1数论问题【数的整除】【知识点拨】1.一些被常见数整除的特征：2系列；3系列；5系列；7、11、13系列 ○12系列 被2整除只需看个位能否被2整除 被4除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推 ○23系列 被3整除只需看各位数字之和能否被3整除 被9整除只需看各位数字之和能否被9整除 ○35系列 被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除 即只可能是00，25，50，75被125整除的特征依次类推看末三位 ○47、11、13系别 通用特点：(1)一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除 比如201201＝201×1001，则其必然能被7、11、13整除 (2)从右过开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差(大减小)如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数 【例1】123456789奇数段之和：789+123＝912 偶数段之和：456奇数段与偶数段之差：912-456＝456456不是7的倍数，不是11的倍数，不是13的倍数。

则123456789也不是7，11，13的倍数特殊特点： 被11整除：从右边开始，奇数位之和与偶数位之和的差（大减小）是11的倍数【小试牛刀】1.判断下列各数，哪些能被4、8、25、125、3、9、11其中的一些数整除。

437250 96255 42104 6875 752604 3082.判断1027、45038，哪个能被13整除，哪个能被7整除？3.如果有一个九位数A1999311B 能被72整除，那么A 、B 两数值差为____________.4.若四位数a 987能被3整除，那么a =___________.5.0、3、5、7四个数字中选取3个排成能同时被2、3、5整除的三位数，符合条件的三位数有___________.6.多位数200973620092009⋅⋅⋅，能被11整除，n 最小值为__________.学校_____________ 班级_______________ 姓名_______________ 联系方式_______________密 封 线2【分解质因数】【知识点拨】1.质因数与分解质因数(1)质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数 (2)互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数(3)分解质因数：把一个数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数 例如：53230⨯⨯=.其中2、3、5叫做30的质因数. 又如:32322122⨯=⨯⨯=，2、3都叫做12的质因数.其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.(4)分解质因数的方法:短除法(是短除法的符号)所以12＝2×2×3)例如：【小试牛刀】1.有24个梨平均分给小朋友，每份大于1个，小于24个，一共有多少种不同的分配方法？2.150个同学排成长队做操，行数和列数都不能为1，共有多少种排法？3.甲比乙多2个苹果，两人苹果数的积是24，问:甲、乙各有几个苹果？4.公园内有三只小熊猫，恰好一只比一只大1岁，它们的年之积是60，问:最小的熊猫几岁？5.三个连续偶数的积是192，这三个连续偶数的和是多少?6.有一个长方体，它的长、宽、高是三个连续的自然数，且体积是3210m ，求长方体的 表面积。

7. 要使（ ）301251915⨯⨯⨯⨯的积的末尾有四个0，括号内最小应是什么数？8. 把39，45，49，56，60，70，78，84，91九个数分成三组，使每组中三个数的乘积相等。

9.小明参加区小学五年级数学竟赛，获得的名次、分数和他的年龄的乘积是3492，你猜小明的名次和成绩各是多少?10.陈老师有一张电影票，电影票的排数和行数的最小公倍数是84，最大公约数是3，3那么陈老师在第几排、第几座(排数小于座数)？11.如果48,14=⨯=+B A B A ，那么A 与B 的差是多少? 12.把323247和6946约分。

13.老师用100元去买一种钢笔若干支，如果每支便宜1元，那就多买5支。

问:钢笔的原价是多少？14.求1150的约数中，除了它本身以外最大的约数是几?15.有三个自然数a 、b 、c ，已知77,55,35=⨯=⨯=⨯a c c b b a ，求a 、b 、c 三数的乘积.16.张爷爷今年84岁，他告诉人家:“我有3个孙子，他们年龄的乗积和我的年龄一样大，而且两个孙子的年龄和正好是另外一个孙子的年龄。

“问:张爷爷的三个孙子各是多大?17.把一批图书分给三个班，每个班所得的本数一班比一班多3本，且各班所得图书的乘积为910。

问:三个班各得多少本？18.在100到200之间找出两个整数，使它的乘积等于30030.19.十几辆卡车运输315桶汽油，每辆卡车运的桶数一样多，且一次运完，问:有多少辆卡车?20.某超市出售5元的笔记本，降价处理后，一下子卖完库存，共得319.3元，问:库存 多少本笔记本，每本降价多少?4【约数和倍数】【知识点拨】1.约数和倍数：若整数a 能够被b 整除，a 叫做b 的倍数，b 就叫做a 的约数。

公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；在所有约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

