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基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)

基本不等式及其应用1.基本不等式 若a>0,,b>0,则a +b 2≥ab ,当且仅当 时取“=”.这一定理叙述为:两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. 注:运用均值不等式求最值时,必须注意以下三点: (1)各项或各因式均正;(一正) (2)和或积为定值;(二定)(3)等号成立的条件存在:含变数的各项均相等,取得最值.(三相等) 2.常用不等式(1)a 2+b 2≥ab 2(a ,b ∈R ).2a b+()0,>b a 注:不等式a 2+b 2≥2ab 和2ba +≥ab 它们成立的条件不同,前者只要求a 、b 都是实数,而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形:ab≤(2b a +)2.(3)ab≤22⎪⎭⎫⎝⎛+ba(a,b∈R).(4)ba+ab≥2(a,b同号且不为0).(5)22⎪⎭⎫⎝⎛+ba≤a2+b22(a,b∈R).(6)baabbaba1122222+≥≥+≥+()0,>ba(7)abc≤a3+b3+c33;(),,0a b c>(8)a+b+c3≥3abc;(),,0a b c>3.利用基本不等式求最大、最小值问题(1)求最小值:a>0,b>0,当ab为定值时,a+b,a2+b2有,即a +b≥,a2+b2≥.(2)求最大值:a>0,b>0,当a+b为定值时,ab有最大值,即;或a2+b2为定值时,ab有最大值(a>0,b>0),即.设a,b∈R,且a+b=3,则2a +2b的最小值是( )解:因为2a>0,2b>0,由基本不等式得2a+2b≥22a·2b=22a+b=42,当且仅当a=b=32时取等号,故选B.若a>0,b>0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为( )解:∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥22ab,即ab≤12.当且仅当a=1,b=12时等号成立.故选A.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )<v<ab=ab<v<a+b2=a+b2解:设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b,∴v=2ssa+sb=2aba+b<2ab2ab=ab.又v-a=2aba+b-a=ab-a2a+b>a2-a2a+b=0,∴v>a.故选A.(2014·上海)若实数x,y满足xy=1,则x 2+2y 2的最小值为________.解:由xy =1得x 2+2y 2=x 2+2x2≥22,当且仅当x =±42时等号成立.故填22.点(m ,n )在直线x +y =1位于第一象限内的图象上运动,则log 2m +log 2n 的最大值是________.解:由条件知,m >0,n >0,m +n =1, 所以mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m +n 22=14, 当且仅当m =n =12时取等号,∴log 2m +log 2n =log 2mn ≤log 214=-2,故填-2.类型一利用基本不等式求最值(1)求函数y=(x+5)(x+2)x+1(x>-1)的值域.解:∵x>-1,∴x+1>0,令m=x+1,则m>0,且y=(m+4)(m+1)m=m+4m+5≥2m·4m+5=9,当且仅当m=2时取等号,故y min=9.又当m→+∞或m→0时,y→+∞,故原函数的值域是[9,+∞).(2)下列不等式一定成立的是( )>lg x(x>0) +1sin x≥2(x≠kπ,k∈Z)+1≥2||x(x∈R) >1(x∈R)解:A中,x2+14≥x(x>0),当x=12时,x2+14=x.B中,sin x+1sin x≥2(sin x∈(0,1]);sin x+1sin x≤-2(sin x∈[-1,0)).C中,x2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0(x∈R).D中,1x2+1∈(0,1](x∈R).故C一定成立,故选C.点拨:这里(1)是形如f(x)=ax2+bx+cx+d的最值问题,只要分母x+d>0,都可以将f(x)转化为f(x)=a(x+d)+ex+d+h(这里ae>0;若ae<0,可以直接利用单调性等方法求最值),再利用基本不等式求其最值.(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等,特别注意等号成立条件要存在.(1)已知t>0,则函数f(t)=t2-4t+1t的最小值为.解:∵t>0,∴f(t)=t2-4t+1t=t+1t-4≥-2,当且仅当t=1时,f(t)min=-2,故填-2.(2)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:(Ⅰ)xy的最小值;(Ⅱ)x+y的最小值.解:(Ⅰ)由2x+8y-xy=0,得8x+2y=1,又x>0,y>0,则1=8x+2y≥28x·2y=8xy,得xy≥64,当且仅当x=4y,即x=16,y=4时等号成立.(Ⅱ)解法一:由2x+8y-xy=0,得x=8yy-2,∵x>0,∴y>2,则x+y=y+8yy-2=(y-2)+16y-2+10≥18,当且仅当y -2=16y -2,即y =6,x =12时等号成立. 解法二:由2x +8y -xy =0,得8x +2y=1,则x +y =⎝ ⎛⎭⎪⎫8x +2y ·(x +y )=10+2x y +8y x ≥10+22xy·8yx=18,当且仅当y=6,x =12时等号成立.