1.27 当粒子处在三维立方势箱中(a=b<c),试求能量最低的前3个能级简并度。

解：
三维势箱中粒子能量的表达式为 当a=b<c 时， ①当1x y z n n n ===时体系处于基态 （非简并态） ②当1,2x y z n n n ===时体系处于第一激发态 （非简并态） ③ i. 2,1;2,1x y z y x z n n n n n n ======
（二重简并态） ii. 1,3x y z n n n ===
（非简并态） 当 即
时为i 情况； 当
即
时为ii 情况； 当
即 时体系为三重简并。

1.28. 写出一个被束缚在半径为a 的圆周上运动的质量为m 的粒子的薛定锷方程，求其解。

解：
22
22222
111[()(sin )]()2sin sin r V r E m r r r r r θψψψθθθθφ∂∂∂∂∂-+++=∂∂∂∂∂ 其中(,,)()()()r R r ψθφθφ=ΘΦ
()0;;2V r r a πθ===
∴()R r ，()θΘ均为实数函数 ∴ 22222E ma ψψφ∂-=∂ 即222220ma E ψψφ
∂+=∂ 上式即为满足题意的薛定锷方程。

上式属于二阶齐次线性微分方程，其特解为：(cos sin )i n Ae A n i n φψφφ±==±
2222222()8y x z x y z n h n n E E E E m a b c =++=++22222(2())8x z h a E n n ma c =+22
02248h h E ma mc =+(1)a c <2212242h h E ma mc =+22
222588h h E ma mc
=+22222
94h h E ma '=+22E E '<1a <<22E E '>c <22E E '=a c =2
2()2H T V V r m =+=-
∇+2222222222222222
2111cot sin x y z r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂
通过波函数归一化可求得
A 值，即：
222222000()21i n i n i n i n d A
e e d
A e e d A π
ππφφφφφφφπ±±±**ΦΦ====
⎰⎰⎰
故：A =
由边界条件知：()(2)ψφψφπ=+
sin )(2)sin (2)]n i n n i
n φφφπφπ±=+±+
∴必须有0,1,2,n =
，即n 必须为整数。

综上，方程的解为：i n φψ±= (0,1,2)n =±± 又
2n = ∴222
2n E ma = (0,1,2)n =±± 1.30 一个氧分子封闭在一个盒子里，按一维势阱计算（势阱宽度10cm ）
（1）氧分子的基态能量是多少
（2）设该分子T ＝300K 时平均热运动能量等于3/2kT ，相应量子数n 为多少？
(3) 第n 激发态与第n+1激发态能量相差多少？
解：⑴一维势阱的能量表达式为 其中： 当 时，体系处于基态，能量为
⑵ T ＝
故 (3)
1.32 若用二维箱中粒子模型, 将蒽(C 14H 10)的π电子限制在长700pm, 宽400pm 的长方箱中,计算基态跃迁到第一激发态的波长.
解： 二维势箱中粒子能量的表达式为： 对于蒽分子共有14个π电子，基态要占据能量最低的7个轨道，那么基态跃迁到第一
激发态即为轨道78→的跃迁。

22222222224()[()]887
y x x y x y n h n h E E E n n m a b mb =+=+=+22
28n h E ml
=260.1,32 5.352510p l m m m kg -===⨯1n =401.02510E J -=⨯23213 1.5 1.38110300 6.2145102E kT J --==⨯⨯⨯=⨯97.78510n ==⨯2222
3022[(1)](21) 1.61088n n h n h E J ml ml -+-+∆===⨯
根据粒子能量表达式，可以得到蒽分子在二维箱中，能级图为：
22109392c h h mb
λ=即
22222872244109[()51()94]877392h h E E E mb mb ∆=-=⨯+-⨯-=c E h λ∆
=∴2311028
7343923929.1110(410) 2.99810 2.3710237109109 6.62610mb c m nm h λ----⨯⨯⨯⨯⨯⨯===⨯=⨯⨯。