象转轴
对称中心
上一内容
旋转2π/n，继之对垂直于旋转轴的平面进行反映
相对于对称中心的反演
回主目录
下一内容
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素 （1）旋转轴与旋转操作 分子中若存在一条轴线，绕此轴旋
转一定角度能使分子复原，就称此轴为旋转轴, 符号为Cn . 旋转 可以实际进行，为真操作；相应地，旋转轴也称为真轴.
x' x cos sin 0 x ' y C () y sin cos 0 y z' z 0 0 1 z
上一内容 下一内容 回主目录
绕主轴旋转操作示意图
向量(x,y)的极角α 向量(x’,y’)的极角
返回
2013-8-11

对称操作的矩阵表示 对于氨分子，n=3，旋转角为120°
1 / 2 3 / 2 0 1 C3 C3 (120 ) ~ 3 / 2 1 / 2 0 0 0 1 1/ 2 2 C3 C3 (240 ) ~ 3 / 2 0 3 / 2 0 1 / 2 0 0 1
上一内容
a b c
下一内容
c a b
I
2 C3 1 C3
I
2 C3
I
2013-8-11
返回
对称操作的矩阵表示 1. 矩阵表示 任何一个对称操作都可以用矩阵来表示。 选定一个函数向量，它以一组函数为分量，经对称操作 作用后，由各分量的变换性质来确定其对应矩阵的形式 考虑：直角坐标系空间向量变换，对称操作为A （x，y，z）-------------------（x’，y’，z’） 两组坐标存在如下的变换关系 ：
上一内容
下一内容
返回
2013-8-11
对称操作的矩阵表示 现对氨分子的对称操作做说明。 (1) 恒等操作 对向量不产生任何影响,对应于单位矩阵
x' x 1 0 0 x ' y I y 0 1 0 y z' z 0 1 0 z
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
⑧强相互作用的SU（2）同位旋对称性 相同自旋粒子的内禀对称性，是电荷的自由度中子和质 子看成同一粒子的两个不同同位旋状态。
⑨超对称性 玻色子和费米子之间的对称性，它已在10-33~1030cm范围内的 物理学中产生影响。 在超对称物理中，所有粒子都有它的超对称伙伴，超伙伴与原 来的粒子有完全相同的量子数，如：颜色、电荷、重子数、轻子 数……等。 玻色子的超伙伴是费米子，费米子的超伙伴是玻色子。
(2)旋转操作
n旋转轴可衍生出n-1个旋转操作,记为
k对应旋转角度 (360 / n) k
n Cn I
k Cn (k 1,2,n 1)
i i i CnCnj Cnj Cn Cn j , 存在关系:
满足可交换性与循环(周期)性
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2013-8-11
H2O2中的C2
(旋转轴上的椭圆形为C2的图形符号。类似地，正三角形、正方 形、正六边形分别是C3、C4和C6的图形符号）
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素
2）镜面与反映操作 分子中若存在一个
平面，将分子两半部互
相反映而能使分子复原，
则该平面就是镜面σ，这
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2013-8-11
群论简介
一、历史：
群论源于十九世纪初，由高斯、柯栖、阿贝尔、哈密顿、伽罗 瓦、西勒维斯特等人初创。 二十世纪初，相对论和量子力学诞生，随后，群论被引进物理 学，成为物理学的一个重要研究工具。
二、群论与对称性
群论是研究系统对称性质的数学工具。 中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹 。 河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳”。 古埃及：金字塔。
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2013-8-11
中国古代：殷商时期的“司母戊大方鼎”上的蟠龙纹和饕餮纹。
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
中国古代：河姆渡象牙雕刻件“双鸟朝阳” 。
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
古埃及：金字塔。
古夫王金字塔
上一内容 下一内容
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素
对称 元素 对 称 操 作 符号 I n重轴 Cn
恒等操作 旋转角度2π/n，n最高的称为主轴。若有垂直主轴的二 重轴，对应的操作表示为C’2。
意
义
σv
代表包含主轴的平面反映
映面

