第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222>>=-babyax标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222>>=-babxay定义第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

{}aMFMFM221=-()212FFa<第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1e>时，动点的轨迹是双曲线。

定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e（1e>）叫做双曲线的离心率。

范围x a≥，y R∈y a≥，x R∈对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中心原点(0,0)OxyP1F2FxyPxyP1F2FxyxyP1F2FxyxyP1F2FxyP焦点坐标1(,0)F c-2(,0)F c1(0,)F c-2(0,)F c焦点在实轴上，22c a b=+；焦距：122F F c=顶点坐标（a-,0） (a,0) (0, a-,) (0，a)离心率eace(=>1)准线方程cax2±=cay2±=准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22顶点到准线的距离顶点1A（2A）到准线1l（2l）的距离为caa2-顶点1A（2A）到准线2l（1l）的距离为aca+2焦点到准线的距离焦点1F（2F）到准线1l（2l）的距离为cac2-焦点1F（2F）到准线2l（1l）的距离为cca+2渐近线方程xaby±=xbay±=共渐近线的双曲线系方程kbyax=-2222（0k≠）kbxay=-2222（0k≠）①当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上；当aMFMF212=-时，则表示点M在双曲线左支上；②注意定义中的“（小于12F F）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。

若2a=2c时，即2121FFMFMF=-,当2121FFMFMF=-，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当2112FFMFMF=-时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；若2a＞2c时，动点轨迹不存在.2.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果2y项的系数是正数，则焦点在y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.3.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y在双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的内部2200221x ya b⇔->.(2)点00(,)P x y在双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的外部2200221x ya b⇔-<.4. 形如)0(122πABByAx=+的方程可化为11122=+ByAx当01,01φπBA，双曲线的焦点在y轴上；当01,01πφBA，双曲线的焦点在x轴上；5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴正确判断焦点的位置；⑵设出标准方程后，运用待定系数法求解.6. 离心率与渐近线之间的关系222222221ababaace+=+==1）21⎪⎭⎫⎝⎛+=abe 2）12-=eab7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-byax⇒渐近线方程：2222x ya b-=⇔xaby±=.(2)若渐近线方程为xaby±=⇔0=±byax⇒双曲线可设为λ=-2222byax.(3)若双曲线与12222=-byax有公共渐近线，可设为λ=-2222byax（0>λ，焦点在xA2F24轴上，0<λ，焦点在y轴上）.(4)与双曲线12222=-byax共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222byax)0(≠λ(5)与双曲线12222=-byax共焦点的双曲线系方程是12222=--+kbykax(6)当⇔=时ba离心率2=e⇔两渐近线互相垂直，分别为y=x±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22yx；8. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>上一点00(,)P x y处的切线方程是00221x x y ya b-=. （2）过双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>外一点00(,)P x y所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=.（3）双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>与直线Ax By C++=相切的条件是22222A aB b c-=.9. 直线与双曲线的位置关系直线l：)0(≠+=mmkxy双曲线C：12222=-byax（a＞0，b＞0）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222byaxmkxy⇒02)(222222222=----bamamkxaxkab1) 当0222=-kab，即abk±=时，直线l与双曲线的渐进线_平行_，直线与双曲线C相交于一点；2) 当b2-a2k2≠0，即abk±≠时，△=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2k2)(-a2m2-a2b2) ①0φ∆时，直线l与双曲线相交，有两个公共点②0=∆时，直线l与双曲线相切，有且仅有一个公共点③0π∆时，直线l与双曲线相离，无公共点3) 直线与双曲线只有一个公共点,则直线与双曲线必相切吗?为什么?（不一定）10. 关于直线与双曲线的位置关系问题常用处理方法直线l：)0(≠+=mmkxy双曲线C：12222=-byax（a＞0，b＞0）①联立方程法：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222byaxmkxy⇒02)(222222222=----bamamkxaxkab设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0φ∆,以及2121,xxxx+，还可进一步求出mxxkmkxmkxyy2)(212121++=+++=+，2212122121)())((mxxkmxxkmkxmkxyy+++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如a.相交弦AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkAB-++=-+=ak∆+=21或2122122124)(1111yyyykyykAB-++=-+=ak∆+=21b. 中点),(yxM,221xxx+=，221yyy+=②点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入双曲线方程，得1221221=-byax1222222=-byax将两式相减，可得2212122121))(())((b y y y y a x x x x -+=-+ )()(2122122121y y a x x b x x y y ++=-- a. 在涉及斜率问题时，)()(212212y y a x x b k AB++= b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，2020202212122y a x b y a x b x x y y =••=--， 即0202y a x b k AB=， 11. 焦点三角形面积公式：)(,2tan21221PF F b S PF F ∠==∆θθ。