第一章 多元正态分布的参数估计一、填空题1.设X 、Y 为两个随机向量，对一切的u 、v ，有 ，则称X 与Y 相互独立。

2.多元分析处理的数据一般都属于 数据。

3．多元正态向量()'=p X X X ,,1 的协方差阵∑是 ，则X 的各分量是相互独立的随机变量。

4．一个p 元函数()p x x x f ,,,21 能作为p R 中某个随机向量的密度函数的主要条件是 和 。

5．若p 个随机变量1X ，2X ， ，p X 的联合分布等于 ，则称1X ，2X ， ，p X 是相互独立的。

6.多元正态分布的任何边缘分布为 。

7.若()∑,~μp N X ，A 为p s ⨯阶常数阵，d 为s 维常数向量，则~d AX + 。

8.多元正态向量X 的任何一个分量子集的分布称为X 的 。

9.多元样本中，不同样品的观测值之间一定是 。

10.多元正态总体均值向量和协差阵的极大似然估计量分别是 。

11.多元正态总体均值向量μ和协差阵∑的估计量X 、S n 11-具有 、 和 。

12．设X 和S 分别是多元正态总体()∑,μp N 的样本均值向量和离差阵，则~X ，X 和S 。

13.若()()∑,~μαp N X ，n ,,2,1 =α且相互独立，则样本离差阵()()()()∑='--=nX X X X S 1~ααα 。

14．若()∑,~i p i n W S ，k i ,,1 =，且相互独立，则~21k S S S S +++= 。

二、判断题1.多元分布函数()x F 是单调不减函数，而且是右连续的。

2.设X 是p 维随机向量，则X 服从多元正态分布的充要条件是：它的任何组合()p R X ∈'αα都是一元正态分布。

3.μ是一个P 维的均值向量，当A 、B 为常数矩阵时，具有如下性质：（1）E （AX ）=AE （X ） （2）E （AXB ）=AE （X ）B4．若P 个随机变量X 1，…X P 的联合分布等于各自边缘分布的乘积，则称X 1，… X P 是相互独立的。

5．一般情况下，对任何随机向量()'=XXX p,,1，协差阵∑是对称阵，也是正定阵。

6．多元正态向量()'=X X X p,,1的任意线性变换仍然服从多元正态分布。

7．多元正态分布的任何边缘分布为正态分布，反之一样。

8．多元样本中，不同样品之间的观测值一定是相互独立的。

9．多元正态总体参数均值μ的估计量X 具有无偏性、有效性和一致性。

10．S n1是∑的无偏估计。

11.Wishart 分布是2χ分布在p 维正态情况下的推广。

12．若()()∑,~μαp N X ，n ,,1 =α，且相互独立，则样本离差阵()()()()()∑-'--=∑=,1~1n W X X X X S np ααα13．若()∑,~n W X p ，C 为奇异矩阵，则()c c n W C CX p '∑',~ 三、简答题1.多元正态分布有哪些基本性质?2.均值向量和协差阵的最大似然估计量有哪些优良性质?3.维希特分布有哪些基本性质?4.试述多元联合分布和边缘分布之间在关系。

四、证明题1.样本均值向量和离差阵也可以用样本资料X 直接表示如下：n X n X 11'=，X n I X S n n n ⎪⎭⎫⎝⎛'-'=111其中：()'=1,,1,11 n ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001I试分别给以证明。

五、计算题1.已知随机向量()'=21,X X X 的联合分布密度函数为()()()()()()()[]()()2221212122,c b a b c x a x c x a b a x c d x x f -------+--=其中,b x a ≤≤1,d x c ≤≤2.求:(1)随机变量1X 和2X 各自的边缘密度函数、均值与方差; (2)随机变量1X 和2X 的协方差和相关系数; (3)判断1X 和2X 是否相互独立。

第二章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验一、填空题1.在一个正态总体均值向量的假设检验中，在∑已知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从 分布。

2.若()∑,0~p N X ，()∑,~n W S p ，且X 与S 相互独立，令X S X n T 12-'=，则~12T npp n +- 。

3.在两个正态总体均值向量的假设检验中,假定其协差阵∑相等,则在∑已知的情况下,构造的统计量为 ,服从的分布为 ；在∑未知的情况下，构造的检验统计量为 ，服从的分布为 。

二、判断题1．设()∑,~μp N X ，()∑,~n W S p ，p n ≥，则称统计量X S X n T 12-'=的分布为非中心2HotellingT 分布，记为()μ,,~22n p T T。

2．在协差阵∑未知的情况下对均值向量进行检验，需要用样本协差阵S n1去代替∑。

3.2HotellingT 分布是一元统计分布中t 分布的推广。

三、简答题1．试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。

2．试述多元统计分析中2HotellingT 分布和一元统计中t 分布的关系。

第三章 主成分分析 一、填空题1．2．主成分分析的数学模型可简写为 ，该模型的系数要求3 4．第k 个主成分k yk 个主成分的累积贡献率为5spss6．主成分的协方差矩阵为_________矩阵。

