圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关 系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程， 通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线?如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种 定点模型:模型一：“手电筒”模型8mk x x4(m 2 3)2 , x i x 22~3 4k 23 4k 2定点张直角的一组性质”）例题、（07山东）已知椭圆C ：2X 2y1若直线l : y kx m 与椭圆C 相交于 A , B 两点4 3不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证: 直线 l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设 A(x i , yJ,B(X 2, y 2)，由 y 3x 2 kx 4y 2 m + 2 2 得(3 4k 2)x 2 128mkx 4( m 2 3) 0 ,2 2 2 264m k 16(3 4k )(m3)0 , 32 24k m(A , B考。

如果大家能够熟识这些常见的结论, X iy i2y 2 (kx-i m) (kx 2 m) k x 1x 2 mk(x 1 x 2)Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0),且 k AD k B D 3(m 2 4k 2)3 4k 2 1 ,y i y 2 x 1 2x 22 1, y i y2 X i X2 2(X i X 2) 4 0，3(m 2 4k 2)4(m 2 3) 3 4k 23 4k 2 整理得 :7m 2 16mk 4k 2 当m2k 时, l:yk(x 当m2k 亠 时l:yk(x16mk3 4k 2 0 ,解得：m i2），直线过定点 ―），直线过定点综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为（彳,0）.2k,m 2空，且满足3 4k 27（2,0）,与已知矛盾; (2,0)♦方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直X )(a 2 b 2) y °(a线交圆锥曲线于 AB,则AB 必过定点（a 2b 22 b 2）2 T 1） o （参考百度文库文章: a b“圆锥曲线的弦对7♦模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP与BP条件（如k AP?k BP定值，k AP k BP 定值），直线AB依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）此模型解题步骤：Stepl ：设AB直线y kx m，联立曲线方程得根与系数关系，求出参数范围；Step2 :由AP与BP关系（如k AP ?k BP1）,得一次函数k f （m）或者m f （k）；Step3 :将k f(m)或者m f (k)代入y kx m，得y k(x♦迁移训练练习1：过抛物线M: y2 2px上一点P（1,2 ）作倾斜角互补的直线证：直线AB过定点。

（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）例题，多种解法）1 1(5, 5))2p,2 p )由韦达定理知y1x定）y定。

PA与PB,交M于A B两点，求练习2：过抛物线M: 2y 4x的顶点任意作两条互相垂直的弦OA0B求证：直线AB过定点。

（经典练习3: 过2x21上的点作动弦AB AC且k AB ?k Ac 3，证明BC恒过定点。

（本题参考答案:练习:4 : B是轨迹C : y 2 px（ P 0）上异于原点0的两个不同点，直线0A和0B的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标。

