内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上）1．设全集为实数集R，M={x|x∈R|x≤}，N={1，2，3，4}，则∁R M∩N=（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i是虚数单位，满足i2=﹣1），则复数z的共轭复数是（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于（）A．B．C．D．±25．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．6．如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则g（x）的图象可能是由f（x）的图象（）A．向右平移个单位得到B．向右平移个单位得到C．向右平移个单位得到D．向右平移个单位得到7．一个棱锥的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．24 C．30 D．328．在△ABC中，BC=1，ccosA+acosC=2bcosB，△ABC的面积S=，则AC等于（）A． B．4 C．3 D．9．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T10．不等式组表示的平面区域为D，若对数函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，3]B．（0，1）∪（1，3] C．[3，+∞）D．（，1）∪[3，+∞）11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=c2（c=）交A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，y=f′（x）是y=f（x）的导数，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立，已知a=f（log32）log32，b=（log52）log52，c=2f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b本题包括必考题和选考题两部分。

第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边在y=x上，则tan2θ=______．14．若向量，满足||=1，||=，且⊥（+），则与的夹角为______．15．若（3x﹣）n展开式中各项系数之和为16，则展开式中含x2项的系数为______．16．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是ABCD正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD．已知AB=1，E为AB上一个动点，当D1E+CE取得最小值时，三棱锥D1﹣ADE的外接球表面积为______．三、解答题17．在数列{a n}中，a1=3，a n=2a n+n﹣2（n≥2，且n∈N*）﹣1（1）求a2，a3的值；（2）证明：数列{a n+n}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（3）求数列{a n}的前n项和S n．18．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．19．为了传承经典，促进课外阅读，某校从高中年级和初中年级各随机抽取100名同学进行有关“四大名著”常识了解的竞赛．图1和图2分别是高中年级参加竞赛的学生成绩按[40，50），[50，60），[60，70），[70，80）分组，得到频率分布直方图（1）若初中年级成绩在[70，80）之间的学生恰有5名女同学，现从成绩在该组的学生任选两名同学，求其中至少有一名女同学的概率（2）完成下列2×2列表，并回答是否有99%的把握认为“两个学段的学生对“四大名著”的了解有差异”？成绩小于60分的人数成绩不小于60分人数合计初中年级高中年级合计附：K2=0.10 0.05 0.010P（K2≥k0）k0 2.706 3.841 6.63520．已知圆P：（x﹣1）2+y2=8，圆心为C的动圆过点M（﹣1，0）且与圆P相切．（1）求动圆圆心的轨迹方程；（2）若直线y=kx+m与圆心为C的轨迹相交于A，B两点，且k OA•k OB=﹣，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．（O为坐标原点）21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）的单调性（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两条切线的斜率互为倒数，证明＜a ＜或a=0．请考生从22、23、24三题中任选一题作答。

注意只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．选做题：平面几何已知在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E．求证：（1）DE⊥AC；（2）BD2=CE•CA．23．过点P（﹣1，0）作倾斜角为a直线与曲线相交于M、N两点（1）写出直线MN的参数方程；（2）求PM•PN的最小值．24．已知a＞0，b＞0，c＞0，若函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为2．（1）求a+b+c的值；（2）求++的最小值．内蒙古呼和浩特市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.把正确选项的代号填在答题卡上）1．设全集为实数集R，M={x|x∈R|x≤}，N={1，2，3，4}，则∁R M∩N=（）A．{4}B．{3，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∁R M═{x|x∈R|x＞}，∵N={1，2，3，4}，∴∁R M∩N={3，4}，故选：B2．已知复数z满足（3+i）z=10i（其中i是虚数单位，满足i2=﹣1），则复数z的共轭复数是（）A．﹣1+3i B．1﹣3i C．1+3i D．﹣1﹣3i【考点】复数相等的充要条件．【分析】变形并化简复数可得z=1+3i，可得共轭复数．【解答】解：∵（3+i）z=10i，∴z====1+3i，∴复数z的共轭复数是1﹣3i故选：B3．已知a，b为实数，则“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若a=﹣4，b=1，满足a+b≤2，但a≤1且b≤1不成立，即充分性不成立，若a≤1且b≤1，则a+b≤2成立，即必要性不成立，故“a+b≤2”是“a≤1且b≤1”的必要不充分条件，故选：B．4．设直线y=kx与椭圆相交于A、B两点，分别过A、B向x轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k等于（）A．B．C．D．±2【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】将直线方程与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2=12．