第 14 章干涉和衍射14.1 波的叠加 (2)14.2 杨氏双缝干涉实验 (4)例14.1：双缝实验 (6)14.3 光强分布 (6)例14.2：三缝干涉的光强 (8)14.4 衍射 (10)14.5 单缝衍射 (11)例14.3：单缝衍射 (12)14.6 单缝衍射的光强 (12)14.7 双狭缝衍射条纹的光强 (15)14.8 衍射光栅 (16)14.9 总结 (17)14.10 附录：总电场的计算 (18)14.11 解题 (21)14.11.1 双缝实验 (21)14.11.2 相位差 (21)14.11.3 干涉增强 (22)14.11.4 双缝干涉的光强 (23)14.11.5 二级亮条纹 (23)14.11.6 双缝衍射的光强 (24)14.12 概念题 (26)14.13 附加题 (26)14.13.1 双缝干涉 (26)14.13.2 干涉-衍射条纹 (26)14.13.3 三缝干涉 (26)14.13.4 双缝干涉的光强 (27)14.13.5 二级极大 (27)14.13.6 干涉-衍射条纹 (27)干涉和衍射14.1 波的叠加考虑两个或多个波同时经过的空间区域。
按照叠加原理，净位移可用矢量或由各个位移的代数和给出。
干涉是基于同样的原理，由两个或多个波叠加组成的复合波。
叠加原理的概念见图14.1.1。
图14.1.1 波的叠加原理。
(b) 干涉相长；(c) 干涉相消。
假定我们有两个波：叠加后的波为如果),(t x ψ的振幅大于单个波的振幅（图14.1.1(b)），则干涉加强；反之则干涉相消（图14.1.1(c)）。
作为例子，我们来考虑下述两个波在t = 0时刻的叠加：叠加后的波为这里我们用了以及。
进一步运用恒等式以及从而得到其中。
波叠加的图像见图14.1.2。
图14.1.2 两支正弦波的叠加。
我们看到，在1)sin(=+φx 时，或φπ−=2x 时，波有最大振幅。
这时干涉增强。
反之，在61.2=−=φπx rad 时，干涉相消，此时0sin =π。
为了形成干涉条纹，入射光必须满足两个条件： (i) 光源必须是相干的。
就是说，来自多个波源的平面波相互间必须保持固定的相位关系。
例如，如果两支波完全不同相πφ=，那么这个相位差就不可能随时间保持不变。
(ii)光必须是单色的。
就是说，光是由单一波长k /2πλ=的波组成的。
白炽灯发出的光是不相干的，因为这种光由不同波长的波组成，它们之间无法保持固定的相位关系。
因此观察不到干涉条纹。
图14.1.3 白炽灯光源14.2 杨氏双缝干涉实验1801年，托马斯·杨做了一个实验用来揭示光的性质。
这个双缝实验的示意图见图14.2.1。
图14.2.1 杨氏双缝干涉实验单色光源入射到装有狭缝S 0的第一个屏。
透射的光入射到装有两平行狭缝S 1和S 2的第二个屏，它相当于两个相干光源。
从这两个狭缝出来的光波发生干涉，并在观察屏上形成干涉条纹。
亮条纹对应于干涉极大，暗条纹对应于干涉极小。
图14.2.2显示了波叠加形成干涉增强和干涉相消的方式。
图14.2.2 干涉增强发生在 (a) P 点和 (b) P 1点；干涉相消发生在 (c) P 2点。
双缝干涉的几何图像见图14.2.3。
图14.2.3双缝干涉实验考虑落到屏上距O 点距离为y 的P点的光，双缝距屏的距离为L ，双缝间距为d 。
由狭缝2出射的光在到达P 时要比狭缝1出射的光的行程多出12r r −=δ的距离。
这个额外距离称为程差。
