2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)数学试题卷(理工农医类)共5页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回． 特别提醒：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013重庆，理1)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U (A ∪B )＝()．A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4} 答案：D解析：∵A ∪B ＝{1,2,3}，而U ＝{1,2,3,4}，故U (A ∪B )＝{4}，故选D ．2．(2013重庆，理2)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )．A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0B ．不存在x ∈R ，使得x 2＜0C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 答案：D解析：全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D ． 3．(2013重庆，理36a a (-)(+)－6≤a ≤3)的最大值为( )．A ．9B ．92C ．3D ．322答案：B解析：236318a a a a (-)(+)=--+238124a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因为－6≤a ≤3，所以当32a =-81942=. 方法二：∵－6≤a ≤3，∴3－a ≥0，a ＋6≥0. 而(3－a )＋(a ＋6)＝9， 由基本不等式得：(3－a )＋(a －6)≥236a a (-)(+) 即9236a a ≥(-)(+) 9362a a (-)(+)≤，当且仅当3－a ＝a ＋6， 即32a =-时取等号．4．(2013重庆，理4)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()．A．2,5 B．5,5 C．5,8 D．8,8答案：C解析：由甲组数据中位数为15，可得x＝5；而乙组数据的平均数915101824 16.85y++(+)++=，可解得y＝8.故选C．5．(2013重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()．A．5603B．5803C．200 D．240答案：C解析：由几何体的三视图可得，该几何体是一个横放的直棱柱，棱柱底面为梯形，梯形两底长分别为2和8，高为4，棱柱的高为10，故该几何体体积V＝12×(2＋8)×4×10＝200，故选C．6．(2013重庆，理6)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()．A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案：A解析：由题意a ＜b ＜c ，可得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0.显然f (a )·f (b )＜0，f (b )·f (c )＜0，所以该函数在(a ，b )和(b ，c )上均有零点，故选A ．7．(2013重庆，理7)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A．4 B1 C．6- D答案：A解析：圆C 1，C 2的圆心分别为C 1，C 2，由题意知|PM |≥|PC 1|－1，|PN |≥|PC 2|－3，∴|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－4，故所求值为|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值．又C 1关于x 轴对称的点为C 3(2，－3)，所以|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为|C 3C 2|－444=，故选A ．8．(2013重庆，理8)执行如图所示的程序框图，如果输出s ＝3，那么判断框内应填入的条件是( )．A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤9 答案：B解析：由程序框图可知，输出的结果为s ＝log 23×log 34×…×log k (k ＋1)＝log 2(k ＋1)．由s ＝3，即log 2(k ＋1)＝3，解得k ＝7.又∵不满足判断框内的条件时才能输出s ，∴条件应为k ≤7. 9．(2013重庆，理9)4cos 50°－tan 40°＝( )．AB．2CD．1答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4sin40cos40sin40cos40︒︒-︒︒＝2sin80sin 402sin100sin 40cos 40cos 40︒-︒︒-︒=︒︒＝2sin(6040)sin40cos40︒+︒-︒︒＝122sin40sin4022cos40︒+⨯︒-︒=︒.10．(2013重庆，理10)在平面上，1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r .若|OP uuu r |＜12，则|OA u u u r|的取值范围是( )．A ．2⎛ ⎝⎦B ．22⎛ ⎝⎦C ．2⎛ ⎝D ．2⎛ ⎝ 答案：D解析：因为1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，所以可以A 为原点，分别以1AB u u u r ，2AB u u u u r所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )，则AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u ur ＝(a ，b )，即P (a ，b )． 由|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r|＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP uuu r |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14，即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2<≤所以|OA u u u r |的取值范围是⎝，故选D ．二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．(2013重庆，理11)已知复数5i12iz =+(i 是虚数单位)，则|z |＝__________.解析：5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)z -===+++-，∴||z ==12．(2013重庆，理12)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝__________.答案：64解析：由a 1＝1且a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2，故S 8＝8a 1＋872⨯d ＝64.13．(2013重庆，理13)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答)．答案：590解析：方法一：从12名医生中任选5名，不同选法有512C 792=种．不满足条件的有：只去骨科和脑外科两科医生的选法有57C 21=种，只去骨科和内科两科医生的选法有5585C C 55-=种，只去脑外科和内科两科医生的选法有5595C C 125-=种，只去内科一科医生的选法有55C 1=种，故符合条件的选法有：792－21－55－125－1＝590种．方法二：设选骨科医生x 名，脑外科医生y 名， 则需选内科医生(5－x －y )人．(1)当x ＝y ＝1时，有113345C C C 120⋅⋅=种不同选法； (2)当x ＝1，y ＝2时，有122345C C C 180⋅⋅=种不同选法； (3)当x ＝1，y ＝3时，有131345C C C 60⋅⋅=种不同选法； (4)当x ＝2，y ＝1时，有212345C C C 120⋅⋅=种不同选法；(5)当x ＝2，y ＝2时，有221345C C C 90⋅⋅=种不同选法； (6)当x ＝3，y ＝1时，有311345C C C 20⋅⋅=种不同选法．所以不同的选法共有120＋180＋60＋120＋90＋20＝590种．考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分． 14．(2013重庆，理14)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为__________．答案：5解析：在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝20，可得BC＝由弦切角定理，可得∠BCD ＝∠A ＝60°. 在Rt △BCD 中，可求得CD＝，BD ＝15.又由切割线定理，可得CD 2＝DE ·DB ，可求得DE ＝5.15．(2013重庆，理15)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线23,x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝__________. 答案：16解析：由极坐标方程ρcos θ＝4，化为直角坐标方程可得x ＝4，而由曲线参数方程消参得x 3＝y 2， ∴y 2＝43＝64，即y ＝±8，∴|AB |＝|8－(－8)|＝16.16．(2013重庆，理16)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．答案：(－∞，8]解析：方法一：设f (x )＝|x －5|＋|x ＋3|＝22,5,8,35,22,3,x x x x x -≥⎧⎪-<<⎨⎪-+≤-⎩可求得f (x )的值域为[8，＋∞)，因为原不等式无解，只需a≤8，故a的取值范围是(－∞，8]．方法二：由绝对值不等式，得|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8，∴不等式|x－5|＋|x＋3|＜a无解时，a的取值范围为(－∞，8]．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013重庆，理17)(本小题满分13分，(1)小问6分，(2)小问7分．)