必修5 第一章 解三角形1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ．（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。

2、已知两角和一边，求其余的量。

）⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。

（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。

具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 有无交点：当无交点则B 无解、当有一个交点则B 有一解、当有两个交点则B法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况：当a<bsinA ，则B 无解 当bsinA<a ≤b,则B 有两解当a=bsinA 或a>b 时，B 有一解注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。

3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。

2、已知三边求角)6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 222则90C =o；②若222a b c +>，则90C <o ；③若222a b c +<，则90C >o． 正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B,但不能到达，C 、D 两点，并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O ,∠ADC=30O , ∠ADB=45O (A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A 、B 之间的距离。

本题解答过程略附：三角形的五个“心”； 重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点第二章 数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、有穷数列：项数有限的数列．4、无穷数列：项数无限的数列．5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a n+1>a n ）．6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a n+1<a n ）．7、常数列：各项相等的数列（即：a n+1=a n ）．8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．11、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．符号表示:1n n a a d +-=。

注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：① ),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数12、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项． 13、若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11naa n d =+-．14、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③11n a a d n -=-；④11n a a n d-=+；⑤n m a a d n m -=-．15、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{}n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2np q a a a =+．16、等差数列的前n 项和的公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+．③12n n s a a a =+++L17、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1nn S a S a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）． 18、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比．符号表示：1n na q a +=（注：①等比数列中不会出现值为0的项；②同号位上的值同号）注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112-+⋅=n n na a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )③n n cq a =(q c ,为非零常数).④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1φx ）成等比数列.19、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．（注：由2G ab =不能得出a ，G ，b 成等比，由a ，G ，b ⇒2G ab =）20、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．21、通项公式的变形：①n m n m a a q -=；②()11n na a q --=；③11n na q a -=；④n m n m a q a -=．22、若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2np q a a a =⋅．23、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：①()()()11111111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩．②12n n s a a a =+++L24、对任意的数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn[注]： ①()()d a nd d n a a n -+=-+=111（d 可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d 不为0，则是等差数列充分条件）.②等差{n a }前n 项和n d a n d Bn An S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛=+=22122 →2d可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若d 为零，则是等差数列的充分条件；若d 不为零，则是等差数列的充分条件.③非零．．常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）附：几种常见的数列的思想方法：1、等差数列的前n 项和为n S ，在0πd 时，有最大值. 如何确定使n S 取最大值时的n 值，有两种方法： 一是求使0,01π+≥n n a a ，成立的n 值；二是由n da n d S n )2(212-+=利用二次函数的性质求n 的值.数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下： 数列 通项公式对应函数等差数列（时为一次函数）等比数列（指数型函数）数列 前n 项和公式对应函数等差数列（时为二次函数）等比数列（指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n 项和看成是关于n 的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。

例题：1、等差数列}{n a 中n a m a m n ==,，)(m n ≠则=+m n a .分析：因为}{n a 是等差数列，所以n a 是关于n 的一次函数，一次函数图像是一条直线，则（n,m ）,(m,n),),(m n a m n ++三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即mm n n a n m m n m n -+-=--+)(，得0=+m n a （图像如上），这里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。

例题：2、等差数列}{n a 中，251=a ，前n 项和为n S ，若179S S =，n 为何值时n S 最大？分析：等差数列前n 项和n S 可以看成关于n 的二次函数n d a n d S n )2(212-+=是抛物线n da n d n f )2(2)(12-+=上的离散点，根据题意，179S S =， 则因为欲求n S 最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为132179=+=x ，即当13=n 时，n S 最大。

例题：3递增数列}{n a ，对任意正整数n ，n n a n λ+=2恒成立，求λ分析：1)构造一次函数，由数列}{n a 递增得到：01>-+n n a a 对于一切恒成立，即恒成立，所以)12(+->n λ对一切恒成立，设)12()(+-=n n f ，则只需求出)(n f 的最大值即可，显然)(n f 有最大值3)1(-=f ，所以λ的取值范围是：3->λ。

2)构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。

从对应图像上看，对称轴在的左侧，也可以（如图），因为此时B 点比A 点高。

于是，，得2、如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n 项和可依照等比数列前n 项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：, (2)1)12,...(413,211n n -⋅3、两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差21d d ，的最小公倍数.4. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(11---n n n n a a a a 为同一常数。