由图13.2.3，利用余弦定理，我们有和用方程(14.2.2)减去方程(14.2.1)，得在L >> d ，即屏到狭缝的距离远大于缝间距离的极限情形下，r 1与r 2之和可以近似为，这样程差变成r r r 221≈+在此极限下，两束光r 1与r 2基本上可视为平行束（见图14.2.4）。
图14.2.4 在L >> d 极限下，两束光之间的程差两束光是同相位还是不同相取决于δ的值。
当δ为零或是波长λ的整数倍时，屏上出现的是干涉增强：这里m 称作干涉级数。
零级（m = 0）极大对应于0=θ的中央亮条纹，一级极大（）是中央条纹两边的亮条纹。
1±=m 反之，当δ为半波长2/λ的奇整数倍时，到达P 点的波相位相差180°，导致干涉相消，因而屏上出现的是暗条纹。
干涉相消的条件是：在图14.2.5中，我们展示了2/λδ=（m = 0）程差如何引起干涉相消，以及λδ=（m = 1）如何引起干涉增强的图像。
图14.2.5 (a) 干涉相消；(b) 干涉增强为了确定条纹在屏上位置距O 点的垂直距离，除了条件L >>d 之外，我们还假定缝间距离d 远远大于单色光的波长，λ>>d 。
这个条件意味着θ角非常小，故有将上述两个表示干涉增强和干涉相消的条件分别代入方程(14.2.5)和(14.2.6)，即可得亮条纹和暗条纹的位置，分别为和例14.1：双缝实验假定在双缝实验安排中，d = 0.150 mm ，L =120 cm ，λ = 833 nm ，y = 2.00 cm 。
(a) 光从双狭缝到屏上P 点的程差δ是多少？ (b) 用λ 表示这个程差。
(c) P 点对应的是光强极大值、极小值还是中等亮度值？解：(a) 程差由θδsin d =给出。
当时，y L >>θ很小，近似有L y /tan =≈θθ。
因此(b) 由 (a) 的答案可得或λδ00.3=。
(c) 由于程差是λ 的整数倍，故P 点对应的是光强极大值。
14.3 光强分布考虑如图14.3.1所示的双缝实验。
图14.3.1 双缝干涉屏上P 点总的瞬时电场E r 等于两个源的矢量和：21E E E rr r +=。
同时，坡印亭通量S 正比于总电场的平方：取S 的时间平均，可得P 点的总光强I 为交叉项21E E r r ⋅2表示两束光波之间的关联。
对于非相干光源，由于1E r 和2E r之间不存在确定的相位关系，故交叉项为零，因此非相干光源的光强只是两单独光强的简单相加：对相干光源，交叉项不为零。
事实上，对干涉增强，21E E rr =，故叠加后光强为即4倍于单个光源的光强。
反之，当干涉相消时，21E E r r −=，1I −∝⋅21E E rr ，故总光强变为正如所预料的那样。
假定狭缝出射的波为正弦平面波。
令来自缝1和缝2的波在P 点的电场分量分别为和这里假定波从狭缝出来时具有同样的振幅。
为简单起见，我们将P 点取为原点，这样波函数里kx 的依赖性可忽略。
由于来自缝2的波到P 点要多走额外的程差0E δ，故E 2相对于来自缝1的E 1有一个额外的相移。
对于干涉增强，程差πδ=对应于πφ2=的相移。
于是有或假定两个电场指向相同的方向，则总电场即可由13.4.1节讨论的叠加原理获得：这里我们用了三角恒等式光强I 正比于总电场平方的时间平均值：或这里I 0是屏上最大光强。
代入方程(14.3.4)，上述表达式变为图14.3.2 光强与λθsin d 的函数关系对于小角度θ，利用方程(14.2.5)，光强可改写成例14.2：三缝干涉的光强假定一个单色相干光源发出的光经过三个平行狭缝，相邻狭缝间的距离均为d ，如图14.3.3所示。