4（参考答案【答案】设A ,B X2,y2 ，由题意得％, x20 ,又直线OA,OB的倾斜角满足7，所以直线AB的斜率存在，否则, OA,OB直线的倾斜角之和为从而设AB方程为y kx b,2 2p，将y kx b与 2 px（ P 0）联立消去x，得 2ky 2py 2pb 04，得 1 = tan tan(4 )_ tan1 tan tan y-i y2 4p2将①式代入上式整理化简可得:2pb 2pktan_ _2p(y1 y?) 1，所以b 2p 2pk ,此时，直线AB 的方程可表示为y kx 2p 2 pk 即k(x 2p) y 2p 0 所以直线AB 恒过定点 2p,2p .练习5: (2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点 A (4,0), 且在y 轴上截得的弦 MN 的长为8. (I )求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (n )已知点 耳-1,0),设不垂直于x 轴的直线与轨迹 C 交于不同的两点 P Q 若x 轴是的角平分线，证 明直线过定点.【答案】解：(I ) A (4,0),设圆心C(n )点巳-1,0),直线PQ 方程为：所以，直线PQ 过定点(1,0)(1) 求点P 的轨迹C 对应的方程；(2) 已知点A(m,2)在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ，判断：直 线DE 是否过定点？试证明你的结论 .【解】(1 )设 P (x ，y)代入〔PCZBC 1 PB CB 得.(x 1)2 y 2 1 x ，化简得 y 2 4x. (5 分)(2)将A(m,2)代入y 2 4x 得m 1,点A 的坐标为(1,2).设直线DE 的方程为x myt 代入y 2 4x,得 y 24mt 4t 0,设D(x 1, y 1), E(x 2, y 2)则y 1 y 24m, y 1 y 24t ,( 4m)2 16t 0(*)A D A E (x 1 1)(x 2 1)(Y 1 2)( y 22) NX 2 (为 X 2) 1 y 1 Y 2 2(y 1 y 2)42 2 2 2旳 y 2y 2、 ,)y 1 y 22( y 1 y 2) 54 44 4(y 1 y 2)2 (y 1 y 2)2 2y 1y 2y y2(y 1 y 2)5164y 1 y 22(4t)(4 m)2 2( 4t)(4t) 2(4m)5 0化简得 t 2 6t 5 4m 2 8m16 4即t 2 6t 9 4m 2 8m 4即(t 3)24(m 1)2 t 32(m 1) t 2m 5或t2m 1,代入(*)式检验均满足直线DE 的方程为x m(y 2) 5或x m(y 2) 1 直线DE 过定点(5, 2).(定点(1,2)不满足题意练习6:已知点B 1,0 ,C 1,0 ,P 是平面上一动点，且满足uur uuu|PC| |BC|uuu mu PB CB练习7：已知点A （- 1, 0）, B （ 1,— 1 ）和抛物线.C:y 2 4x , O 为坐标原点，过点 A 的动直线Ik AMk DM，即 ■ y 1 2 y 1 4y 121y 14y 2 2,y 2 4第22题即y1 Jy“2 4y 1 4y 1 y 222OM OPy 1 y 2 y 1 y 2 5.4 4(II)设/ POM a 则 | 0M | | 0P | cos 5.S ROM5 2,| OM | | OP | sin 5.由此可得 tan a =1.又（0, ),45 ,故向量0M 与0P 的夹角为45 •2(川)设点Q(^4*3), M 、B 、 Q 三点共线,kBQ kQM，* y 3 即严2 :3_[y_上4 4 42(y 3 1)(y 1 y 3)y 34 ，即y 3 1 y f 4y 1 y 3即 4( y 2 4,即 y 1y 2y 3)河344,即畑4 y 3 y 2 0.(*)y 2Y 3 y 34 0.L 4 0,L L L 11 分k PQy 2 y _22y 2 4 4y 3直线PQ 的方程是y y 2即（y 丫2）（丫2 y ?） 4x (x y 2 y 3y ；，即 y (y 22号）y 3）河34x.由(*)式，y 2 y 3 4(y 2y 3） 4,代入上式，得（y 4）（ y 2y 3） 4（x 1）.交抛物线C 于M P,直线MB 交抛物线C 于另一点Q 如图•uuuu uuu(I )证明：OM OP 为定值;当点M 在的纵坐标为1时，求A ABM 的面积。

x x【解】(1)设 M (Ai,t)(t R), A(X 1,yJ, Bgy),则 MA 的方程为—3 4（I ）求抛物线的方程；由此可知直线 PQ 过定点E (1 , - 4)模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆x 2y 2 r 2上一点P(x o ,y °)处的切线方程为x °y y °y r 2”，类比也 2有结论：“椭圆笃 a2y- 1(ab 0)上一点P(x o ，y o )处的切线方程为X o X ~2_a与 1 ”，过椭圆C:b 2 1的右准线 l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. (1) 求证：直线 AB 恒过一定点;J 3•••点 M 在 MA 上•二捲ty 11① 同理可得—X 2 ty 21②3由①②知AB 的方程为-^x ty31,即 x ■ 3 (1 ty)易知右焦点F ( ,3,0)满足③式, 故 AB 恒过椭圆C 的右焦点F (、.. 3,0 )(2)把 AB 的方程 x 、3(12y)代入— y 21,化简得7y 6y4• |AB| .1 3 487Qi16 3 1又M 到AB 的距离d —3一71 323 31•••△ ABM 勺面积 S - | AB | 216.3 d21♦方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

♦方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些?参考：PPT 圆锥曲线的切线及切点弦方程，百度文库 参考：“尼尔森数学第一季_3下”，优酷视频 拓展：相交弦的蝴蝶特征一一蝴蝶定理，资料练习1 : ( 2013年广东省数学(理)卷)已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线：的距离为•设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点（n）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（川）当点在直线上移动时，求的最小值.【答案】（I）依题意，设抛物线的方程为，由结合,解得.所以抛物线的方程为（n）抛物线的方程为,即,求导得设,（其中）,则切线的斜率分别为”所以切线：，即，即同理可得切线的方程为因为切线均过点，所以，所以为方程的两组解.所以直线的方程为.（川）由抛物线定义可知”所以联立方程，消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得，所以又点在直线上，所以，所以所以当时，取得最小值，且最小值为.练习2: （2013年辽宁数学（理））如图，抛物线，点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）, 切线的斜率为•（I）求的值；（11）当在上运动时，求线段中点的轨迹方•【答案】模型三：相交弦过定点相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。