类型二 利用基本不等式求有关参数范围若关于x 的不等式(1+k 2)x ≤k 4+4的解集是M ,则对任意实常数k ,总有( )∈M ,0∈M ∉M ,0∉M ∈M ,0∉M ∉M ,0∈M解法一:求出不等式的解集:(1+k 2)x ≤k 4+4⇒x ≤k 4+4k 2+1=(k 2+1)+5k 2+1-2⇒x ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k 2+1)+5k 2+1-2min =25-2(当且仅当k 2=5-1时取等号). 解法二(代入法):将x =2,x =0分别代入不等式中,判断关于k 的不等式解集是否为R .故选A. 点拨:一般地,对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然后求函数的最值.另外,要记住几个常见的有关不等式恒成立的等价命题:(1)a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max;(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min;(3)a>f(x)有解⇔a>f(x)min; (4)a<f(x)有解⇔a<f(x)max.已知函数f(x)=e x+e-x,其中e 是自然对数的底数.若关于x的不等式mf(x)≤e-x+m-1在(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.解:由条件知m(e x+e-x-1)≤e-x-1在(0,+∞)上恒成立.令t=e x(x>0),则t>1,且m≤-t-1t2-t+1=-1t-1+1t-1+1对任意t>1成立.∵t-1+1t-1+1≥2(t-1)·1t-1+1=3,∴-1t-1+1t-1+1≥-13,当且仅当t=2,即x=ln2时等号成立.故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-13.类型三 利用基本不等式解决实际问题围建一个面积为360 m 2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修),其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,设利用的旧墙的长度为x (单位:元),修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位:元).(1)将y 表示为x 的函数;(2)试确定x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用. 解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m ,则y=45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360.由已知xa=360,得a=360 x,所以y=225x+3602x-360(x≥2).(2)∵x≥0,∴225x+3602x≥2225×3602=10800,∴y=225x+3602x-360≥10440,当且仅当225x=3602x,即x=24时等号成立.答:当x=24 m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元.如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱,污水从A孔流入,经沉淀后从B孔排出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知排出的水中该杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m2,问a,b各为多少m时,经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(A,B孔面积忽略不计).解法一:设y为排出的水中杂质的质量分数,根据题意可知:y=kab,其中k是比例系数且k>0.依题意要使y最小,只需ab最大.由题设得:4b+2ab+2a≤60(a>0,b>0),即a+2b≤30-ab(a>0,b>0).∵a+2b≥22ab,∴22·ab+ab≤30,得0<ab≤32.当且仅当a=2b时取“=”号,ab最大值为18,此时得a=6,b=3.故当a=6 m,b=3 m时经沉淀后排出的水中杂质最少.解法二:同解法一得b≤30-aa+2,代入y=kab求解.1.若a >1,则a +1a -1的最小值是( )解:∵a >1,∴a +1a -1=a -1+1a -1+1≥2(a -1)·1a -1+1=2+1=3,当a =2时等号成立.故选C.2.设a ,b ∈R ,a ≠b ,且a +b =2,则下列各式正确的是( ) <1<a 2+b 22<1≤a 2+b 22<ab <a 2+b 22≤a 2+b 22≤1解:运用不等式ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22⇒ab ≤1以及(a +b )2≤2(a 2+b 2)⇒2≤a 2+b 2(由于a ≠b ,所以不能取等号)得,ab <1<a 2+b 22,故选A.3.函数f (x )=5-4x +x 22-x 在(-∞,2)上的最小值是( )解:当x <2时,2-x >0,因此f (x )=1+(4-4x +x 2)2-x =12-x+(2-x )≥2·12-x ·(2-x )=2,当且仅当12-x=2-x 时上式取等号.而此方程有解x =1∈(-∞,2),因此f (x )在(-∞,2)上的最小值为2,故选C.4.(2014·福建)要制作一个容积为4 m 3,高为1 m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )元 元 元元解:假设底面的长、宽分别为x m ,4xm ,由条件知该容器的最低总造价为y=80+20x +80x≥160,当且仅当底面边长x =2时,总造价最低,且为160元.