根据动量守恒定律，有
m (t)v (t) m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)] v (t) ( 1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
m(t
t)v(t
t)
dm tv(t)
dt
(1)dmt(v(t)u)o(t)
dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
(4)
由假设3.1，取u =3km, 1，便得火箭末速度上限
9
v03ln96.6km /s
而卫星能进入 600km 高空轨道, 火箭末速度最低为
7.6km/s.
即便忽略空气阻力、重力、不携带任何东西的情况下
，火箭末速度最大才6.6km/s。因此，用一级火箭发射卫
星，在目前技术条件下无法达到在相应高度所需的速
3.2得到其末速度为
v
uln
m0 mp ms
(2)
令 m s(m F m s)(m 0 m p )，代入上式，得
v(vt)uv0lnulnm 0mm(0t(m )10)mp
(3)
由此可见，对于给定u值，当有效负荷mp=0时，火箭末
速度达到最大，即火箭末速度上限的数学模型
1 v0 u ln
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度.
设地球半径为R， 中心为 O，质量为M，曲线C表示地 球表面， C′表示卫星轨道， C′的半径为r，卫星的质量为 m。
r
O C
R C′
2）建模与求解
根据假设1.2、1.3，卫星只受地球引力，由牛顿万有
引力定律可知其引力大小为
2. 各级火箭质量的分配 1) 问题背景 如何分配各级火箭质量，使得火箭的有效负荷最大？这 也就是说，如果知道火箭达到的末速度为v，气体喷射的
速度为u，结构比为 ；对于给定的初始质量
m 0 m 1 m 2 L m n m p
如何选择质量m1，m2，…，mn，使得有效负荷mp 最大。 2) 模型假设 同前所述
v(0) 0
m
(0)
m0
v(t)(1)uln m0
m(t)
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛完全弃时，便
只剩下卫星质量mp，从而最终速度的数学模型为
v(t) (1)uln m0
m0
v
e (1 )u
mp
mp
当m0足够大，便可使卫星达到我们所希望它具有的任
意速度。例如，考虑到空气阻力和重力等因素，估计要使
m (t)v(t)v(t)d m tud m to ( t)
d t
d t
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) v ( t) d m t u d m t o ( t) d t d t
m ( t t) v ( t t) m ( t) v ( t) m ( t) d v t v ( t) d m t o ( t)
v=10.5km/s才行,如果取u=3km/s, β=0.1,则可推出m0/mp =50，即发射1吨重的卫星大约需50吨重的理想火箭。
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星 二、理想火箭模型 三、多级火箭卫星系统
理想火箭设想就是把无用的结构质量连续抛弃以达到 最佳的升空速度,虽然在目前的技术条件下难以办到,但它 确为发展火箭技术指明了奋斗目标。目前已商业化的多级 火箭卫星系统便是朝着这种目标迈出的第一步。多级火箭 是从末级开始，逐级燃烧,当第i级燃料烧尽时,第i+1级 火箭立即自动点火,并抛弃已经无用的第i 级。
1. 多级火箭的速度
1）模型假设 为了简单起见，先作如下假设： (1)mi 用表示第i级火箭质量， mp表示有效负载。
(2)设各级火箭具有相同的， mi表示第i级结构质量, (1- ) mi表示
第i (3)喷气相对火箭的速度u 相同。
2）模型建立与求解 火箭的初始质量为
m 0 m 1 m 2 L m n m p
数学建模
第六讲 运载火箭发射卫星数学模型
火箭是一个复杂的系统，为 了使问题简单明了，我们只从动 力系统和整体结构上分析，并且 总假设火箭的推动力是足够强大 的。
一、为什么不能用一级火箭发 射人造卫星
二、理想火箭模型 三、多级火箭系统
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
1.卫星能进入600km高空轨道,火箭必须的最低速度. 1)模型假设 1.1 卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周 ，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀 速圆周运动； 1.2 地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集 中于球心； 1.3 其它星球对卫星的引力忽略不计。
第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭的质量为
m 1 m 2 L m n m p
此时第一级火箭的速度为
v1ulnm m 11 m m 22 L L m m nn m m pp
将第一级火箭的结构抛去，点燃第二级火箭，此时火 箭的质量为
m 2Lm nm p
并且具有初速度v1 . 类似可求得第二级火箭燃料消耗完毕 时，火箭的速度为
与1-β 的比例同时进行。
2）建模与分析
在[t, t+Δt ]时段丢弃的结构质量为 [m (t)m (t t)].
