2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =I ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2xC y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.C 1.D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a r 、b r 满足1a =r ，()2,1b =r ，且()0a b R λλ+=∈r r，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在学科网区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小学科网（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b L，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤L ，其中112max{(),}k k T P a a a -+++L 表示1()k T P -和12k a a a +++L 两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）-1 （10（11）221312x y -= 2y x =± （12）8（13）36 （14）π三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC∠=，所以sin ADC ∠=。

所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠11727214=-⨯=。

（Ⅱ）在ABD ∆中，由正弦定理得8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅2218528549=+-⨯⨯⨯=（16）解（I）根据投篮计数据可以算出李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。

则C=AB ABU，A,B独立。

根据投篮统计数据，32 (),()55 P A P B==.()()() P C P AB P AB=+33225555=⨯+⨯1325=所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为13 25.（Ⅲ）EX x=.（17）（共14分）解：（I ）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB ∥DE 。

又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB ∥平面PDE ，因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF I 平面PDF FG =，所以AB ∥FG 。

（Ⅱ）因为PA ⊥底面ABCDE,所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ,(2,1,0)C ,(0,0,2)P ,(0,1,1)F , BC uuu r (1,1,0)=.设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 即0,0.x y z =⎧⎨+=⎩ 令1,z =，则1y =-。

所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为a,则1sin cos ,2n BC a n BC n BC⋅===u u u r u u u r u u u r 。

因此直线BC 与平面ABF 所成角为30o .设点H 的坐标为(,,).u v w 。

因为点H 在棱PC 上，所以可设(01),PH PC λλ=u u u r u u u rp p ，即(,,2)(2,1,2).u v w λ-=-。

所以2,,22u v w λλλ===-。

因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AB ⋅=u u u r，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ-⋅-=。

解得23λ=，所以点H 的坐标为422(,,).333。

所以2PH==（18）（共13分）解：（I ）由()cos sin f x x x x =-得 '()cos sin cos sin f x x x x x x x =--=-。

因为在区间(0,)2π上'()f x sin 0x x =-p ，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减。

从而()f x (0)0f ≤=。

（Ⅱ）当0x f 时，“sin x a x f ”等价于“sin 0x ax -f ”“sin x b xp ”等价于“sin 0x bx -p ”。

令()g x sin x cx =-，则'()g x cos x c =-，当0c ≤时，()0g x f 对任意(0,)2x π∈恒成立。

当1c ≥时，因为对任意(0,)2x π∈，'()g x cos x c =-0p ，所以()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减。

从而()g x (0)0g =p 对任意(0,)2x π∈恒成立。