2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。

如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：模型一：“手电筒”模型例题、（07山东）已知椭圆C ：13422=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->212122284(3),3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122y yx x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++，整理得：2271640m mk k ++=，解得：1222,7k m k m =-=-，且满足22340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；当27k m =-时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2(,0).7◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))(,)((2222022220ba b a y b a b a x +-+-。

（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节）此模型解题步骤：Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；Step2：由AP 与BP 关系（如1-=•BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

◆迁移训练练习1：过抛物线M:px y 22=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。

（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）练习2：过抛物线M:x y 42=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。

（经典例题，多种解法）练习3：过1222=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=•AC AB k k ，证明BC 恒过定点。

（本题参考答案：)51,51(-） 练习:4：设A 、B 是轨迹C ：22(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4παβ+=时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

（参考答案()2,2p p -）【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4παβ+=，故0,4παβ<<，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为πAB 方程为y kx b =+，显然221212,22y y x x p p ==， 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：212pb pk=-，所以22b p pk =+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.练习5：（2013年高考陕西卷（理））已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C2222,2),,(EC ME CM CA MNME E MN y x +===，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（(Ⅱ) 点B (-1,0),222121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.080)()(88811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ方程为:)8(1)(21121112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=-1,088)(8)()(122112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y所以,直线PQ 过定点(1,0)练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ⋅=⋅（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论.【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 （5分）).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=∆-=⋅=+t m t y y m y y y x E y x D4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-⋅+++-=--+--=⋅∴y y y y x x x x y y x x AE AD5)(2)44(44212122212221++-⋅++-⋅=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-⋅+⋅-+-⋅=y y y y y y y y y ym m t t m t t m t 845605)4(2)4(4)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得)1(23)1(43484962222+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>∆+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线 ）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.（I ）证明: OM OP ⋅为定值; （II ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与OP 的夹角； （Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线， ,4414,222121211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,142121211=∴+=+y y y y y y 即 .544212221=+⋅=⋅∴y y y y OP OM (II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αOP OM S ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 3133222233131323133131311,,41444(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即分,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即第22题即.(*)04)(43232=+++y y y y,44432232232y y y y y y k PQ +=--=)4(422322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y 由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.模型二：切点弦恒过定点例题：有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。