第三章 功和能3-1一质点在几个力同时作用下的位移为Δr =5i +8j -9k (m)，其中某个力为恒力f =2i +3j -2k (N)，求这个力在过程中所作的功. 解：()()52985232=-+⋅-+=∆⋅=k j i k j i r f A J3-2如图所示，一质点在坐标平面内作圆运动，所受外力中某一力f =y 2i +(x -R )2j （SI ），问当该质点自原点o 运动到a 点的过程中f 所作的功是多少?解：在质点位移 j i r y x d d d += 的微过程中，力f 所作的元功d A 为()y R x x y A d d d 22-+=∆⋅=r f因为质点在由方程 ()x R y R -+=222 决定的圆周上运动，所以 ()[]()y y R x R x R A d d d 2222-+--=质点自o 点运动到a 点的过程中所作的功为()[]()3022202234R y y R x R x RA A R=-+--==⎰⎰⎰d d d3-3一物体按规律x =At 2在空气中作直线运动，式中A (＞0)为常量，t 为时间，若空气对物体的阻力正比于物体的速度，阻力系数为k ，求物体由x =0运动到x =L 的过程中，阻力所作的功.解：按题意物体所受阻力可写为f kv kdxdtkAt k Ax x =-=-=-=-22 阻力所作的功为x x A k x f A LLx d 2d 0⎰⎰-===232134kA -3-4一地下蓄水池，面积为50m 2，贮水深度为1.5m.假定水平面低于地面的高度是5.0m.问要将这池水全部吸到地面，需作多少功?若抽水机的效率为80%，输入功率为35kW ，则需要多少时间可以抽完?解：将示意图中离地面h 深d h 厚的一层水吸到地面，外力需作的功d A 为()()h S m hSgh gh m A d d d d d ρρ===()610211023.4221d 100⨯=+==∴⎰+h h h Sg h Sgh A h h h ρρ JN A tN 出出入==η2361051.1103580.0102.4⨯=⨯⨯⨯==∴入出N A t η sy oxaR图3-23-5如题图，将原长l 0=6.0cm 的弹性皮筋装在间距AB=2a =8.0cm 的刚性支架上，这时皮筋张力T 0=4.0N.今在AB 中点处沿垂直于AB 的方向加一外力缓慢地将皮筋拉成折线ACB ，已知AC=BC ，OC=b =3.0cm ，皮筋质量可略，由功的定义求拉伸皮筋的过程中外力作的功.解：把整根皮筋看作两根弹簧，每根弹簧的劲度系数可以求出。
由 T k a l 002=-⎛⎝⎭⎪，得 400=k N/m如图建立y 轴，在皮筋中点位移d y 的过程中，外力F 应作功y T A d cos 2d α=式中：cos α=+ya y 22，⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2022l y a k T ；12.0d 22220022=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∴⎰y y a y l y a k A bJ3-6如图所示，一子弹水平地射入一静止在光滑水平桌面上的木块，二者一起平动.已知子弹射入木块的深度为s 0，子弹在木块中达到相对静止的过程中木块位移为s ′，木块对子弹的平均阻力为F 0.分别以木块、地面为参考系，求此过程中 (1)阻力对子弹作了多少功? (2)子弹对木块作了多少功?(3)这对作用力反作用力作功之和. 解：(1) 木块为参照系：-F S 00 , 地面为参照系：()-+'F S S 00; (2) 木块为参照系： 0 , 地面为参照系：S F '0;(3) 木块为参照系：-F S 00 , 地面为参照系：-F S 00。
3-7证明：一对作用与反作用力所作的总功，与参考系的选择无关.证明：图中，f 1 , f 2表示m m 12,之间的一对相互作用力，因此有f 1 = - f 2。
设在微过程中m m 12,相对于某参照系的位移为d r 1,d r 2，则在此参照系中算得这一对力所做元功之和为：()122212221121r f r r f r f r f d d d d d d d d -=--=⋅+⋅=+=A A A式中12r d 为质点1对质点2的位移，显然这与参照系的选择无关。
⎰⋅-=∴122r f d AA BC O a b 图3-5图3-6s's 0r 2 2BO也与参照系选择无关。
证毕。
3-8某质点的质量m =0.2kg ，其运动方程为 x =4+3t 2y =9t (SI) z=10求t =5s 到t =10s 这段时间内，合外力对这个质点所作的功. 解：解法一：由运动方程有sm d d .d d ,d d ,smd d 2t txt zt yt x6006222222====又⎰⎰⎰⎰⨯=====∴212121210510726212121x x t t x x x x t t t v x x F A .d .d .d .d J解法二：由运动方程可得t 时刻质点速度为81362222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=t t z t y t x v d d d d d d令v v 510,分别代表质点在t t ==510,时的速率，则由动能定理有()2521021v v m A -=合 =2.7×102 J3-9质量为m 的雪撬从四分之一圆周的圆弧坡上由静止滑下，并在水平地面上滑行一段距离s 后停下来(如图).设雪橇和地面间摩擦系数为常量，雪橇到达水平面A 点时的速度为v ，圆弧的半径为R . 求摩擦力的功和摩擦系数μ. 解：从圆弧坡上滑下 mgR =A μ 1+221mv 在水平地面上滑行 221mv =μmgs = A μ 2 ∴ 摩擦力的功= mgRμ =gsv 23-10一轻弹簧，劲度系数为k ，一端固定在A 点，一端连一质量为m 的物体，靠在光滑的半径为a 的圆柱体表面上，弹簧原长为AB. 在变力F (沿切线方向)作用下，物体极缓慢地沿表面从位置B 移到C ，求力F 所作的功.(1) 用功的定义作； (2) 用动能定理作. 解：(1) 由于物体沿表面运动极其缓慢，可认为物体受力平衡。
