马氏链模型在基因遗传中的应用
摘要：马尔可夫模型是研究离散时间、离散状态随机转移过程的有力工具。

本文利用状态转移的无后效性，通过定义状态和状态概率构造转移概率矩阵建立
马氏模型，并讨论此模型在基因遗传中的应用。

关键词：马尔可夫模型；概率矩阵；基因遗传
1 引言
随着科技的进步，人们为了提高产量，越来越注重遗传学的研究。

豆子的茎秆有黄有绿，猪的毛有白有黑，人类会出现色盲等先天性疾病，这些都
是基因遗传的结果。

无论是人，还是动植物的基因从一代到下一代的转移都是随
机的，并且无后效性，于是马氏链成为遗传学的工具。

本文将利用马氏链建立一
个属于完全优势基因遗传的模型，并讨论该模型在基因遗传中的应用。

2 模型的建立
在自然界中，生物个体的遗传特征是由两个基因决定的，用A表示优势基因，用a表示劣势基因。

于是个体就有三种基因类型，即是两个优势基因AA，称为优种，优势基因与劣势基因各一个Aa，称为混种，两个劣势基因aa，称为劣种。

若个体的基因类型为优种或混种时，外部特征为优势，如豆子的茎秆是绿色，个
体的基因类型为劣种时，外部特征是劣势，如豆子的茎秆是黄色。

生物繁殖时，一个后代从父本和母本中各继承一个基因，即后代属
于哪一种基因类型完全由父母的基因类型决定，与再上一代的基因类型无关，满
足马氏链模型中的无后效性。

下面利用马尔可夫模型来比较一下混种繁殖和优种繁殖两种繁殖形式，哪种
更好?在繁殖的过程中用一混种与一个个体交配，所得后代仍用混种交配，如此
继续下去，称为混种繁殖。

建立马氏链模型描述在混种繁殖下各代具有三种基因
类型的概率，并讨论稳态情况。

用基因类型优种AA（第一种），混种Aa（第二种）和劣种aa（第三种）定义状态，状态概率表示第代个体具有第种基因类型的概率，记作。

当用混种Aa与优种AA交配时，后代的基因类型只能是AA和Aa，其概率各为½，当用混种Aa与Aa交配时，后代的基因类型可以是AA，Aa和aa，其概率分别为¼，½，¼，当用混种Aa与劣种aa交配时，后代的基因类型只能是Aa 和aa，其概率各为½，由此可以写出转移概率矩阵为
设初始混种与优种交配，即，由（，为转移概率矩阵）式计算任意时段的状态概率，计算结果如下表，
混种繁殖下三种基因类型的状态概率（初始与优种交配）
由此表可以看出，当时，表明经过足够多代繁殖以后，优种、混种、劣种的比例接近于下面我们通过计算验证这个猜想。

由于
，
所以这个马氏链是正则链，因为正则链存在唯一的稳定概率，记作
由，得
其实混种与劣种交配，当时，也会有同样的结果。

解方程组，得这与上面表格所表明得结果一致。

下面我们将混种交配改为优种交配，当用优种AA与混种Aa交配时，后代的
基因类型是AA，Aa的概率各为½，当用优种AA与劣种aa交配时，其后代的基因
类型只有混种Aa，且其概率为1。

于是，优种繁殖的转移概率矩阵为，根据吸收链的定义，可知此马氏链是吸收链，优种AA是吸收态。

因此，不论初
始时用优种与优种，优种与混种，还是优种与劣种交配，最终都将成为优种。

在农业、畜牧业生产中常常是纯种（优种或劣种）的抗病性等品质不如混种，仅从这个意义上说，以上两个马氏链模型，用混种繁殖比用优种繁殖的效果要好。

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