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a ∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)因f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故12a=.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6ln x(x＞0)，f′(x)＝x－5＋6x＝23x xx(-)(-).令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)在(2,3)上为减函数．由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝92＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3. 18．(2013重庆，理18)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．解：设A i表示摸到i个红球，B j表示摸到j个蓝球，则A i(i＝0,1,2,3)与B j(j＝0,1)独立．(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝123437C C18 C35=.(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且P(X＝200)＝P(A3B1)＝P(A3)P(B1)＝3337C11C3105⋅=，P(X＝50)＝P(A3B0)＝P(A3)P(B0)＝3337C22C3105⋅=，P (X ＝10)＝P (A 2B 1)＝P (A 2)P (B 1)＝213437C C 1124C 310535⋅==， P (X ＝0)＝12461105105357---=.综上知X 的分布列为从而有E (X )＝0×67＋10×35＋50×105＋200×105＝4(元)．19．(2013重庆，理19)(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分．)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，BC ＝CD ＝2，AC ＝4，∠ACB ＝∠ACD ＝π3，F 为PC 的中点，AF ⊥PB ．(1)求P A 的长；(2)求二面角B －AF －D 的正弦值．解：(1)如图，连接BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD为等腰三角形．又AC 平分∠BCD ，故AC⊥BD ．以O 为坐标原点，OB uuu r，OC u u u r ，AP u u u r的方向分别为x轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD πcos 3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3，又OD ＝CD πsin 3，故A (0，－3,0)，B ，0,0)，C (0,1,0)，D (，0,0)．因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，F 0,1,2z ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又AF u u u r ＝0,2,2z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PB u u ur ＝3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF u u u r ·PB u u ur ＝0，即6－22z ＝0，z =舍去-)，所以|PA u u u r|＝(2)由(1)知AD u u ＝(3,0)，AB u u u r ＝，3,0)，AF u u u r＝(0,2)，设平面F AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由n 1·AD u u u r ＝0，n 1·AF u u u r ＝0，得111130,20,y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩因此可取n 1＝(3，－2)．由n 2·AB u u u r ＝0，n 2·AF ＝0，得222230,20,y y +=+=⎪⎩故可取n 2＝(3，，2)． 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝12121||||8⋅=⋅n n n n ，故二面角B －AF －D的正弦值为8. 20．(2013重庆，理20)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2ab ＝c 2.(1)求C ；(2)设cos A cos B＝5，2cos()cos()cos 5A B ααα++=，求tan α的值．解：(1)因为a 2＋b 2ab ＝c 2，由余弦定理有cos C ＝222222a b c ab ab +-==-，故3π4C =.(2)由题意得2(sin sin cos cos )(sin sin cos cos )cos A A B B ααααα--＝5.因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝5，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝5，tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝5.① 因为3π4C =，A ＋B ＝π4，所以sin(A ＋B )，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ，－sin A sin B ，解得sin A sin B =由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.21．(2013重庆，理21)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率2e =，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．若PQ ⊥P ′Q ，求圆Q 的标准方程．解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则222221c a b(-)+=. 从而e 2＋24＝1.由2e =得22481b e==-， 从而222161b a e==-. 故该椭圆的标准方程为221168x y +=. (2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 02＋28116x⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12(x －2x 0)2－x 02＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点， 因此，上式当x ＝x 1时取最小值，又因x 1∈(－4,4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值， 从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 02. 因为PQ ⊥P ′Q ，且P ′(x 1，－y 1)， 所以QP QP ⋅'u u u r u u u r＝(x 1－x 0，y 1)·(x 1－x 0，－y 1)＝0，即(x 1－x 0)2－y 12＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得22111810416x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，11解得13x =±，1023x x ==±. 从而|QP |2＝8－x 02＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为221633x y ⎛++= ⎝⎭，221633x y ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭. 22．(2013重庆，理22)(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分．)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，,n n n P I k I ⎫=∈∈⎬⎭. (1)求集合P 7中元素的个数；(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是．．整数的平方，则称A 为“稀疏集”．求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．解：(1)当k ＝4时，7I ⎫∈⎬⎭中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ⊇I n ，不妨设1∈A ，则因1＋3＝22，故3∉A ，即3∈B ．同理6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．再证P 14符合要求，当k ＝1时，1414I I ⎫∈=⎬⎭可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.当k ＝4时，集14I ⎫∈⎬⎭中除整数外剩下的数组成集13513,,,,2222⎧⎫⎨⎬⎩⎭L ，可分解为下面两稀疏集的并：215911,,,2222A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，23713,,222B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 当k ＝9时，集14I ⎫∈⎬⎭中除正整数外剩下的数组成集12451314,,,,,,333333⎧⎫⎨⎬⎩⎭L ，可分解为下面两稀疏集的并：31451013,,,,33333A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，32781114,,,,33333B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 最后，集1414,,1,4,9C I k I k ⎫=∈∈≠⎬⎭且中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.综上，所求n 的最大值为14.注：对P 14的分拆方法不是唯一的．。