求一个数约数个数的方法：cbaz y x A ⨯⨯=（x 、y 、z 互质），A 的约数个数有()()()111+⨯+⨯+c b a【例1】360有几个约数先将360分解质因数：123532533222360⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=，那么360的约数有：()()()24111213=+++求最大公约数基本方法：1.分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

【例】.732252,117323122⨯⨯=⨯⨯=，所以()2173252231=⨯=，2.短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘.3.辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。

【例】求6731和2809的最大公因数1113228096731⋅⋅⋅=÷，583211132809⋅⋅⋅=÷，53015831113⋅⋅⋅=÷，531530583⋅⋅⋅=÷，1053530=÷无余数，所以6731和2809的最大公因数为53公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。

求最小公倍数基本方法：1.短除法：先找所包含的因数，然后相乘2.分解质因数：先分解质因数，然后把所有出现过的因数连乘起来，相同的只乘一次. 【例】732252,117323122⨯⨯=⨯⨯= 所以[]11732252,23122⨯⨯⨯=【小试牛刀】1.60、144、360各有几个约数？2.两个数的的最小公倍数是1925，这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到两个商的和是16，这两个整数分别是_________和__________.3.甲数是36，甲乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288，那么乙数是___________.4.若A=2×3×5，B=2×2×3，那么A 和B 的最大公因数是__________,最小公倍数是________.5.把120分解质因数，120的因数一共有___________个.6.两个连续偶数的和是34，这两个数分别是__________、_________它们的最大公约数是__________，最小公倍数是___________.7. 一个乘法算式：975×935×932×（ ），要使这个乘积的最后四位数字都是0，括号中最小应填___________.8.在大于100并且不超过300的自然数中有__________个数是5的倍数.9.两个自然数a与b的最大公因数是14，最小公倍数是280，它们的和是________或___________.10.两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210，已知这两个数和是77，这两个数分别是__________和__________.11.有三根钢管，分别长200cm、240cm、360cm，现在要把这三根钢管截成尽可能长而且又相等的小段，一共能截成多少段？12.某苗圃的工人加工一种精巧的盆景，第一批加工1788个，第二批加工1680个，第三批加工2098个，各批平均分给工人加工，分别剩下7个、3个、5个，问：最多有多少工人参加加工？13.一间长5.6m、宽3.2m的屋子，它的水泥地在施工中要划成正方形的格子，这种方格面积最大是多少平方米?14.有一个数分别去除492，2241，3195余数都是15，求这个数最大是多少?15.两个数之和为104055，最大公约数为6937，这样的两个数共有几组?16.用尽可能大的整数作除数去除265、365、607三数，余数分别为1，5，7，同:这个除数是几？17.有长方形土地一块，长532m，宽308m，现在四角和四周植树，两棵树之间的距离相等且要求最大，求一共能植树多少棵？两棵树之间的距离是多少？18.有一个三角形花圃，三边的长度分别是56m、36m、24m。

现在这三条边上等距离栽菊花，并且每两株菊花之间的距离尽量大。

问:一共栽多少株菊花?19.现有12dm的铁丝12根，18dm的铁丝9根24dm的铁丝10根。

现在要把它们截成一样长的铁丝，不能浪费，截下的铁丝要最长，求铁丝长多少米？可以截多少根？520.两个自然数的差是14，它们的最大公约数是14，最小公倍数是84。

这两个数各是多少？21.有一个数乗以222，其积为1295的倍数，这个数最小是多少?22.已知两个数的和是125，它们的最大公约数是25，求这两个数.23.有周长为7920m的跑马场，红马每分钟跑396m，白马每分钟跑528m，黑马每分钟跑660m，现三马同时由一点沿马场周围跑，问：几分钟后它们能在出发点第一次相遇?24.设计一种底面为正方形的仓箱装运四种不同规格的药盒，每种药盒是正方体，其边长分别是21cm、12cm、14cm和10.5cm，要使仓储箱不论装哪一种药盒都能铺满底盒。

问:仓储箱的底面边长至少要多少厘米?25.长方形砖长42cm，宽26cm，用这种砖铺成一个正方形地面，至少需要多少块砖？26.一排电线杆每两根的距离为45m，现在要改为60m，如果起点的一根不动，再过多远又有一根不需要移动？27.公路上一排电线杆共25根，每相邻两根间的距离原来都是45m，现在要改成60m，可以几根不要移动？28.把一批奖金分给甲、乙两个生产组，平均每人得6元，如果只分给甲组，平均每人可得10元，如果只分给乙组，每人可得几元？29.不满千人的土兵等分为四队。