7．原始变量协方差矩阵的特征根的统计含义是________________。

8．原始数据经过标准化处理，转化为均值为__ __，方差为__ __的标准值，且其________矩阵与相关系数矩阵相等。

9．在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为________。

10．SPSS 中主成分分析采用______________命令过程。

二、判断题1．主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性的指标，重新组合成一组新的相互无关的综合指标来代替原来指标。

（ ）2．主成分y 的协差阵为对角矩阵。

（ ）3.p x x x ,,,21 的主成分就是以∑的特征向量为系数的一个组合，它们互不相关，其方差为∑的特征根。

（ ）4．原始变量i x 的信息提取率()m i V 表示这m 个主成分所能够解释第i 个原始变量变动的程度。

（ ）5．在spss 中，可以直接进行主成分分析。

（ ） 6．主成分分析可用于筛选回归变量。

（ ）7．SPSS 中选取主成分的方法有两个：一种是根据特征根≥1来选取； 另一种是按照累积贡献率≥85%来选取。

（ ）8．主成分方差的大小说明了该综合指标反映p 个原始观测变量综合变动程度的能力的大小。

（ ）9．主成分表达式的系数向量是协方差矩阵∑的特征向量。

（ ）10．主成分k y 与原始变量i x 的相关系数()i k x y ,ρ反映了第k 个公共因子对第i 个原始变量的解释程度。

（ ） 三、简答题1．简述主成分的概念及几何意义。

2．主成分分析的基本思想是什么？ 3.简述主成分分析的计算步骤。

4．主成分有哪些性质？ 5．主成分主要应用在哪些方面？ 四、计算题1．假设3个变量1x 、2x 和3x 的协方差矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∑20053032要求用此协差阵和相应的相关阵对这3个变量进行主成分分析，根据计算结果说明应选取多少个主成分以代表原来的3个变量，并说明理由。

2．在一项研究中，测量了376只鸡的骨骼，并利用相关系数矩阵进行主成分分析，见下表：（1）解释6个主成分的实际意义。

（2）计算前三个主成分各自的贡献率和累积贡献率。

（3）对于y4,y5,y6的方差很小这一点，你怎样对实际情况作出推断。

3．假设某商场棉鞋1x 、凉鞋2x 、布鞋3x 三种商品销售量的协方差矩阵如下：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=∑20052021 试求各主成分，并对各主成分的贡献率和各个原始观测变量的信息提取率进行讨论。

4．对某市15个大中型工业企业进行经济效益分析，经研究确定，从有关经济效益指标中选取7个指标作分析，即固定资产产值率(X1)，固定资产利税率(X2)，资金利润率(X3)，资金利税率(X4)，流动资金周转天数(X5)，销售收入利税率(X6)和全员劳动生产率(X7)。

数据资料如下：根据下面SPSS软件的输出信息，回答：（1）这个数据的7个变量可以用几个综合变量（主成分）来表示？（2）这几个综合变量（主成分）包含有多少原来的信息？（3）写出这几个综合变量（主成分）的模型。

（4）构造综合评价函数为。

Total Variance ExplainedExtraction Method: Principal Component Analysis.Component Matrix(a)Extraction Method: Principal Component Analysis.a 2 components extracted.（1）这个数据的7个变量可以用二个综合变量来表示（2）前二个成分特征值对应的方差累计占了总方差的84.577%，它们已经代表了原来7个变量绝大部分的信息。

（3）由Component1、2的系数除以635.4、285.1，得到：7653.4/585.0653.4/943.0653.4/984.0653.4/888.03211xxxxY+++=7285.1/594.0285.1/028.0285.1/213.0212x x x Y -+-=（4）利用选取得二个主成分，以各主成分的方差贡献率作为权数，构造综合评价函数为：21ˆ%358.18ˆ%219.66Y Y F +=五、证明题主成分有三个重要性质： ⑴F 的协差阵为对角阵Λ； ⑵11ppiii i i σλ===∑∑；⑶(),k i F X ρ=试分别加以证明。

第四章 因子分析一、填空题1.因子分析常用的两种类型为 和 。

2.因子分析是将具有错综复杂关系的变量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以再现_____________与____________之间的相互关系。

3．因子分析就是通过寻找众多变量的 来简化变量中存在的复杂关系的一种方法。

4．因子分析是把每个原始变量分解成两个部分即 、 。

5．变量共同度是指因子载荷矩阵中_______________________。

6．公共因子方差与特殊因子方差之和为_______。

7．求解因子载荷矩阵常用的方法有 和 。

8．常用的因子旋转方法有 和 。

9．Spss 中因子分析采用 命令过程。

10．变量i X 的方差由两部分组成，一部分为 ，另一部分为 。