、AB 长依次成等差数列，求顶点A 的轨迹方程。
思考：若增加条件∣AC ∣>∣BC ∣>∣AB ∣顶点A 的轨迹方程会如何改变 ？
练习2、已知定圆9)3(:,1)3(:222221=++=+-y x C y x C ，动圆C 与C 1、C 2
都相内切，求动圆圆心C 的轨迹方程。
思考：若将条件改为与C 2相切，动圆圆心C 的轨迹方程回如何改变 ？
例2：（1）已知F 是双曲线127
92
2=-y x 的右焦点，点M 是双曲线右支上的动点，点A 的坐标为（
3,2
11），求||21||MF MA +的最小值为及对应的点M 的坐标。
（2）已知F 是抛物线281x y =
的焦点，点M 是抛物线上的动点，点P 的坐标为)3,2(-，求||||MF MA +的最小值及对应的点M 的坐标
思路分析：（1）
||21MF 中的2
1有何特殊意义？ （2）利用双曲线第二定义||21MF 可转化为什么？ （3）如何利用平面几何的知识求解转化后的距离最小值？
解答：（略） 评注：求形如||1||MF e
MA +的最小值问题，应利用圆锥曲线的第二定义将||1MF e
转化为点M 到相应的准线的距离，使问题回归为平面几何中求最大（小）值的基本模式再进行求解
练习1、已知F 是椭圆17
162
2=+y x 的右焦点，点M 是该椭圆上的动点，点A(2,1)为椭圆内一点，
||2||MF MA +的最小值为___________, 对应的点M 的坐标为__________，
2、若点A 的坐标为（3，2），F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 是该抛物线
的动点，则||||MF MA +的最小值为___________,对应的点M 的坐标为
__________
例3、求证：以抛物线px y 22=的焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。
思路分析：（1）如何判断或证明圆与直线的位置？
（2）焦点弦的构成有何特点？
（3）如何将抛物线上的点到准线的距离和与弦长（直径）相联系？
解答：（略）
评注：（1）圆心到直线的距离与圆的半径进行比较是证明和判断圆与直线位置关
系的关键
（2）焦点弦是由两个焦半径构成的
（3）利用定义将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离
变式练习、求证：以抛物线px y 22=的任意一条焦半径为直径的圆与y 轴相切。
练习、1、以双曲线的焦点弦AB 为直径的圆与双曲线相应准线的位置关系是
2、以椭圆的焦点弦AB 为直径的圆与椭圆相应准线的位置关系是
拓展提高：
1、椭圆)0(122>>=+n m n y m x 和双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 有相同的焦点21,F F ，P 是两曲线的一个焦点，则||1PF .||2PF = 或
2、在三角形ABC 中已知∣BC ∣= 8，A 为动点，且满足A B C sin 2
1sin sin =-，求动点A 的轨迹方程。
3、已知椭圆C ：13
42
2=+y x ，F 1，F 2分别为其左右焦点，问能否在椭圆位于y 轴左侧的部分上找到一点M ，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的
比例中项？若不存在请说明理由，若存在则求出该点的坐标。