故选C.5.下列不等式中正确的是( ) A.若a ,b ∈R ,则b a +ab ≥2b a ·a b=2 B.若x ,y 都是正数,则lg x +lg y ≥2lg x ·lg y C.若x <0,则x +4x≥-2x ·4x=-4 D.若x ≤0,则2x +2-x ≥22x ·2-x =2解:对于A ,a 与b 可能异号,A 错;对于B ,lg x 与lg y 可能是负数,B 错;对于C ,应是x +4x =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤(-x )+4-x ≤-2(-x )·4-x=-4,C 错;对于D ,若x ≤0,则2x+2-x≥22x ·2-x=2成立(x =0时取等号).故选D.6.(2014·重庆)若log 4(3a +4b )=log 2ab ,则a +b 的最小值是( ) +2 3 +23 +4 3+43解:因为log 4(3a +4b )=log 2ab ,所以log 4(3a +4b )=log 4(ab ),即3a +4b =ab ,且⎩⎨⎧3a +4b >0,ab >0, 即a >0,b >0,所以4a +3b =1(a >0,b >0),a +b =(a +b )⎝⎛⎭⎪⎫4a +3b =7+4b a +3a b ≥7+24ba·3ab=7+43,当且仅当4ba=3ab时取等号.故选D.7.若对任意x >0,xx 2+3x +1≤a 恒成立,则a 的取值范围是.解:因为x >0,所以x +1x≥2(当且仅当x =1时取等号),所以有xx 2+3x +1=1x +1x+3≤12+3=15, 即x x 2+3x +1的最大值为15,故填a ≥15.8.(2014·四川)设m ∈R ,过定点A 的动直线x +my =0和过定点B 的动直线mx -y -m +3=0交于点P (x ,y ),则|PA |·|PB |的最大值是________.解:易知定点A (0,0),B (1,3). 且无论m 取何值,两直线垂直. 所以无论P 与A ,B 重合与否,均有|PA |2+|PB |2=|AB |2=10(P 在以AB 为直径的圆上). 所以|PA |·|PB |≤12(|PA |2+|PB |2)=5.当且仅当|PA |=|PB |=5时,等号成立.故填5. 9.(1)已知0<x <43,求x (4-3x )的最大值;(2)点(x ,y )在直线x +2y =3上移动,求2x +4y 的最小值. 解:(1)已知0<x <43,∴0<3x <4.∴x (4-3x )=13(3x )(4-3x )≤13⎝⎛⎭⎪⎫3x +4-3x 22=43, 当且仅当3x =4-3x ,即x =23时“=”成立.∴当x =23时,x (4-3x )取最大值为43.(2)已知点(x ,y )在直线x +2y =3上移动,所以x +2y =3. ∴2x +4y ≥22x ·4y =22x +2y =223=42.当且仅当⎩⎨⎧2x =4y ,x +2y =3,即x =32,y =34时“=”成立.∴当x =32,y =34时,2x +4y 取最小值为42.10.已知a >0,b >0,且2a +b =1,求S =2ab -4a 2-b 2的最大值. 解:∵a >0,b >0,2a +b =1,∴4a 2+b 2=(2a +b )2-4ab =1-4ab.且1=2a +b ≥22ab ,即ab ≤24,ab ≤18,∴S =2ab -4a 2-b 2=2ab -(1-4ab )=2ab +4ab -1≤2-12.当且仅当a =14,b =12时,等号成立. 11.如图,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大(2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小解:(1)设每间虎笼长为x m ,宽为y m ,则由条件,知4x +6y =36,即2x +3y =18.设每间虎笼的面积为S ,则S =xy.解法一:由于2x +3y ≥22x ×3y =26xy , ∴26xy ≤18,得xy ≤272,即S ≤272. 当且仅当2x =3y 时等号成立. 由⎩⎨⎧2x =3y ,2x +3y =18,解得⎩⎨⎧x =,y =3.故每间虎笼长为 m ,宽为3 m 时,可使每间虎笼面积最大. 解法二:由2x +3y =18,得x =9-32y.∵x >0,∴0<y <6.S =xy =⎝ ⎛⎭⎪⎫9-32y y =32(6-y )y.∵0<y <6,∴6-y >0.∴S ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6-y )+y 22=272. 当且仅当6-y =y ,即y =3时,等号成立,此时x =. 故每间虎笼长 m ,宽3 m 时,可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知S =xy =24.设钢筋网总长为l ,则l =4x +6y.解法一:∵2x +3y ≥22x ·3y =26xy =24,∴l =4x +6y =2(2x +3y )≥48,当且仅当2x =3y 时,等号成立. 由⎩⎨⎧2x =3y ,xy =24,解得⎩⎨⎧x =6,y =4. 故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长度最小. 解法二:由xy =24,得x =24y.∴l =4x +6y =96y +6y =6⎝ ⎛⎭⎪⎫16y +y ≥6×216y×y =48,当且仅当16y=y ,即y =4时,等号成立,此时x =6.故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长度最小.。

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