Sn
i
σd 代表垂直主轴的平面反映 σh 代表包含主轴且平分一对垂直于主轴的二重轴之 间 夹角（或两个σv之间的夹角）的平面反映
分子对称性与群论基础
12.1 对称操作与对称元素
12.2 对称操作的矩阵表示
12.3 群的定义与性质
12.4 群表示理论
12.5 群论应用简介
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
回主目录
返回
2013-8-11
三、群论及化学
1．物理学中的对称性 ①空间坐标平移不变性（系统拉氏函数L不变） 动量守恒， 雅科比C.G.J.Jacobi（1884） ②L在空间转动下对称 角动量守恒，雅科比（1884） ③L在时间平移下对称 能量守恒，J.R.Schü tz（1897） r r ）对称 ④空间反演（ 宇称守恒 ⑤晶体平移对称性（平移晶格常数 a的整数信） Bloch定理 ⑥全同粒子交换对称性 玻色子，费米子 ⑦标度变换对称性 临界现象，非线性物理，生命起源……
旋转是真操作, 其它对称操作为虚操作. 两个或多 个对称操 作的结果， 等效于某 个对称操 作.
例如,先作二 重旋转，再 对垂直于该 轴的镜面作 反映，等于 对轴与镜面 的交点作反 演.
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素 3. 对称操作的“乘法” NH3分子的全部对称操作可记为： 1 2 C3V : {I , C3 , C3 , a , b , c } 连续的对称操作的总结果等价于另一单个操作的效 果，适合于“乘法”表示之，例如：
x ax by cz y ' dx ey fz z ' gx hy iz
'
x' 矩阵形式为： ' y z'
回主目录
x a A y d z g
c e h
c x f y i z

上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
2．化学的根本问题：对称性？ 例： ①晶格平移不变性（周期为a） 能带理论 各种晶体、材料：导体、半导体、绝缘体等。 ②全同粒子交换对称性 玻色子、费米子、量子统计…… ③标度不变性 细胞繁殖、生命起源。 ④宇宙的时空平移不变性？ “人类”的起源和未来 …………
甲 烷 中 的 映 轴 S4 与 旋 转 反 映 操 作
注意: C4和与之垂直的σ都不独立存在
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素
环 辛 四 烯 衍 生 物 中 的 S4
上一内容 下一内容 回主目录
分子中心是S4 的图形符号
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素
对称操作的矩阵表示 将z轴选定为旋转轴, 向量的z分量不受影响.考虑(x,y)变化
x r cos y r sin x ' r cos( ) x cos y sin y ' r sin( ) x sin y cos
矩阵的一般表示：
种操作就是反映.
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素
试找出分子中的镜面
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素
（3) 对称中心与反演操作 分子中若存在
一点,将每个原子
通过这一点引连线
并延长到反方向等 距离处而使分子复
原,这一点就是对
上一内容
下一内容
回主目录
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素 1.几何意义 分子的几何构型可用对称图 形来表示。能使一个图形复原的 操作称为对称操作，全部对称操 作的集合构成一个“群”。不改 变图形中任何两点的距离而能使 图形复原. 对称元素 对称操作的实现 必须借助于一定的几何实体，如 三重轴、映面等，称为对称元素 。对称元素与对称操作总是互相 依存，但并非一一对应。
称中心 i,这种操作
就是反演.
上一内容 下一内容 回主目录
返回
2013-8-11
对称操作与对称元素 (4) 映轴与旋转反映操作 反轴与旋转反演操作
旋转反映或旋转反演都是复合操作，相应的对称元素 分别称为映轴Sn和反轴In . 旋转反映(或旋转反演)的两步 操作顺序可以反过来. 这两种复合操作都包含虚操作. 相应地,Sn和In都是虚 轴. 对于Sn，若n等于奇数，则Cn和与之垂直的σ都独立存 在；若n等于偶数，则有Cn/2与Sn共轴，但Cn和与之垂直的 σ并不一定独立存在. 试观察以下分子模型并比较: