2018学年第二学期浙江七彩阳光联盟第三次联考高三年级 数学参考答案1-5 CDBAD 6-10 BCCAD11.2-,－i 12.－1,3 13.1或2,214.35 15.1,[0,1) 16.5318.（Ⅰ）由已知得tan 2α= ………2分所以，22222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin cos sin 1tan 5ααααααααα--=-===-++………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知22tan 4tan 21tan 3ααα==--， ………10分而41tan 2tan(2)3tan tan[2(2)]741tan 2tan(2)1()13ααββααβααβ----=--===+-+-⨯.……14分19. （Ⅰ）∵ BC ⊥平面PCD ， ∴ BC PD ⊥，又 PD AB ⊥，∴ PD ⊥平面ABCD ， ………3分∴ PD DC ⊥，∴ PDC ∆是直角三角形，由已知1PC CD ==，∴ 1PD =. ………6分 （Ⅱ）解法1：∵ BC ⊥平面PCD ，∴ BC CD ⊥，BC PC ⊥在四边形ABCD 中，由于//AB CD，2,1AB BC CD ===，可以求得AD = ………7分 设D 到平面PAB 的距离为d ，直线AD 与平面PAB 所成的角为θ，则sin d AD θ==， ………9分 ∵ //AB CD∴ //CD 平面PAB ，∴ C 到平面PAB 的距离也为d ， 在三棱锥B PAC -中，P ABC C PAB V V --=，A∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ PD AD ⊥ ∴ 2PA =， 又BC PC BC PC ==⊥，∴ 2PB =， ∴111123323P ABC ABC V PD S -∆=⨯=⨯⨯⨯=， ………12分13C PAB PAB V dS -∆==， ………14分 ∴d =， ∴sin 3d AD θ===， 即直线AD 与平面PAB所成角的正弦值为3. ………15分 解法2：由（Ⅰ）知PD ⊥平面ABCD ，过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，则PD DE ⊥， 如图以D 为原点，DC 、DP 、DE 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. ………8分则(1,0,0),(1,0,(1,0,(0,1,0)C A B P -，则(2,0,0),(1,1,2),(1,0,AB AP DA ===-， 设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,AB n AP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,0,x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩令1z =，可得(0,2,1)n =-， ………12分 设直线AD 与平面PAB 所成的角为θ， 则2sin ||3||||n DA n DA θ⋅==. ………15分20. （Ⅰ）设{}n a 的首项为1a(1)2n d -=， 所以221(1)(4n n S a d n -=++- ………2分A所以2222111(1)(2)((44n n n n n a S S a d n a d n ---=-=++-----222233424n d d n d -=+=+-所以221234d d d a d⎧=⎪⎪-=-121d a =⎧⇒⎨=⎩,或100d a =⎧⎨=⎩（舍去） ………5分 所以2,21n n S n a n ==-. ………7分（Ⅱ）由2nn n a b =得212n n n b -=， ………8分 所以 23135212222n nn T -=++++， ① 231113232122222n n n n n T +--=++++， ② ………10分 ①-②得，23111111212(+++)222222n n n n T +-=+- 2111112111++22222n n n -+-=++-- 112112(1)222n n n +-=---， ………13分 ∴ 21213322n n nn T --=--<. ………15分 21.（Ⅰ）设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则121200,22x x y yx y ++==，………2分 ∴ 121212042y y k x x y y y -===-+， ………4分而 004MP y k x =-， ………5分由1MP k k ⋅=-得042x -=-，即02x =. ………6分 （Ⅱ）设直线0:()2AB x m y y =-+即0:2AB x my my =-+，与抛物线24y x =联立得204480y my my -+-=，则121204,48y y m y y my +==-， ………8分所以12|||AB y y =-= 而P 到直线AB 的距离为d =所以，01||2|2|2PAB S d AB my ∆==+………11分 又由于012y m k ==，所以222(24(PAB S m m ∆=+=+ ………12分t =，则0t >且222m t =-，所以234(3)124PAB S t t t t ∆=-=-，令3()124(0)g t t t t =->，则2()121212(1)(1)g t t t t '=-=-+，当01t <<，()0g t '>，当1t >时，()0g t '<，故3()124(1)8g t t t g =-≤=，即PAB ∆面积的最大值为8. ………15分 22.（Ⅰ）易知()f x 的定义域为(0,)+∞，由题意知211()02f x x a x'=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即2112a x x≤+在(0,)+∞上恒成立， ………2分 令211(),02g x x x x=+>， 则32211()x g x x x x -'=-=， ………4分所以，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以，当1x =时，()g x 有最小值3(1)2g =， 所以，32a ≤. ………6分 （Ⅱ）因为211()2f x x a x'=-+， 由()0f x '=知，2112a x x =+，设211(),02g x x x x=+>， 由（Ⅰ）12()()g x g x =，且()g x 在(1,)+∞上单调递增，()g x 在(0,1)上单调递减， 所以，1201x x <<<，令()(1)(1),(1,0)h x g x g x x =+--∈-， ………8分 则2211()(1)(1)11(1)(1)h x g x g x x x x x '''=++-=+-+--+- 2222222222(1)(1)22(1)(1)(1)(1)x x xx x x x +--+=-=⨯+-+-2=所以()h x 在(1,0)-上单调递减，且(0)0h =， ………10分 所以，当(1,0)x ∈-时，()(0)0h x h >=， 又1(0,1)x ∈，∴11(1,0)x -∈-∴ 1(1)0h x ->，即11()(2)0g x g x -->所以，121()()(2)g x g x g x =>-， ………13分 因为，1121,21,1x x x <->>,且()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以，212x x >-即122x x +>. ………15分方法2：因为211()2f x x a x'=-+， 由()0f x '=知，2112a x x =+，设211(),02g x x x x=+>， 由（Ⅰ）12()()g x g x =，且()g x 在(1,)+∞上单调递增，()g x 在(0,1)上单调递减， 所以，1201x x <<<，令()()(2),(0,1)h x g x g x x =--∈， ………8分 则2211()()(2)2(2)h x g x g x x x x x '''=+-=-+--- 22222222442(1)[(1)3]2(2)(2)x x x x x x x x -+---=-=--， 所以，()h x 在(0,1)x ∈上单调递减，又(1)0h =，故()(1)0h x h >=恒成立， ………10分 所以，()(2)g x g x >-对(0,1)x ∈上恒成立， 因为101x <<，所以11()(2)g x g x >-，即21()(2)g x g x >-， ………13分 又211,20x x >->且()g x 在(1,)+∞上单调递增，所以212x x >-即122x x +>. ………15分。