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2014北京市海淀区高考数学(理)二模试题(附答案)

数学(理科)参考答案 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1)}12.213.14.6,5050{本题第一空3分,第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解:(Ⅰ)由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b =所以sin sin b A B a ===---------------------------5分 在锐角ABC ∆中,60B = ---------------------------7分 (Ⅱ)由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-,即23c =-------------------------------11分解得c =-------------------------------12分经检验,由222cos 02b c a A bc +-==可得90A >,不符合题意,所以c =.--------------------13分 16.解:(Ⅰ)因为1//C F 平面AEG 又1C F ⊂平面11ACC A ,平面11ACC A 平面AEG AG =,所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点,且侧面11ACC A 为平行四边形1所以G 为1CC 中点,所以112CG CC =.------------------------4分 (Ⅱ)因为1AA ⊥底面ABC ,所以1AA AB ⊥,1AA AC ⊥, ----------------------------------5分 又AB AC ⊥,如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,设2AB =,则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分因为,E G 分别是1,BC CC 的中点,所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=.--------------------------------8分所以1EG CA ⊥,所以1EG AC ⊥. --------------------------------9分 (Ⅲ)设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ,则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩--------------------------10分 令1x =,则1,2y z =-=-,所以(1,1,2)=--n .--------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分 由题意知二面角1A AG E --为钝角, 所以二面角1A AG E --的余弦值为.--------------------------------14分 16.解:(Ⅰ)设A 车在星期i 出车的事件为i A ,B 车在星期i 出车的事件为i B ,1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ,-------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立,且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分 所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯--------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分,有一个不扣分}(Ⅱ)X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯= 112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯=----------------------------10分所以X 的的分布列为-------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分 18.解: (Ⅰ)当π2a =时,π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x = --------------------------------------2分(),'()f x f x 的情况如下--------------------------------------------------4分 因为(0)1f =,(π)1f =-,所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 (Ⅱ)'()()cos f x x a x =-, ①当ππ2a <<时,(),'()f x f x 的情况如下-------------------------------------------------9分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ,单调减区间为π(0,)2和(,π)a ②当πa ≥时,(),'()f x f x 的情况如下------------------------------------------------13分 所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2,单调减区间为π(0,)2. 19.解:(Ⅰ)由已知可设椭圆G 的方程为:2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分 由e =222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分 解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分 (Ⅱ)法一:设00(,),C x y 且00x ≠,则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =,得001M x x y -=-,所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--,求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+ -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=202011x y -+-, --------------------------------------10分由00(,)C x y 在椭圆G :2212x y +=上,所以22002(1)x y =-,-------------------11分所以10AM AN ⋅=-≠, -----------------------------13分 所以90MAN ∠≠,所以,以线段MN 为直径的圆不过点A .------------------------------14分 法二:因为,C D 关于y 轴对称,且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上,又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠, ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠,则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分 因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>,----------------11分 所以90ACB ∠≠, -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三:设直线AC 的方程为1y kx =+,则1(,0)M k-, ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩化简得到222(1)20x kx ++-=, 所以22(12)40k x kx ++=,所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++,所以222421(,)2121k k C k k --+++, ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称,所以222421(,)2121k k D k k -+++.----------------------------8分 所以直线BD 的方程为22221121121k k y x k -+++=-+,即112y x k =-.------------------10分 令0y =,得到2x k =,所以(2,0)N k . --------------------11分1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠, ----------------------12分所以90MAN ∠≠, ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点.--------------------------14分{法4 :转化为文科题做,考查向量AC AN ⋅的取值}20.解:(Ⅰ)110d =,27d =,20142d =---------------------------3分 (Ⅱ)法一:①当2d =时,则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++,122d a a =+-=,由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数2a +变为最小数a ,最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +,所以数组的极差不会改变. 所以,当2d =时,(1,2,3,)n d d n ==恒成立. ②当3d ≥时,则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论,满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2.---------------------8分 法二:因为a b c <<,所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥ 所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-,若2c -为最大数,则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+,则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-,则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+, 当3b c d -+=时,可得32b c -+≥,即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时,2n d =(1,2,3,n =)由操作规则可知,每次操作,数组中的最大数2a +变为最小数a ,最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +,所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 (Ⅲ)因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项, 所以,,a b c 是形如4k m ⋅(其中*m ∈N )的数,又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数.------------------------------------------------9分 法1:设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =,不妨设a b c <<,依据操作f 的规则,当在三元数组(,,)i f a b c (1,2,3,,i x =,x ∈N )中,总满足i c 是唯一最大数,i a 是最小数时,一定有2a x b x c x +<+<-,解得3c b x -<. 所以,当2,3,,13c b i -=-时,111(2)(1)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c b f a b c -+-++=,3c bd b a -=- 依据操作f 的规则,当在三元数组(,,)i f a b c (,1,,333c b c b c b i y ---=++,y ∈N )中,总满足i i c b =是最大数,i a 是最小数时,一定有32233a cbc b y y +-++<-,解得3b a y -<. 所以,当,1,,1333c b c b c a i ---=+-时,111(1)(2)3i i i i i id c a c a d ---=-=--+=-. 3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b c f a b c -++++++=,30c a d -= 所以存在3c a n -=,满足(,,)n f a b c 的极差0nd =.--------------------------------13分 法2:设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =,则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时,不妨设i i i a b c ≤<,则 1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-,所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=-- 所以,若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数,则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤,则3i d ≥,1130i i i i c b c b ++-=--≥, 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时,不妨设i i i a b c <=,则 1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-,所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-, 所以,若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数,则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤,则3i d ≥,1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时,数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时,由上述分析可得10i d +=,此时1113i i i a b c a b c +++++=== 所以存在3d n =,满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。

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