分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，说明A，B的横坐标是±1，即方程（3+4k2）x2=12的两个根为±1，代入求出k的值．【解答】解：将直线与椭圆方程联立，，化简整理得（3+4k2）x2=12（*）因为分别过A、B向x轴作垂线，垂足恰为椭圆的两个焦点，故方程的两个根为±1．代入方程（*），得k=故选A．5．如图，长方形的四个顶点为O（0，0），A（4，0），B（4，2），C（0，2），曲线经过点B，现将一质点随机投入长方形OABC中，则质点落在图中阴影区域的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出图中阴影部分的面积，并将其与长方形面积一块代入几何概型的计算公式进行求解．=4×2=8，【解答】解：由已知易得：S长方形=∫04（）dx===，S阴影故质点落在图中阴影区域的概率P==，故选A．6．如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则g（x）的图象可能是由f（x）的图象（）A．向右平移个单位得到B．向右平移个单位得到C．向右平移个单位得到D．向右平移个单位得到【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的图象的对称性求得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得由f（x）=sin2x的图象如何平移得到g（x）的图象即可．【解答】解：由函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，可得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．设函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有﹣m=﹣，解得m=．故把函数f（x）=sin2x的图象向右平移﹣=个单位，即可得到函数g（x）的图象．故选C．7．一个棱锥的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．16 B．24 C．30 D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，其中一个侧面垂直于底面．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，其中一个侧面垂直于底面．∴V==24．故选：B．8．在△ABC中，BC=1，ccosA+acosC=2bcosB，△ABC的面积S=，则AC等于（）A． B．4 C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B，利用三角形面积公式可求AB，根据余弦定理即可求值得解．【解答】解：2bcosB=ccosA+acosC，由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，∴2sinBcosB=sinB，又sinB≠0，∴cosB=，∴B=．∵△ABC的面积S=AB•BC•sinB=AB×1×=，解得：AB=4，∴AC===．故选：A．9．某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…a N，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）A．A＞0，V=S﹣T B．A＜0，V=S﹣T C．A＞0，V=S+T D．A＜0，V=S+T【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．【解答】解析：月总收入为S，支出T为负数，因此A＞0时应累加到月收入S，故判断框内填：A＞0又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，但月支出用负数表示因此月盈利V=S+T故处理框中应填：V=S+T故选A＞0，V=S+T10．不等式组表示的平面区域为D，若对数函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）A．[1，3]B．（0，1）∪（1，3] C．[3，+∞）D．（，1）∪[3，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用函数y=log a x（a＞0且a≠1）的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若0＜a＜1，则由图象可知对数函数的图象一定与区域有交点．若a＞1，当对数函数图象经过点A时，满足条件，此时，解得，即A（9，2），此时log a9=2，解得a=3，∴当1＜a≤3时，也满足条件．∴实数a的取值范围是（0，1）∪（1，3]，故选：B．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=c2（c=）交A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立双曲线方程和圆方程，求得交点，由于四边形ABCD是正方形，则有x2=y2，即为c2﹣=，运用双曲线的a，b，c的关系和渐近线方程，即可得到结论．【解答】解：联立双曲线方程﹣=1和圆x2+y2=c2，解得，x2=b2﹣=，y2=c2﹣，由于四边形ABCD是正方形，则有x2=y2，即为c2﹣=，即c4=2b4，即c2=a2+b2=b2，即有a=b，双曲线的渐近线方程为y=±，即为y=±x．故选：D．12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，y=f′（x）是y=f（x）的导数，且当x∈（﹣∞，0）时，f （x）+xf′（x）＜0成立，已知a=f（log32）log32，b=（log52）log52，c=2f（2），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞c＞b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，可得函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），利用已知当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，可得函数g（x）在x ∈（﹣∞，0）单调递减，进而得到函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．再根据log22=1＞log32＞log52＞0．即可得到a，b，c的大小．【解答】解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于直线x=1对称，∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，是偶函数．令g（x）=xf（x），则g（x）为奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0）单调递减，因此函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵log22=1＞log32＞log52＞0．∴g（2）＜g（log32）＞g（log52），∴c＜a＜b．故选：B．本题包括必考题和选考题两部分。