2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程
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1.曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点 的极坐标中 至少有一个满足方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐 标 适合方程φ(ρ，θ)＝0的点 都在曲线C上，那么方程 φ(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程.
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2.圆心在极轴上且经过极点的圆的方程 (1)圆经过极点O，圆与极轴的另一个交点是A(2a， 0)，圆的半径是a，圆心坐标是C(a，0) (a>0)，则圆 的极坐标方程是_ρ_＝__2_a_c_o_s__θ_. (2)圆心在A(a，0)，半径为r的圆的极坐标方程为 __ρ_2－__2_a_ρ_c_o_s__θ＋__a_2_－__r_2_＝__0___.
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2π
解
∵点－12，53π和点12，23π是同一点，cos
Hale Waihona Puke 3 2＝cos π3＝12，∴点12，2π3 在曲线 ρ＝cos 2θ上，即点
－12，53π在曲线 ρ＝cos 2θ上. 【反思感悟】 我们容易根据直角坐标系的习惯，当把点
的坐标代入，不满足方程就说点不在曲线上，这是不对的.
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题型二 直线和圆的极坐标方程 求直线和圆的极坐标方程，可以结合图形，找出直 线和圆上的点满足的几何条件，将它用坐标表示， 再通过代数变换进行化简. 【例 2】 求过 A2，π4平行于极轴的直线方程.
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解 如图所示，在直线 l 上任意取点 M(ρ，θ). ∵A2，π4，∴|MH|＝2·sin π4＝ 2， 在 Rt△OMH 中，|MH|＝|OM|sin θ，即 ρsin θ＝ 2， 所以，过 A2，π4平行于极轴的直线方程为 ρsin θ＝ 2.
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【反思感悟】 (1)在直线上任意取一点M，根据已 知条件想办法找到变量ρ、θ之间的关系.我们可以通 过图中的直角三角形来解决. (2)在求曲线方程时，关键是找出曲线上的点满足的 几何条件，将它用坐标表示，再通过代数变换进行 化简.
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2.求出下列直线的极坐标方程. (1)过定点M(ρ0，θ0)，关于极轴的倾角为α； (2)过定点M(ρ0，θ0)，且与直线θ＝θ0垂直.
在这个问题上，两种坐标系是不同的.尽管－12，53π并不
满足ρ＝cos 2θ，但该点依然在曲线上.
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1.A、B 两点相距 12，动点 M 满足|M→A|·|M→B|＝36，求点 M 的轨迹的极坐标方程. 解 以 AB 所在直线为极轴，AB 中点为极点建立极坐标系 (如图所示)，设 M(ρ，θ)，由|M→B|＝ ρ2＋62－2×6ρcos θ ＝ ρ2＋36－12ρcos θ.|M→A|＝ ρ2＋62－2×6ρcos（π－θ） ＝ ρ2＋36＋12ρcos θ.由|M→A|·|M→B|＝36， 得(ρ2＋36)2－144ρ2cos2 θ＝362， 即 ρ4＋72ρ2－144ρ2cos2 θ＝0， 即 ρ2＝72(2cos2 θ－1)＝72cos 2θ.
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【思维导图】
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【知能要点】
1.曲线的极坐标方程. 2.圆的极坐标方程. 3.直线的极坐标方程. 4.两种方程的互化.
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题型一 曲线的极坐标方程 在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 φ(ρ， θ)＝0.如果曲线 C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点 组成的，则称此二元方程 φ(ρ，θ)＝0 为曲线 C 的极坐 标方程.由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因 此曲线的极坐标方程与直角坐标方程也有不同之处. 一条曲线上点的极坐标有多种表示形式，这里要求至 少有一种能满足极坐标方程.有些表示形式可能不满 足方程.
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*4.设定点为 F，定直线为 L，到定点 F 的距离和到一 条定直线 L 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹在如 图所示的极坐标下的极坐标下的方程为(其中|KF| ＝p.|MF|＝ρ，∠BFM＝θ，p 为定值，ρ，θ 为变量) _ρ_＝__e_ρ_c_o_s__θ_＋__e_p_此为圆锥曲线统一的极坐标方程.
解 (1)设 P(ρ，θ)为直线上任意一点(如图)， 且记∠OPM＝∠1，∠OMP＝∠2，则∠1＝α－θ， ∠2＝π－(α－θ0).在△OMP 中应用正弦定理： sinρ∠2＝sinρ∠0 1，即 ρ＝ρ0·ssiinn ∠ ∠12＝ρ0·ssiinn（（αα－－θθ0））. 即直线方程为 ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).
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例如，对极坐标方程 ρ＝θ 点 Mπ4，π4可以表示为 π4，π4＋2π或π4，π4－2π等多种形式，其中只有π4，π4 的形式满足方程，而其他表示形式都不满足方程. 求曲线的极坐标方程就是找出曲线上的动点 P(ρ，θ) 的极径 ρ 和极角 θ 的相互关系.
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【例 1】 判断点－12，53π是否在曲线 ρ＝cos 2θ上？ 分析 在极坐标系内，判断点是否在直线上与在 直角坐标系内是不同的.不能只是简单地将点的坐 标代入，当点的坐标代入不能满足方程，我们还 要找到这个点的其他坐标是否符合曲线方程.
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3.直线的极坐标方程 (1)直线l经过极点，极轴与直线l的夹角是α，则直线l的 极坐标方程为_θ_＝__α_或__θ_＝__α_＋__π_ (ρ∈R).
(2)经过点A(a，0)垂直于极轴的直线的极坐标方程为 _ρ_c_o_s__θ_＝__a_.
(3)经过点A(a，0)倾斜角为α的直线的极坐标方程为 ρsin(α－θ)＝asin α .