n 2
4
4
在 R t O M B 中 ， M B O M s i n ,即 s i n 2
可 以 验 证 ， 点 A 的 坐 标 (2 ,)满 足 上 式 ，
4
故 所 求 直 线 方 程 为 sin 2 A
M(， )
O
B
x
几种特殊的直线的极坐标方程：
1.与极轴垂直且与极轴距离为a的直线的
2
A 、 l1 平 行 l2 C 、 l1 与 l2 重 合
B 、 l1 l2 D 、 l1 和 l2斜 交
5.求过A（-2，3）且斜率为2的直线的极坐
标方程。
***练习***
6.说明下列极坐标方程表示什么曲线并画图.
(1) 5;
(2) 5 ( R);
6
(3) 2sin .
7.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：
程。
解：如图，设点M(, )
M
l 为直线 上异于P的点
连接OM，在 MOP中有
﹚
op
x
a sin() sin()
即
sin ()asin
显然P点也满足上 方程。
探究：过点A(a，0)(a≠0)，且垂直于极轴的直线l
的极坐标方程是什么？
ρM
O θA
x
当a＞0时， ρcosθ＝a；
Mρ θ
AO
x 当a＜0时，ρcosθ＝－a.
探究:直线的极坐标方程
思考1：如图，过极点作射线OM，若从极轴到射线
OM的最小正角为450，则射线OM的极坐标方程是什
么？过极点作射线OM的反向延长线4 ON，则射线ON的
极坐标方程是什么？直线MN的极坐标方程是什么？
射线OM： ；
4
射线ON： 5 ； N
4
M
O 45°
x
和 5
4
4
思考2：若ρ＜0，则规定点(ρ，θ)与点(－ρ，
程。
M
1 P o ﹚ 1 ﹚ x
解：如图，设点 M(, )
为直线上除
M
1 P
点P外的任意一点，连接OM
﹚ 1 ﹚
o
x
则 O M, xO M由点P的极坐标知
OP 1 xOP1
设直线L与极轴交于点A。则在 MOP
由 正O 弦M 定P 理 得 sin , [O (P M 1 )]si n(( 1 ) 1 )
(1) x 4;
(2) y 2 0;
(3) 2x 3y 1 0; (4) x2 y2 16.
8.把下列极坐标方程化成直角坐标方程：
(1) sin 2; (2) (2 cos 5sin ) 4 0; (3) 10 cos ; (4) 2 cos 4sin . 9.已知直线的极坐标方程为 sin( ) 2
s in ( ) 1 s in ( 1 )显然点P的坐标也
是它的解。
练习：
1.在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆 的极坐标方程：
（1）过极点倾斜角是 3 的直线； （2）过 点（2， ），并且和极轴垂直的直线；
3
（3）圆心在A（1， ），半径为1的圆； 4
（4）圆心在（a，3 ），半径为a的圆。 2
θ)关于极点对称，则上述直线MN的极坐标方程是
什么？
和前面的直角坐标系里
M
直线方程的表示形式比较起来，
极坐标系里的直线表示起来很 不方便，要用两条射线组合而 成。原因在哪？
O 45° x
0 N
可以考虑允许极径可以取全体实数。
( R)或 5 ( R)
4
4
l 思考：设点P的极坐标为A ( a , 0 ) ，直线 过点P l 且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方
极坐标方程：cosa
2.与极轴反向延长线垂直且距离为a的直
线的极坐标方程：cosa
3.在极轴上方与极轴平行且到极轴距离为
a的极坐标方程：sina
4.在极轴下方与极轴平行且到极轴距离为
a的极坐标方程：sina
l 思考4：设点P的极坐标为 ( 1 , 1 ) ，直线 过点P l 且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方
求点A（2，7 ）到这条直线的距离. 4 2 4
小结：直线的几种极坐标方程 1、过极点 2、过某个定点，且垂直于极轴 3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度
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练习：
2.两条直线cos()a与 sin()a
的位置关系是（B ）
A、平行 B、垂直
C、重合 D、平行或重合
3.在极坐标系中，与圆 4sin相切的一条
直线的方程是（B ）
A 、 sin 2 C 、 co s4
B 、 co s2 D 、 co s 4
4.直线 sin()a和
的位置关系是（ B ）
求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图；
2、设点 M(, ) 是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 , 的方 程，
并化简； 5、检验并确认所得的方程即为所求。
变 题 、 求 过 点 A (2 ,)平 行 于 极 轴 的 直 线 。
4
解 ： 如 图 ， 设 M ( ,) 是 直 线 l 上 除 点 A 外 的 任 意 一 点
选修4－4坐标系与参数方程
第一讲 坐标系 三. 简单曲线的极坐标方程
在极坐标系中求曲线方程的基本步骤：
1、根据题意画出草图(包括极坐标建系)；
2、设P(ρ，θ) 为所求曲线上的任意一点；
3、连结OP，寻找OP满足的几何条件；
4、依照几何条件列出关于ρ，θ的方程并化简；
5、检验并确定所得方程即为所求。