图14.3.3 三狭缝干涉各狭缝透过的波具有相同的振幅E 0和角频率ω，且到达P 点时的位相差λθπφsin 2d =固定。
(a) 证明：P 点光强为这里I 0是中央主极大的最大光强。
(b) 主极大与次极大的光强比是多少？解：(a) 令三波在P 点的电场振幅分别为利用三角恒等式E 1和E 3的和为P 点的总电场振幅为其中λθπφsin 2d =。
光强正比于2E ：这里我们用了2/1)(sin 2=+φωt 。
当1cos =φ时有最大光强。
因此，即是说(b) 干涉条纹见图14.3.4。
由图可见，极小光强为零，出现在2/1cos −=φ位置上。
主极大的条件是1cos +=φ，由此给出。
此外，在1/0=I I 1cos −=φ位置上还有第二级极大。
这个条件意味着πφ)12(+=m 或,...2,1,0),2/1(sin ±±=+=m m d λθ故光强比为9/1/0=I I 。
14.4 衍射波除了干涉之外，还有另一个特性——衍射，一种波在经过障碍物或小孔时表现出的弯曲现象。
衍射现象可用如下的惠更斯原理来说明。
波前上每个无阻碍的点都是下一级球面波的波源。
新的波前是一个与所有下一级球面波相切的曲面。
图14.4.1展示了基于惠更斯原理的波的传播。
图14.4.1 基于惠更斯原理的波的传播按照惠更斯原理，入射到两缝上的光波会扩散开来并在附近区域显示出干涉图案（图14.4.2a ）。
这种图案称为衍射条纹。
另一方面，如果不出现绕射，光波将沿直线前进，这时不会出现任何衍射条纹（图14.4.2b ）。
我们主要讨论所谓夫琅和费衍射这样一种特殊情形。
在此情形下，由狭缝出来的所有光线近似于彼此平行。
为使衍射条纹出现在屏上，我们在屏缝间放置一个凸透镜以使光线聚焦到屏上。
图14.4.2 (a) 光线散开形成衍射条纹；(b) 如果光波路径是直线，就不存在衍射条纹。
14.5 单缝衍射在杨氏双缝干涉实验中，我们假定缝宽很小，这样每个狭缝都可视为一个点光源。
在本节里，我们将缝宽看成是有限的，并观察夫琅花费衍射是如何形成的。
令单色光入射到缝宽为a 的狭缝上，如图14.5.1所示。
图14.5.1 光经过缝宽为a 的狭缝形成的衍射在夫琅和费衍射中，穿过狭缝的所有光线都是彼此平行的。
不仅如此，按照惠更斯原理，狭缝的每个点都是一个光源。
为简单起见，我们将狭缝分成两个半狭缝。
在第一级极小位置上，来自上狭缝的每条光线均与来自下狭缝的对应光线有180°的相位差。
例如，假定有110个点，前50个点位于下狭缝，51到100位于上狭缝。
源1与源51间距为，程差2/a 2/λδ=。
源2与源52间距也是，以此类推。
这样，第一极小的条件是2/a或对等间距a / 4，程差4/sin θδa =的四个点形成的波前做同样的操作，干涉相消的条件是将这种讨论一般化，我们可以证明，干涉相消将出现在图14.5.2给出了单狭缝衍射的光强分布。
这里0=θ是极大值。
图14.5.2 单狭缝衍射的光强分布通过比较方程(14.5.4)和(14.2.5)，我们看到，如果将单狭缝的缝宽a 换成双狭缝的缝间距d ，单狭缝衍射的极小值条件变成了双狭缝干涉的极大值条件。
其原因是因为在双狭缝情形下，缝宽被认为小到只是一个单个的光源，同一缝中光线间的干涉可忽略不计。
而在单狭缝情形里，单狭缝衍射的极小条件考虑的恰恰是同一缝中光波间的干涉。
例14.3：单缝衍射波长nm 600=λ的单色光通过一个缝宽为0.800 mm 的单狭缝。