烧掉的燃料质量 (1 )[m (t) m (t t)].
在t 时刻动量为m(t) v(t) ，而在t+Δt 时刻的动量为
m (t t)v (t t) [(m (t) m (t t)]v (t) [(1 )[m (t) m (t t)](v (t) u )
一、为什么不能用一级火箭发射人造卫星
二、理想火箭模型
上面我们对问题分析可以看出：火 箭推进力自始至终在加速着整个火箭， 然而随着燃料的不断消耗，所出现的无 用结构质量也在随之不断加速，作了无 用功，效益低，浪费大。所谓理想火箭， 就是能够随着燃料的 燃烧不断抛弃火箭的无用结构。
1）模型假设
在[t, t+Δt] 时段丢弃的结构质量与烧掉的燃料质量以β
ai 表示第i 级火箭点燃之前火箭系统的质量与该级火箭被 抛弃火箭系统质量之比。
m im i 1 Lm nm p a i
m im i 1 Lm nm p 1(a i 1 )
a1
a2
L
an
m0 mp
那末将问题可以转化为另一个优化问题
mina1a2Lan
S.T. ln1a (a111)1a (a221)L1a (ann1)u v,
1）模型假设
2.1 火箭在喷气推动下作直线运动，火
箭所受的重力和空气阻力忽略不计；
2.2 在t时刻火箭质量为m(t)，速度为v(t)
，且均为时间t的连续可微函数；
v
2.3 从火箭末端喷出气体相对火箭本身
u
的速度u为常数,即气体相对于地球的速度
为v(t)-u
2）建模与分析 由于火箭在运动过程中不断喷出气体，使其质量不断 减少，在[t, t+△t ]内的减少量可由微分公式表示为
m (tt)m (t)dmto(t) dt
m (t t)v (t t)
m (t)v (t) d m tv (t) (1 )d m t(v (t) u ) o ( t)
d t
d t
m (tt)v(tt)
m (t)v(t) m (t)d v t v(t)d m t o ( t)
d t
d t
度，也就是说单级火箭不能用于发射卫星。
3) 模型分析
单级火箭一直将将燃料仓和发动 机带到了末端，而未将这些丢弃,火 箭发动机作了许多无用功。也就是 说发动机必须把整个沉重的火箭加 速到最后,但是当燃料耗尽时,发动 机加速的仅仅是一个空的燃料仓.
这就是单级火箭设计方面的最大 缺点，因此我们必须反思，有必要 改进火箭的设计。
d t
d t
m (tt)m (t)dmto(t) dt
v(tt)v(t)dvto(t) dt
因为喷出气体相对地球的速度为v(t)-u，则由动量守恒 定律有
m (t) v (t) m (t t) v (t t) d d m t t o ( t) v (t) u
m (t t) v (t t) m (t) v (t) d d m t t o ( t) v (t) u
d t
d t
m dv u dm
dt
dt
v(0) v0
v(t)
v0
uln
mm(0t)
dv u dm m v(0) v0
（1）
m dv u dm
dt
dt
表明火箭所受推力等于燃料消耗速度与喷气速度(相
对火箭)的乘积。
v(t)
v0
uln
mm(0t)
表明，在一定的条件下，火箭升空速度由喷气速度(相 对火箭)及质量比决定。这为提高火箭速度找到了正确途 径：尽可能提高火箭燃烧室产生的气体喷出的速度，这需 要从燃料上想办法；尽可能减少在时刻火箭的质 量，这要从结构上想办法。
v(tt)v(t)dvto(t) dt
m (tt)m (t)dmto(t) dt
m ( t)d v v ( t)d m d m v ( t) ( 1 )d m ( v ( t) u )
d t d t d t
d t
m(t)dv(1)dmu
dt
dt
dv (1) u
dm
m
v (t) (1 )u ln m (t) C
v2v1ulnm m 22 L L m m nn m m pp
那么第n级火箭燃料消耗完毕时，火箭的末速度为
vvn1
uln mnmp
mnmp
n级火箭的速度
v u ln m m 1 1 m m 2 2 L L m m n n m m p p m m 2 2 L L m m n n m m p p L m m n n m m p p