在切向有 F mg f =+cos α 又f ka =α()22021θθαααθθka mga a ka mg A F +=+=⋅=∴⎰⎰sin d cos d S F (2)质点运动中动能增量为零。
所以由动能定理有 A A A A A F N f G 合=+++=0F CBAOa θ图3-10图 3-9而 A N =0, A mga G =-sin θ, ()A k a f =-122θ∴=--=+A A A mga ka F G f sin θθ12223-11把竖直挂着的质量为m 、长度为L 的均匀铁链的下端缓慢对折回来和上端挂在一起，要作多少功?解：显然对折后铁链的质心上升了L 4，对铁链地球系统用功能原理有A E mg L 外重==∆43-12 二质点的质量各为m 1，m 2．当它们之间的距离由a 缩短到b 的过程中，万有引力所做的功等于多少？解：一对力的功与参考系无关，取坐标如图A =⎰⋅)()(d b a r F 2=r r m m Gbad ⎰-221 =Gm 1m2 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-a b 113-13河中的水流速度为v ，某人以力F 拉住在河水中的船，使船相对于岸不动.以地面为参考系，人对船所做的功率是多少？以流水为参考系，人对船所做的功率又是多少？ 解：以地面为参考系 N =F ·v 船=0以流水为参考系N =F ·v 船′= F ·v = F ·v3-14一弹簧原长l 0＝0.10m ，劲度系数k ＝50N ·m -1，其一端固定在半径为R ＝0.10m 的半圆环的端点A ，另一端与一套在半圆环上的小环相连．求：在把小环由半圆环中点B 移到另一端C 的过程中，弹簧的拉力对小环所作的功．解：设弹簧的伸长量为l 弹簧力 F = -kl r 0A =⎰⎰--⋅-=⋅022l R l R l kl d d (C)(B)r F =kR 2(12-)=50×0.102×(12-) J = -0.21 J3-15一柔软纤细匀质的绳子，总长为l ，放在光滑的桌面上，其一端下垂伸入桌面上光滑的小孔内，长度是a .假定开始时绳子是静止的，问在下面两种情况下，绳子全都掉进小孔时的速度是多少？(1)在桌面上的绳子是伸直的；mm12v图 3-19(2)在桌面上的绳子是紧靠在小孔旁边堆放着. 解：设单位长度的质量为λ(1) 如图，当下落到x 时，绳子受外力的合力为F =λgx i 有： λgx =λltv d d gx d x =lv d v 积分得： gx 2l a=lv 2v 0v =)(22a l lg - (2) 如图，当下落到x 时，绳子受外力的合力为F =λgx i 有： λgx =txv d )d(λ 注意到：此时受力的只是下落的部分绳子，以它为研究对象m= λx ，是个变质量问题，故用此式。
移项 λgx d t =λd(xv ) 配方 gx 2d x =xv d(xv )⎰⎰=lvlaxv xv x gx2)d(d)(33232a l lg v -=分析：此题的前一问，在运动过程中系统的机械能守恒，可以用来解题：E 1=2a ag ⋅-λ E 2=2212lv l lg λλ+-由E 1=E 2 得 v =)(22a l lg - 而在第二问中，由于绳子在下落过程中总有一小段绳子的速度从0变为v ，也就是说，存在冲击过程，机械能不守恒，不能用机械能守恒定律来解题。
3-16一质量为m 的地球卫星，沿一圆轨道运动，离开地面的高度等于地球半径的二倍(即2R ).试以m , R ，引力恒量G 0，地球质量M E 表示出： (1)卫星的动能；(2)卫星在地球引力场中的引力势能；(3)卫星和地球系统的总机械能. 解：(1) 卫星在地球引力的作用下绕地球作圆周运动，它的动力学方程为：rv m F 2=引力，l-axl-a 0 ax令 r R =3，则 ()G mM R m v R E mv G mM RE K E0222033126=∴== (2) 按定义，引力势能为 E G mM r G mM Rp E E =-=-003 (3) E E E G mM R G mM R G mM Rk p E E E=+=-=-0006363-17小球的质量为m ，沿着光滑的弯曲轨道滑下，轨道的形状如图所示.设小球的初速为零，问： (1) 要使小球沿圆形轨道运动一周而不脱离轨道，小球最低应从多高的地方滑下?(2) 如果小球由H =2R 的高度滑下，小球在何处离开轨道? 解：(1) 在圆周的最高点处m 的速率为v, 则其动力学方程为N mg m v R+=2又，m 与地球系统的机械能守恒，所以有 mgH mg R mv =+2122m 不脱离轨道，应有N ≥0, 解出v gR 2≥。